郭玉榮，潘洪軍

(1. 湖南大學土木工程學院，湖南長沙 410082；2. 建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室，湖南長沙 410082)

RC 柱在地震作用下，隨著損傷的累計，通常會表現出強度、剛度退化以及捏攏效應等滯回特點。為了描述這些現象，有許多學者進行研究并提出了相應的恢復力模型。WEN[1]提出了光滑曲線模型。BABER 等[2-3]將剛度、強度退化以及捏攏效應參數引入Bouc-Wen 模型，提出了BWBN 模型，因其屬于光滑的曲線模型且能較好描述構件的退化特點得到了廣泛運用。為了讓BWBN 模型能更好地描述不同構件的性能，許多學者對BWBN 模型進行了改進工作。余波等[4-5]提出了一種雙軸和平扭耦聯(lián)的BWBN 模型，并通過引入參數δ實現滯回曲線上下平移來描述不對稱滯回現象；SENGUPTA 等[6]引入滯回最大位移改進屈服后剛度來描述梁柱節(jié)點的滯回性能；PELLICIARI 等[7]提出了新的剛度、強度退化參數，并以高斯分布函數來代替BWBN 模型中的捏攏效應相關項，大大減少了模型參數。以上都是在定軸力下RC 柱的恢復力模型改進工作。但實際上，在地震作用過程中，框架結構的邊柱或角柱軸力會因地震傾覆力矩而發(fā)生不斷變化，而近場地震的豎向地震分量也會導致柱軸力發(fā)生顯著變化[8]。對于變軸力柱的性能，一些學者也進行了研究。HUGO 等[8]進行了6根RC 柱擬靜力試驗，發(fā)現相同破壞狀態(tài)下變軸力試件破壞早于定軸力試件；王德斌等[9]研究了RC柱在多維動荷載下的性能，發(fā)現變軸力會降低構件延性；陳嶸等[10]進行了6 個混凝土墩柱試驗，發(fā)現變軸力柱破壞形式由最大軸力控制，且滯回曲線明顯不對稱。針對變軸力柱子特性，SHAYANFAR等[11]提出了一種梁柱節(jié)點的旋轉彈簧模型，它可以有效考慮變軸力對節(jié)點和柱的影響。周小龍等[12-14]研究發(fā)現，柱子各種退化現象與損傷指標間有密切關系，并都建立了相應的恢復力模型。故本文將PARK-ANG 等[15]損傷模型引入到原始BWBN 模型中，提出了一種基于累計損傷的改進BWBN 模型。此外，為了進一步將改進模型用于變軸力情況，用軸力插值以及正負向單獨計算損傷的方式來描述變軸力柱的滯回特點。目前，對變軸力恢復力模型和變軸力混合試驗的研究尚少。提出的變軸力BWBN 模型由于能考慮軸力變化對柱子側向滯回性能的影響，可進一步拓寬結構混合試驗的應用范圍，比如用于水平和豎向雙向地震作用下的框架結構混合試驗。

1 改進的BWBN模型

1.1 原始的BWBN模型

原始的BWBN模型表達式如下：

式中：δυ，δη分別為強度和剛度退化影響系數；ε為當前加載步下的構件累計滯回耗能；h(z)為控制滯回曲線捏攏程度的參數，計算方法見文獻[2-3]。

1.2 定軸力下基于累計損傷的BWBN模型改進

選取美國太平洋地震工程研究中心(PEER)以及陸新征等[16]抗倒塌系列試驗提供的共16 根柱子的數據，進行了相關規(guī)律總結，并對原始BWBN模型進行改進。其中，損傷計算采用呂大剛等[17]的改進模型。

1.2.1 強度退化系數

將每一滯回中的極限強度與試驗全過程中的強度最大值的比值作為強度退化系數，其表達式如下：

式中：Pt為當前滯回的極限強度；Pt,max為試驗全過程中的強度最大值。

16根柱子的強度退化系數如圖1所示，可以發(fā)現，柱子的強度退化系數與損傷指標之間存在明顯的二次函數關系。

圖1 強度退化系數與損傷指標的關系Fig.1 Relationship between strength degradation coefficient and damage index

1.2.2 剛度退化系數

將正負向割線剛度與構件屈服剛度的比值作為剛度退化系數，其表達式如下：

式中：kt為正負向極限強度對應點的割線剛度；ky為構件屈服剛度。

16根柱子的剛度退化系數如圖2所示，可以發(fā)現，柱子的剛度退化系數與損傷指標之間存在指數函數關系。

圖2 剛度退化系數與損傷指標的關系Fig.2 Relationship between stiffness degradation coefficient and damage index

