張玲芳，黃國(guó)君，楊國(guó)偉，程桂軍，紀(jì)占玲

(1. 中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所，北京 100190；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院，北京 100190)

剛性接觸網(wǎng)-受電弓系統(tǒng)[1]是目前城市地鐵主要受流方式，與柔性接觸網(wǎng)相比，剛性接觸網(wǎng)具有堅(jiān)固耐用、運(yùn)行安全、安裝方便、防火性好、維護(hù)成本低、隧道凈空要求低、抗風(fēng)性能好等優(yōu)點(diǎn)。剛性接觸網(wǎng)已在我國(guó)廣州、成都、上海、北京等地鐵工程中得到廣泛應(yīng)用。在弓網(wǎng)關(guān)系的研究中[2-4]，模型的準(zhǔn)確建立是十分重要的。一些建模參數(shù)如剛性接觸網(wǎng)的密度、截面幾何參數(shù)、楊氏模量和跨度等都易于獲得。關(guān)金發(fā)等[5-6]研究發(fā)現(xiàn)：懸掛結(jié)構(gòu)剛度對(duì)弓網(wǎng)受流質(zhì)量會(huì)產(chǎn)生較大影響，是建立模型的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)。但是不同于其它結(jié)構(gòu)參數(shù)，懸掛結(jié)構(gòu)剛度的影響因素較多，包括支撐底座類(lèi)型、懸掛結(jié)構(gòu)的高度、剛性接觸網(wǎng)與支座之間的連接位置等，不易直接獲得。代洪宇等[6-8]利用能量守恒將懸掛結(jié)構(gòu)等效成彈簧，建立剛性接觸網(wǎng)模型，這是目前被廣泛接受的力學(xué)簡(jiǎn)化模型(如圖1)。BAUTISTA等[9]也提出了一種有限元?jiǎng)傂越佑|網(wǎng)模型和多體連桿受電弓模型的建模方式，但這些工作都未對(duì)所建模型進(jìn)行驗(yàn)證。目前，弓網(wǎng)耦合的模型驗(yàn)證[10]主要基于2 個(gè)方法：一是參照標(biāo)準(zhǔn)EN50318[11]對(duì)弓網(wǎng)耦合仿真方法進(jìn)行確認(rèn)，但標(biāo)準(zhǔn)中給出的模型參數(shù)是柔性接觸網(wǎng)，對(duì)剛性接觸網(wǎng)模型的適用性有待考究。二是將弓網(wǎng)接觸力的仿真結(jié)果與實(shí)車(chē)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比[12]，此種驗(yàn)證方法成本較高。此外，進(jìn)行模型驗(yàn)證的文獻(xiàn)也并未提及如果驗(yàn)證結(jié)果不好的情況下如何修正仿真模型。本文提出一種利用剛性接觸網(wǎng)的固有頻率識(shí)別懸掛結(jié)構(gòu)剛度的方法，提供了一種測(cè)量實(shí)際剛性網(wǎng)懸掛剛度的方法。該問(wèn)題屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)反問(wèn)題的范疇，并應(yīng)用遺傳算法[13]求解，將從剛性接觸網(wǎng)模態(tài)信息識(shí)別建模結(jié)構(gòu)參數(shù)的反問(wèn)題轉(zhuǎn)化成參數(shù)尋優(yōu)問(wèn)題，識(shí)別到的剛度值可用于模型的修正和驗(yàn)證。此外，由于固有頻率對(duì)懸掛結(jié)構(gòu)剛度變化的敏感性，本方法還可用于懸掛結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別。在損傷識(shí)別[14-15]方面，一般固有頻率和陣型信息同時(shí)采用才能得到相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果，但是本方法能夠僅使用剛性接觸網(wǎng)的固有頻率就能識(shí)別到懸掛結(jié)構(gòu)彈簧的損傷位置，并能得到損傷后的彈簧剛度，這在很大程度上減少了模態(tài)實(shí)驗(yàn)的測(cè)點(diǎn)數(shù)量。

