張德旺，秦寰宇，宋旭明

(1. 中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北武漢 430063；2. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410075)

PC 梁橋中預(yù)應(yīng)力束的布置直接影響橋梁的承載能力和使用性能。目前，預(yù)應(yīng)力束的布置主要依靠設(shè)計(jì)者反復(fù)調(diào)索來實(shí)現(xiàn)，較為耗費(fèi)時(shí)間和精力，由于設(shè)計(jì)者經(jīng)驗(yàn)和水平的差異，同樣橋梁的預(yù)應(yīng)力鋼束布置可能差異很大。因此，探索預(yù)應(yīng)力束布置的優(yōu)化算法，依此編制預(yù)應(yīng)力束自動(dòng)布置的軟件是一項(xiàng)亟需展開的工作。對(duì)于預(yù)應(yīng)力鋼束的優(yōu)化設(shè)計(jì)，國內(nèi)外學(xué)者開展了許多研究[1-2]。UTRILLA 等[3]基于線性規(guī)劃的最快速下降方法得到了結(jié)構(gòu)幾何學(xué)上的最佳布索位置和最小索力。樓卓[4]運(yùn)用多元罰函數(shù)法和多元包維爾法對(duì)某T 形簡支梁進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。何雄君等[5]按a-水平解集解法對(duì)預(yù)應(yīng)力進(jìn)行模糊優(yōu)化決策。趙新[6]利用復(fù)形法對(duì)變截面連續(xù)箱梁進(jìn)行優(yōu)化，證明預(yù)應(yīng)力束比混凝土優(yōu)化的潛力更大。HEMANDEZ 等[7]以預(yù)應(yīng)力鋼束最少為目標(biāo)函數(shù)，采用單純形法對(duì)某工字型梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。劉桂林[8]建立了不同設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化模型，并以此開發(fā)連續(xù)箱梁橋優(yōu)化系統(tǒng)。AYDLN等[9-13]以梁體總造價(jià)最低為目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用了遺傳算法、梯度搜索法等方法求解設(shè)計(jì)變量。MARTí 等[14]引入能量作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)PC 梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。以上預(yù)應(yīng)力的優(yōu)化算法多為局部優(yōu)化，無法實(shí)現(xiàn)預(yù)應(yīng)力束在程序中的全自動(dòng)布置，或者將預(yù)應(yīng)力束線形和數(shù)量同步計(jì)算，忽略預(yù)應(yīng)力束線形的構(gòu)造要求，得到的線形無法應(yīng)用于工程。本文針對(duì)整體澆筑施工的簡支或連續(xù)梁，提出預(yù)應(yīng)力束全自動(dòng)設(shè)計(jì)的分步算法。將預(yù)應(yīng)力束線形和數(shù)量分步計(jì)算，在優(yōu)化全梁彎曲能量的基礎(chǔ)上，根據(jù)規(guī)范要求控制主梁應(yīng)力并考慮預(yù)應(yīng)力束的構(gòu)造要求，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)優(yōu)化算法的不足。基于Matlab平臺(tái)已經(jīng)開發(fā)的“跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”，在其中嵌入“預(yù)應(yīng)力設(shè)計(jì)”模塊對(duì)柳州跨座式單軌橋梁進(jìn)行自動(dòng)布束研究，結(jié)果表明橋梁的各項(xiàng)指標(biāo)控制良好，布束方案可行。

1 預(yù)應(yīng)力鋼束布置的分步算法

分步算法的主要步驟：首先根據(jù)主梁彎矩包絡(luò)圖形狀確定預(yù)應(yīng)力束的線形；然后利用彎曲能量最小的決策系數(shù)法計(jì)算各類型束的數(shù)量，最后根據(jù)各截面應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行預(yù)應(yīng)力束的局部調(diào)整。

1.1 預(yù)應(yīng)力束線形計(jì)算

整體現(xiàn)澆梁預(yù)應(yīng)力束線形設(shè)計(jì)基于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)荷載組合下的彎矩包絡(luò)圖，鋼束線形基本與彎矩包絡(luò)圖形狀一致，圖1為某四跨連續(xù)梁的彎矩包絡(luò)示意圖。