此外，對柱子滯回曲線進行觀察發(fā)現，構件的屈服后剛度比α并不是一個定值。16根柱子的屈服后剛度比如圖3所示，其與損傷指標大致存在反比例函數關系。但是，原始的BWBN 模型[2-3]卻將其作為一個不變的值，所以對此進行了改進。

圖3 屈服后剛度比與損傷指標的關系Fig.3 Relationship between stiffness ratio and damage indexafter yield

1.2.3 定軸力下BWBN模型改進

基于上述規(guī)律，本文對原始BWBN 模型中式(3)～(4)以及屈服后剛度比α進行了修正。

式中：Dex為損傷指標，值越大表示損傷越嚴重，當Dex≥1 時，認為構件破壞；β1為耗能因子；δm為構件在地震作用下的最大位移；δy，δu分別為單調荷載下的屈服和極限位移；Fy為構件的計算屈服強度；δ'υ，δ'η分別為強度、剛度退化影響系數；α0為構件初始屈服后剛度比；r為屈服后剛度退化率。

1.3 變軸力下BWBN模型改進

在構件受地震作用時，其軸力的變化會導致構件延性、強度、對稱性等一系列性能產生變化。本文基于定軸力的改進模型也需要適當改變，采用一種將軸力分級并線性內插的方式來描述變軸力。

由于在計算損傷時需要先確定構件在單調荷載作用下的計算屈服力、屈服位移以及極限位移，所以本文按軸壓比每0.05 一級計算構件的上述數據，區(qū)間內的軸壓比就按線性插值計算其單調荷載下的性能。此外，對試驗現象研究發(fā)現，柱子在地震作用下往往會表現為某一側損壞嚴重，而另一側損傷相對較小，此時損傷較嚴重側的力學性能已經不如另一側。因為總體損傷無法描述這種現象，所以本文將總體損傷分為正向與負向兩側的單側損傷，對式(10)修正如下：

式中：Dex+(-)為正(負)向單側損傷；δm+(-)為循環(huán)中正(負)向最大位移；ε+(-)為正(負)向單側的累計滯回耗能。

2 改進BWBN模型的參數識別

2.1 基于CPSO-GA算法的參數識別方法

采用混沌粒子群—遺傳算法混合算法(CPSOGA)來識別改進的模型參數，即在文獻[18]的混沌粒子群算法基礎上，利用文獻[19]方法引入遺傳算法。這種算法既保持了混沌優(yōu)化算法的遍歷性與隨機性，還會在迭代時對父代種群進行選擇、交叉及變異操作形成新的種群，有效避免了算法陷入局部最優(yōu)。改進算法的流程如下：

1) 利用Logistic 方程，生成2N個初始個體，然后根據適應度函數值從中選取最優(yōu)的N個個體作為初始解，并隨機生成粒子速度。算法的適應度函數表達式如下：

式中：T為總加載步數；Fr(i)，Fm(i)分別為第i步時構件的實測恢復力以及模型計算恢復力。

2) 從初始N個粒子中選取適應度值最優(yōu)的粒子作為種群全局歷史最優(yōu)值Pg，并把各個粒子當前位置作為個體歷史最優(yōu)值Pi。根據PSO 算法的速度和位置更新公式更新粒子的位置和飛行速度，更新公式表達式如下：

式中：vi(t)，zi(t)為粒子i的速度和位置；ω為慣性權重；η1，η2為加速常數；rand為0-1隨機數。

3)利用文獻[19]方法對當前種群進行選擇、交叉及變異操作，對生成的新種群計算適應度函數值，與個體及全局歷史最優(yōu)解進行比較，若優(yōu)于原最優(yōu)解，則進行更新。

4) 對歷史最優(yōu)位置Pg進行混沌優(yōu)化。先將Pg映射到Logistic 方程定義域[0,1]上(即zg=(Pg-ai)/(bi-ai)，其中bi，ai為變量上下界)，再根據Logistic 方程迭代產生m個混沌變量序列，并將序列映射返回優(yōu)化變量的取值范圍，得到m個粒子，根據適應度值得到最優(yōu)解P′，用P′代替當前群體的任一粒子位置。