圖1 傳統(tǒng)的懸掛結(jié)構(gòu)等效示意圖Fig.1 Traditional equivalent method of suspension structure

1 剛度識(shí)別方法

1.1 力學(xué)原理

忽略阻尼時(shí)經(jīng)有限元法離散后的剛性接觸網(wǎng)自由振動(dòng)控制方程見(jiàn)式(1)。

式中：[M]，[K]分別為有限單元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣；{z}和{z¨ }為垂向位移和加速度。

將{z}寫(xiě)成振型坐標(biāo)形式，可由式(1)得到式(2)：

其中：[Φ]為振型矩陣；[Ω]為頻率矩陣。

式中：ωi為第i階固有頻率。

由式(2)和式(3)及振型向量的正交性可得：

式中：{Φi}為第i階振型向量。

結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性ωi和{Φi}由結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和剛度分布決定，這些結(jié)構(gòu)特性分別由質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]表征。通過(guò)結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行理論模態(tài)分析得到模態(tài)特性ωi和{Φi}，這構(gòu)成結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題。由式(4)可見(jiàn)：懸掛結(jié)構(gòu)剛度值的變化會(huì)使剛度矩陣發(fā)生變化，進(jìn)而影響剛性接觸網(wǎng)的模態(tài)信息。利用試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到的模態(tài)信息可對(duì)剛性接觸網(wǎng)的懸掛結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，這構(gòu)成上述結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題的反問(wèn)題。本文將研究?jī)H用試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到的固有頻率信息識(shí)別剛性接觸網(wǎng)的各懸掛結(jié)構(gòu)等效剛度的方法。由于固有頻率相比振型向量容易測(cè)得。如果該方法被證明可行，將大大減少實(shí)驗(yàn)測(cè)點(diǎn)和工作量。

1.2 基于遺傳算法的優(yōu)化識(shí)別方法

求解本文結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)反問(wèn)題就是通過(guò)式(4)以ωi求解各懸掛結(jié)構(gòu)等效剛度，它包含在剛度矩陣[K]中，它也影響振型向量{Φi}，所以方程組(4)是隱式、高度非線(xiàn)性的。為此采用優(yōu)化算法進(jìn)行求解，將反問(wèn)題求解轉(zhuǎn)化為正問(wèn)題的迭代優(yōu)化求解，該方法簡(jiǎn)單有效且可避免直接求解反問(wèn)題常出現(xiàn)的求逆非適定性問(wèn)題[16]。該優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)如式(5)所示：

式中：ωexpi為試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析測(cè)得的剛性網(wǎng)固有頻率值，ωindi為識(shí)別出的剛性網(wǎng)固有頻率值，它由解式(1)～(4)的正問(wèn)題求出；n為模態(tài)頻率總個(gè)數(shù)。將仿真模型中的待求的各懸掛結(jié)構(gòu)剛度值作為優(yōu)化變量，最終得到Objv的極小值，若該極小值趨于零，則最終的優(yōu)化變量即為識(shí)別出的各懸掛結(jié)構(gòu)等效剛度。

采用遺傳算法求解上述優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)選擇、交叉、變異等操作優(yōu)化仿真模型懸掛結(jié)構(gòu)剛度值，計(jì)算的代數(shù)達(dá)到最大代數(shù)，獲得仿真模型最優(yōu)剛度值。剛性接觸網(wǎng)懸掛結(jié)構(gòu)剛度值識(shí)別方法流程如圖2所示。

圖2 剛性接觸網(wǎng)懸掛結(jié)構(gòu)剛度識(shí)別方法流程圖Fig.2 Flow chart of rigidity identification method for suspension structure of overhead conductor rail

具體計(jì)算步驟如下。

Step 1：在剛性接觸網(wǎng)實(shí)物上進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，獲得剛性接觸網(wǎng)固有頻率ωexpi；