圖1 四跨連續(xù)梁的彎矩包絡(luò)示意圖Fig.1 Bending moment envelope diagram of a four-span continuous beam

將預(yù)應(yīng)力束布置在構(gòu)件的最佳界限區(qū)內(nèi)[15]，正彎矩區(qū)段預(yù)應(yīng)力束布置在主梁下部受拉區(qū)，負(fù)彎矩區(qū)段預(yù)應(yīng)力束布置在上部受拉區(qū)。圖1的彎矩包絡(luò)圖中ab，ac段為邊跨正彎矩鋼束的最小、最大布索范圍；be，cd段為支座2負(fù)彎矩索最大、最小布索范圍…，依此類推，可基本確定全橋預(yù)應(yīng)力束的布置范圍。

縱向預(yù)應(yīng)力束通常分為腹板束、頂板束和底板束。預(yù)應(yīng)力束線形的計(jì)算首先需要識(shí)別各種類型束，其次每種類型束由導(dǎo)線點(diǎn)坐標(biāo)、曲線半徑描述，其中曲線半徑依規(guī)范取值。

1.1.1 區(qū)分預(yù)應(yīng)力類型束

由于腹板束可以較好地適應(yīng)彎矩圖變化，效率高，通常布置多排。圖2 是某梁段第2 支座處腹板束的布置圖，圖中有3種腹板類型束。

圖2 腹板束局部布置圖Fig.2 Local layout drawing of web prestressed steel strands

根據(jù)圖1，腹板鋼束與梁中性軸相交的節(jié)點(diǎn)分布在bc，de之中，設(shè)布置n排腹板束，bc,de,fg…區(qū)間長分別為l1,l2,…,l2m(m為中支座數(shù))，每個(gè)區(qū)間n排腹板束的間距分別為d1,d2,…,d2m，則n排腹板束布置的約束公式為：

根據(jù)彎矩包絡(luò)圖計(jì)算li，令di取預(yù)設(shè)常量d，由此得到腹板類型束數(shù)量n的計(jì)算公式：

頂板束和底板束主要為短束，根據(jù)彎矩包絡(luò)圖分別布置于支點(diǎn)上緣和跨中下緣，對(duì)于全梁應(yīng)力的調(diào)整，可布置少量通長頂、底板束。通長束的布置相對(duì)單一，頂、底板短束的類型束計(jì)算方法同腹板束。

1.1.2 描述各預(yù)應(yīng)力類型束

對(duì)于腹板束，確定類型束種類時(shí)，已知各類型束與中性軸交點(diǎn)，通過計(jì)算彎起角度，結(jié)合對(duì)應(yīng)位置梁高，即可確定所有導(dǎo)線點(diǎn)坐標(biāo)。圖3為中間支座局部彎矩包絡(luò)圖，腹板束彎起部分在梁中性軸上半部的軸向區(qū)間為[bc,ac]。

圖3 中間支座局部彎矩包絡(luò)圖Fig.3 Local bending moment envelope diagram of the intermediate support

設(shè)梁高為h，令鋼束中心與梁邊緣最小距離為h0，中性軸距梁底高度為h1，預(yù)應(yīng)力束管道在豎直方向的間距為hj，則n排腹板束，第i種類型束在中性軸上半部的彎起高度為：

設(shè)bc=p，ac=q，已知腹板類型索有n組，彼此間距為d，則腹板束彎起部分在梁中性軸上半部的軸向區(qū)間為[p,q- (n- 1)·d]。彎起角度的取值范圍見式(4)：

同理，梁端部腹板束彎起，先確定彎起范圍，最后在范圍內(nèi)嘗試不同取值方案。對(duì)于頂、底板束，其線形分別隨梁頂、底部線形變化，在張拉及錨固端根據(jù)規(guī)范及張拉空間要求設(shè)置彎起段。確定起止點(diǎn)、張拉端和錨固端即可確定頂?shù)装甯鲗?dǎo)線點(diǎn)坐標(biāo)。