Step 2：隨機(jī)創(chuàng)建懸掛等效剛度向量初始種群Kindj,j= 1…N，N為懸掛結(jié)構(gòu)總數(shù)；

Step 3：將初始種群(隨機(jī)生成)的剛度向量Kindj輸入ANSYS 軟件，對(duì)剛性接觸網(wǎng)在有限元軟件中進(jìn)行有限元模態(tài)分析(正問(wèn)題求解)，獲得種群中每一個(gè)候選模型個(gè)體的固有頻率值ωindi；

Step 4：檢測(cè)和評(píng)估step 2 中所產(chǎn)生的候選模型的質(zhì)量，即根據(jù)式(5)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)；

Step 5：候選模型剛度值的選擇、重組與變異，產(chǎn)生新個(gè)體，重復(fù)Step 3 和Step 4 計(jì)算，直到繁殖到最大代數(shù)MAXGEN，輸出Kindj為懸掛等效剛度向量的最終識(shí)別值。

2 剛性接觸網(wǎng)模型

剛性接觸網(wǎng)由懸掛結(jié)構(gòu)、匯流排、內(nèi)部接頭等部分組成。兩端匯流排之間用內(nèi)部接頭連接。匯流排的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，將其力學(xué)模型簡(jiǎn)化為歐拉梁模型，懸掛結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為彈簧支撐模型，內(nèi)部接頭的長(zhǎng)度與匯流排的長(zhǎng)度相比可忽略不計(jì)，簡(jiǎn)化成結(jié)點(diǎn)。根據(jù)力學(xué)模型建立有限元模型，剛性接觸網(wǎng)的π 型匯流排與接觸線(xiàn)一起等效為beam188 單元，懸掛結(jié)構(gòu)采用彈簧單元等效模擬，彈簧的上端的節(jié)點(diǎn)為完全約束節(jié)點(diǎn)，下端節(jié)點(diǎn)為梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)。內(nèi)部接頭采用質(zhì)量塊單元。各單元類(lèi)型及其參數(shù)詳見(jiàn)表1，實(shí)物模型、力學(xué)模型、有限元模型見(jiàn)圖3。

表1 單元類(lèi)型及參數(shù)Table 1 Element type and parameters

圖3 剛性接觸網(wǎng)模型Fig.3 Model of overhead conductor rail

3 可行性仿真研究

為了從理論上驗(yàn)證本識(shí)別方法的可行性，本文采用數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行懸掛等效剛度識(shí)別，將試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析用有限元模態(tài)分析代替。首先預(yù)先給定剛性網(wǎng)的結(jié)構(gòu)特性包括懸掛等效(彈簧)剛度向量Kexpj作為已知的實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)；然后由ANSYS進(jìn)行正問(wèn)題分析，計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率作為“試驗(yàn)測(cè)量值”ωexpi，這也是正問(wèn)題的解。然后應(yīng)用本文剛度識(shí)別方法將ωexpi作為已知輸入量進(jìn)行反問(wèn)題分析，識(shí)別懸掛等效剛度Kbestj，若它與Kexpj一致，則證明正反問(wèn)題的輸入和輸出一致，亦及從理論上證明本剛度識(shí)別方法的可行性。

本節(jié)對(duì)剛性接觸網(wǎng)懸掛結(jié)構(gòu)剛度值識(shí)別方法從工況選取、具體收斂過(guò)程、剛度識(shí)別效果、損傷識(shí)別探究方面進(jìn)行了研究。本節(jié)選取了11 種工況對(duì)剛性接觸網(wǎng)懸掛結(jié)構(gòu)的剛度進(jìn)行識(shí)別。

3.1 工況選取

懸掛結(jié)構(gòu)剛度值識(shí)別的搜索范圍、跨數(shù)、彈簧間等因素都會(huì)影響本方法的準(zhǔn)確性，因此根據(jù)上述不同因素參數(shù)的組合選取了11 個(gè)工況考察本算法剛度識(shí)別的可行性。各種模擬工況參數(shù)如表2所示。

表2 工況參數(shù)Table 2 Case parameters

3.2 收斂過(guò)程分析

為探究固有頻率對(duì)彈簧剛度值改變的敏感程度和目標(biāo)函數(shù)收斂狀況，選取了工況SD3，研究了其固有頻率隨著代數(shù)的增加而發(fā)生的變化(如表3)，各頻率的相對(duì)誤差計(jì)算方法如式(6)所示。在前50階固有頻率中，懸掛彈簧的剛度值變化對(duì)某些特定階數(shù)的頻率影響較大。

表3 SD3情況下頻率變化Table 3 Frequency variation in SD3

圖4 為工況SD2 懸掛彈簧剛度值的收斂情況。在前100 代剛度值的波動(dòng)較為劇烈，100 代到200代趨于穩(wěn)定，200 代以后基本收斂到4 × 105N/m 附近，這正是實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膽覓鞆椈蓜偠仍O(shè)定值。由此可見(jiàn)，該方法能夠使懸掛彈簧剛度值逐漸收斂到正問(wèn)題預(yù)先給定的懸掛彈簧剛度。

圖4 SD2工況懸掛彈簧剛度收斂圖Fig.4 Convergence diagram of suspension spring stiffness in case SD2

3.3 剛度值識(shí)別效果分析

圖5為彈簧剛度識(shí)別平均相對(duì)誤差的變化。平均相對(duì)誤差δK計(jì)算方法如式(7)所示，Kexpi為正問(wèn)題給定的第i根彈簧的剛度，Kindj為每一代候選仿真模型識(shí)別的彈簧剛度值，N為彈簧的個(gè)數(shù)，亦即優(yōu)化變量個(gè)數(shù)。圖6 為目標(biāo)函數(shù)Objv 隨代數(shù)的變化(圖例所代表的工況具體含義見(jiàn)表2)。圖5 表征剛度識(shí)別效果，圖6表示識(shí)別得到的固有頻率與給定值的一致程度。

圖5(a)和圖6(a)選取了不同剛度搜索范圍的工況。懸掛結(jié)構(gòu)剛度值得平均誤差最終都收斂到10%以?xún)?nèi)，識(shí)別效果最好的R1 工況最終收斂到誤差為2.3%。頻率的平均相對(duì)誤差接近0。圖5(b)和圖6(b)選取了不同懸掛結(jié)構(gòu)彈簧間距，剛度搜索范圍為(0，6×105N/m)、總跨數(shù)為10跨的工況。懸掛結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的間距為10 m 的情況下的彈簧剛度值平均相對(duì)誤差和目標(biāo)函數(shù)的收斂效果都為最優(yōu)；間距為6 m 最差；間距為8 m 時(shí)彈簧剛度的平均相對(duì)誤差可減小到4.3%。圖5(c)和圖6(c)的工況選取了不同跨數(shù)10跨，15跨，20跨，剛度搜索范圍為(3×105N/m，5×105N/m)，彈簧間距為10 m。圖5(c)呈現(xiàn)出跨數(shù)越多，優(yōu)化后的剛度值平均相對(duì)誤差越差，這是因?yàn)殡S著剛性接觸網(wǎng)的跨數(shù)越多，總長(zhǎng)度越大，彈簧間距不變的情況下，彈簧數(shù)量越多，在一次優(yōu)化識(shí)別過(guò)程中，同時(shí)優(yōu)化的參數(shù)越多，搜索難度越大。在總長(zhǎng)度為200 m 時(shí)，平均相對(duì)誤差可以減小到4.2%。

圖5 彈簧剛度值的平均相對(duì)誤差Fig.5 Average relative errors of spring stiffness value

圖6 頻率(目標(biāo)函數(shù)Objv)相對(duì)誤差Fig.6 Relative errors of frequency(objective function)