1.2 預(yù)應(yīng)力束數(shù)量計(jì)算

鋼束布置分為2 類：第1 類鋼束跟隨彎矩包絡(luò)圖的走勢(shì)布置，如腹板束和部分頂?shù)装宥淌?；?類鋼束根據(jù)全梁應(yīng)力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行局部調(diào)整，如頂?shù)装逋ㄩL束。基于貪心算法[16]的思想逐步計(jì)算2類鋼束數(shù)量：首先調(diào)整第1類鋼束數(shù)量使梁體達(dá)到當(dāng)前彎曲能量最小的狀態(tài)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)調(diào)整第2類鋼束數(shù)量，使主梁上、下緣應(yīng)力控制在設(shè)計(jì)規(guī)范容許范圍。軟件實(shí)施過程中，分別采用決策系數(shù)法和應(yīng)力控制法計(jì)算第1 類和第2 類鋼束數(shù)量。

1.2.1 決策系數(shù)法

取梁中抗彎剛度為EI的微段dx，計(jì)算該微段內(nèi)彎矩M引起的應(yīng)變能[17]dVε：

式中：針對(duì)i單元，MLi，MRi為單元兩端彎矩；Ei為彈性模量；Ii為彎曲慣性矩；li為單元長度。

不計(jì)預(yù)應(yīng)力作用進(jìn)行有限元分析，得到結(jié)構(gòu)初始彎矩狀態(tài)ML0和MR0，基于線性規(guī)劃[18]的思想，假設(shè)通過調(diào)整第1 類鋼束數(shù)量{e}得到最終的目標(biāo)彎矩分布狀態(tài)ML，MR，表示為式(8)：

式(8)中{e}為決策變量，[DL]，[DR]為決策系數(shù)。決策系數(shù)表示對(duì)應(yīng)單位預(yù)應(yīng)力束的數(shù)量變化導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)彎矩變化。

式(7)中Vε作為決策目標(biāo)用矩陣運(yùn)算表示為：

{e}即第1 類鋼束數(shù)量，依此布置鋼束可使梁在當(dāng)前狀態(tài)下有最小彎曲能量，對(duì)應(yīng)較為合理的彎矩分布狀態(tài)。

融資難是制約科技型創(chuàng)業(yè)企業(yè)發(fā)展的主要因素。根據(jù)對(duì)54家樣本科技型創(chuàng)業(yè)企業(yè)的調(diào)查結(jié)果，其中有融資需求的達(dá)47家，占比87.04%，其中有5家已經(jīng)或正在進(jìn)行眾籌融資，其余的企業(yè)雖然有融資需求，但因?yàn)閷?duì)眾籌融資渠道和流程缺乏了解，難以及時(shí)獲得創(chuàng)業(yè)所需資金。部分企業(yè)表示雖然聽說了國家鼓勵(lì)眾籌融資的相關(guān)政策，但是不知道如何設(shè)計(jì)眾籌融資方案和選擇合適的眾籌平臺(tái)，導(dǎo)致無法有效發(fā)揮眾籌對(duì)科技創(chuàng)業(yè)的支持作用。

1.2.2 應(yīng)力控制法

全預(yù)應(yīng)力混凝土梁在預(yù)加力和使用荷載作用下，截面正應(yīng)力按照規(guī)范取約束條件。若設(shè)計(jì)不僅要求結(jié)構(gòu)截面上、下緣不出現(xiàn)拉應(yīng)力，還要求σp應(yīng)力富余，則約束條件可表示為：

式中：σy1，σy2為預(yù)加力在截面上下緣產(chǎn)生的應(yīng)力；W1，W2為截面上下緣的抗彎模量；Mmax，Mmin為設(shè)計(jì)荷載組合下的截面內(nèi)力。

若布置第2類鋼束在梁上、下緣產(chǎn)生的預(yù)加力分別為N1，N2，計(jì)算應(yīng)力為：

設(shè)每束鋼束面積為sy，永存預(yù)應(yīng)力為σy。聯(lián)立式(13)～(14)，計(jì)算可得截面上、下緣布置第2 類鋼束數(shù)目n1，n2為：

式中：e1，e2為上下緣鋼束重心距截面重心的距離；I為彎曲慣性矩；A為混凝土截面面積，d1，d2為截面上下緣距截面重心的距離。

2 預(yù)應(yīng)力束自動(dòng)布置的軟件實(shí)現(xiàn)

基于預(yù)應(yīng)力束自動(dòng)布置的分步算法，在“跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”中開發(fā)“預(yù)應(yīng)力設(shè)計(jì)”模塊，程序計(jì)算流程和GUI 界面分別如圖4 和圖5 所示，計(jì)算步驟如下：

圖4 程序計(jì)算流程圖Fig.4 Flow chart of program calculation

圖5 “跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”圖形用戶界面Fig.5 Graphical user interface of“Straddle Monorail Design Program”

2) 依據(jù)初始彎矩包絡(luò)圖及橋梁的構(gòu)造尺寸計(jì)算預(yù)應(yīng)力束的各種線形方案；

3) 依據(jù)預(yù)應(yīng)力束面積、張拉控制力等初始設(shè)計(jì)條件，計(jì)算每種類型束作用下結(jié)構(gòu)彎矩內(nèi)力增量，形成決策系數(shù)矩陣。其中，運(yùn)用矩陣位移法進(jìn)行有限元分析時(shí)，包含預(yù)應(yīng)力束剛度矩陣、預(yù)應(yīng)力損失和等效節(jié)點(diǎn)荷載矩陣的計(jì)算；

4)依據(jù)決策系數(shù)法初步計(jì)算第1類鋼束數(shù)量；

5) 將初步確定的鋼束線形、數(shù)量等數(shù)據(jù)代入模型，重新進(jìn)行有限元分析；

6) 提取主梁上、下緣應(yīng)力，運(yùn)用應(yīng)力控制法計(jì)算第2類鋼束數(shù)量；

7)重復(fù)步驟5 和6，直至主梁應(yīng)力結(jié)果符合控制條件；

8)確定最優(yōu)配束方案。

在軟件的使用過程中，可直接獲得推薦的配束方案，也可以通過2種人機(jī)交互的方式得到不同的配束方案：第1種是調(diào)整初始參數(shù)，例如式(5)中的調(diào)節(jié)系數(shù)k，曲線半徑和應(yīng)力控制條件等；第2種是修改計(jì)算的線形，包括第1類鋼束的類型束種類和導(dǎo)線點(diǎn)坐標(biāo)。

3 跨座式單軌連續(xù)梁自動(dòng)布束算例

3.1 工程背景及計(jì)算模型

柳州跨座式單軌采用多固定連續(xù)梁體系，一側(cè)邊墩采用縱向活動(dòng)支座，其余支座均采用固定鉸支座，縱向水平力由多個(gè)墩柱共同承擔(dān)。軌道梁采用C60混凝土，截面為矩形，梁寬0.69 m，跨中梁高1.8 m，支點(diǎn)梁高2.2 m，采用圓曲線過渡，曲線半徑51.4 m。設(shè)計(jì)活載為CMR2 型車輛荷載，遠(yuǎn)期8 輛編組。以3×30 m 梁為例，實(shí)際施工方法是將預(yù)制梁簡支后再變連續(xù)，為探究分步算法的實(shí)用性，此連續(xù)梁擬采用整體現(xiàn)澆法完成。分別用Midas Civil 和“跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”建立計(jì)算模型，每跨梁分為22個(gè)單元，幾何模型見圖6。

圖6 柳州單軌三跨梁有限元模型Fig.6 Finite element model of a three-span part of Liuzhou monorail

3.2 計(jì)算結(jié)果

根據(jù)圖4 的計(jì)算流程，步驟1 計(jì)算的初始彎矩包絡(luò)圖如圖7，步驟2 計(jì)算各類型束線形，考慮單軌梁的箱體內(nèi)部狹小，無法張拉預(yù)應(yīng)力短束，除去程序自動(dòng)計(jì)算的頂板短束和中跨底板短束，得到線形如圖8。預(yù)應(yīng)力束線形有多種備選方案，限于篇幅，圖8 為式(5)中k= 0.5 的計(jì)算方案。腹板束為F1～F3，邊跨底板短束為B1和B2，頂、底板通長束為T0和B0。