以上仿真結(jié)果表明對(duì)懸掛彈簧剛度的識(shí)別精度大多工況下能控制在5%以?xún)?nèi)，從而從理論上驗(yàn)證了本文剛度識(shí)別方法的可行性。對(duì)新建實(shí)際剛性網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)后，可應(yīng)用本文方法識(shí)別出實(shí)際懸掛剛度，并與設(shè)計(jì)剛度進(jìn)行比較，從而檢驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)建立的剛性網(wǎng)仿真模型，并可進(jìn)行模型修正(用實(shí)際剛度代替設(shè)計(jì)剛度)。傳統(tǒng)的弓網(wǎng)模型驗(yàn)證是將仿真模型計(jì)算出的弓網(wǎng)接觸力與實(shí)測(cè)弓網(wǎng)接觸力進(jìn)行比較，如果其方差超出標(biāo)準(zhǔn)允許的范圍，則認(rèn)為仿真模型被驗(yàn)證不合格，需要進(jìn)行模型修正，但驗(yàn)證過(guò)程本身并不能指明如何修正。因此傳統(tǒng)的弓網(wǎng)模型驗(yàn)證方法是基于結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)比較，間接地、籠統(tǒng)地考察受電弓和接觸網(wǎng)仿真模型；而本方法是基于模態(tài)特性識(shí)別剛性網(wǎng)懸掛結(jié)構(gòu)等效剛度，直接地檢驗(yàn)剛性網(wǎng)仿真模型的剛度特性，并且剛度識(shí)別的優(yōu)化過(guò)程可自動(dòng)實(shí)現(xiàn)仿真模型的修正，這顯示出本文方法的優(yōu)越性。

3.4 損傷識(shí)別探究

本剛度識(shí)別方法除了上述模型驗(yàn)證和修正功能以外，還可識(shí)別損傷彈簧的位置。為探究損傷識(shí)別效果，選取了DI 工況，彈簧間距為10 m、跨數(shù)為10 跨、剛度搜索范圍為(0,6 × 105N/m)。用剛度值減小的方式模擬懸掛結(jié)構(gòu)損傷程度。

圖7為懸掛結(jié)構(gòu)彈簧損傷的情況下，剛性接觸網(wǎng)的彈簧剛度及其相對(duì)誤差隨代數(shù)的變化。正問(wèn)題中第6 根彈簧的剛度值設(shè)置為1×105N/m，其它剛度值設(shè)置為4×105N/m。由圖可見(jiàn)，第6 根損傷彈簧剛度在第30 代左右已經(jīng)基本被識(shí)別，剛度值迅速下降到1×105N/m，其他彈簧剛度基本在4×105N/m 附近。所以，本算法不但能對(duì)損傷彈簧位置進(jìn)行識(shí)別，還能識(shí)別到損傷彈簧的實(shí)際剛度值，損傷彈簧剛度值的識(shí)別誤差可小于到0.05%。本剛度識(shí)別方法可用于實(shí)際服役中的剛性網(wǎng)結(jié)構(gòu)的懸掛結(jié)構(gòu)剛度識(shí)別，并與4.3 小節(jié)中識(shí)別出的新結(jié)構(gòu)或維修后結(jié)構(gòu)的剛度比較，可確定損傷位置和損傷程度，從而確定維修方案。因此本方法可用于實(shí)驗(yàn)室剛性網(wǎng)的損傷識(shí)別研究和實(shí)際線(xiàn)路剛性網(wǎng)檢測(cè)，提升運(yùn)維技術(shù)水平。

圖7 受損彈簧剛度及其相對(duì)誤差隨代數(shù)的變化Fig.7 Change of stiffness value and relative error of damaged spring with algebra

4 結(jié)論

1) 本方法只依賴(lài)結(jié)構(gòu)固有頻率模態(tài)信息，實(shí)驗(yàn)測(cè)量操作簡(jiǎn)單；常見(jiàn)工況下，本方法識(shí)別到剛度值的平均相對(duì)誤差小于5%。

2) 本方法識(shí)別到的剛度既可用于新剛性網(wǎng)或維修后結(jié)構(gòu)的仿真模型驗(yàn)證和修正，也可用于服役結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別。

3) 本方法可用于剛性網(wǎng)設(shè)計(jì)水平的提升、損傷檢測(cè)技術(shù)的實(shí)驗(yàn)室研究和實(shí)際線(xiàn)路運(yùn)維技術(shù)的發(fā)展。