圖7 設(shè)計(jì)荷載組合的彎矩包絡(luò)圖Fig.7 Bending moment envelope diagram under the design load combination

圖8 各類型束線形Fig.8 Geometry of various prestressed steel strands

設(shè)計(jì)鋼束類型為5-7φ5，張拉控制應(yīng)力取1 270 MPa。步驟3 計(jì)算各種類型束的決策系數(shù)在主梁各單元節(jié)點(diǎn)的分布如圖9。

圖9 各類型索的決策系數(shù)Fig.9 Decision coefficient of various prestressed steel strands

步驟4 依據(jù)式(12)計(jì)算F1～F3 和B1 和B2 的數(shù)量，布置完以上鋼束后，由步驟5 計(jì)算主梁正應(yīng)力，步驟6 取應(yīng)力約束區(qū)間為(0,22)MPa，依據(jù)式(15)計(jì)算T0 和B0 的數(shù)量，最終確定的各類預(yù)應(yīng)力束數(shù)量如表1所示。

表1 各類型索數(shù)量Table 1 Number of various prestressed steel strands

“跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”依據(jù)該配束方案，計(jì)算主梁上、下緣應(yīng)力極值分布如圖10。

圖10 主梁上、下緣應(yīng)力Fig.10 Stress on the upper and lower edges of the beam

在Midas Civil 模型中輸入計(jì)算的配束方案，由于Midas 和“跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”在本構(gòu)模型、預(yù)應(yīng)力損失計(jì)算等方面存在偏差，兩者的應(yīng)力結(jié)果也存在偏差。在主梁的關(guān)鍵截面處，兩者計(jì)算的正應(yīng)力結(jié)果，以及本程序相對(duì)Midas的應(yīng)力結(jié)果的最大偏差見表2。

表2 Midas和“跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”計(jì)算應(yīng)力對(duì)比Table 2 Comparison of calculated stress between midas and straddle monorail design programMPa

從表2 可知，Midas Civil 和“跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”計(jì)算應(yīng)力最大偏差為1.08%，表明“跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”的有限元計(jì)算模塊有良好的準(zhǔn)確性。計(jì)算的配束方案中各類預(yù)應(yīng)力束的數(shù)量合理，正截面應(yīng)力指標(biāo)符合規(guī)范要求，證明預(yù)應(yīng)力束自動(dòng)布置的分步算法可應(yīng)用于工程實(shí)踐。

4 結(jié)論

1) 分步算法中計(jì)算的預(yù)應(yīng)力束線形組合是多元化的，可以給設(shè)計(jì)者提供方案比選。

2) 在“跨座式單軌設(shè)計(jì)程序”基礎(chǔ)上開發(fā)“預(yù)應(yīng)力設(shè)計(jì)”模塊，使預(yù)應(yīng)力計(jì)算考慮了預(yù)加力的損失和鋼索剛度對(duì)單元的影響，讓預(yù)應(yīng)力設(shè)計(jì)由粗略估束轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬?duì)精確的計(jì)算。

3) 分步算法彌補(bǔ)了傳統(tǒng)優(yōu)化算法的缺陷：傳統(tǒng)的整體優(yōu)化算法，將預(yù)應(yīng)力束線形和數(shù)量同步優(yōu)化，忽略鋼束線形的構(gòu)造要求；傳統(tǒng)的局部優(yōu)化算法，無法對(duì)預(yù)應(yīng)力進(jìn)行全體系設(shè)計(jì)，因此無法實(shí)現(xiàn)程序化全自動(dòng)布束。

4) 預(yù)應(yīng)力索自動(dòng)布置的分步算法目前不考慮其他復(fù)雜施工過程，可在整體澆筑橋梁的設(shè)計(jì)中推廣使用。