5) 返回第2 步，迭代至滿足停止條件，輸出結果。

2.2 參數識別結果

2.2.1 定軸力柱識別效果分析

選取PEER 上異于上述16 根柱子的試驗數據，清華大學陸新征等[16]抗倒塌系列試驗中邊柱A 數據，以及湖南大學陳展[20]足尺柱變軸力試驗的試驗數據，對比分析模型改進的有效性。3 根柱子的參數如表1所示。其中：L為柱子長度；B，H為柱子截面寬高；f′c為混凝土軸心抗壓強度；fyl為縱筋屈服強度；fyt為箍筋屈服強度；ρl為縱筋配筋率；ρt為箍筋配筋率；n0為軸壓比。

表1 柱試件的基本參數Table 1 Basic parameters of the column specimen

利用改進PSO 算法識別原始與改進后BWBN模型參數，識別的參數如表2所示，對比結果如圖4所示。

圖4 改進前后BWBN模型識別效果對比Fig.4 Comparison of BWBN model identification effect before and after improvement

數學上經常用Pearson 相關系數來表示2 組數據之間的相關程度，一般認為其值超過0.8 即為強相關。本文利用Pearson 相關系數來評價模型改進前后的識別效果，相關性系數計算結果如表3所示。

表3 相關性系數統(tǒng)計Table 3 Correlation coefficient statistics

由上述分析可見，本文對于定軸力下BWBN模型的改進取得了良好的效果，改進后識別結果的相關性系數普遍高于原始模型。

2.2.2 變軸力柱識別效果分析

先確定軸力變化幅度，用纖維模型在OpenSees 建立圖6(a)框架，進行了Taft，El Centro，天津波和唐山波下的雙向地震作用時程分析，并結合文獻[20]，確定軸壓比范圍0～0.7。對文獻[20]變軸力柱進行識別，結果如表4中C4及圖5所示。

表4 變軸力BWBN模型的識別參數Table 4 Identification parameters of variable axial force BWBN model

圖5 變軸力柱識別結果Fig.5 Variable axial force column identification result

對變軸力柱識別數據與試驗數據的相關性系數進行了計算，其值達到了0.893，按照數學上的定義可以認為2組數據為強相關。為了進一步確定改進模型對變軸力情況的適用性，對圖6(a)框架輸入Taft波作為水平和豎向雙向地震波，對框架進行時程分析，并輸出底層中柱軸力、位移和側向力數據作為待識別的試驗滯回曲線數據。識別的模型參數如表4 中C5 所示，對比結果如圖6(b)和6(c)所示，識別的數據與纖維模型的計算數據相關性系數達到了0.952，說明識別結果良好，且改進的BWBN模型能用來描述變軸力柱的特性。

參考文獻[21]離線模型更新混合試驗方法，以C5 柱的識別結果為基礎。使用El Centro 波作為水平及豎向地震波重新對圖6(a)框架進行時程分析，獲取底層中柱的側向位移、側向力及豎向力，用改進的BWBN 模型計算該加載路徑下的側向力，與時程分析的計算結果對比。重新加載的對比結果如圖7所示，可以發(fā)現，對比結果良好。計算了對比數據的相關性系數，其值達到了0.945，說明改進的BWBN模型可以用于描述變軸力RC柱滯回特點,且對混合試驗有一定借鑒意義。

圖6 框架示意圖及改進模型識別結果Fig.6 Framework diagram and improved model identification results

圖7 El Centro波下纖維模型和改進BWBN模型計算結果對比Fig.7 Comparison of calculation results of fiber model and improved BWBN model under the El Centro wave

2.2.3 模型參數的影響

由于模型引入了新的參數，有必要重新對模型參數影響進行分析。結合參數識別經驗，隨機選取一組符合參考取值范圍的參數作為基礎模型參數：{β,γ,α0,n,δ'η,δ'υ,ζs,p,q,ψ,δψ,λ,r}={0.5, -0.4,0.2,2.5,0.05,0.02,0.1,1.2,5,1.8,0.14,0.5, -1.8}。如圖8(a)所示，當剛度退化影響系數δ′η增大時，在彈性階段由于構件累計損傷非常小，故而滯回曲線不受影響。但是當構件進入屈服時，由于累計損傷增加，滯回曲線的加載卸載剛度會相應減小，同時滯回面積減小，構件非線性滯回耗能能力下降。如圖8(b)所示，當強度退化影響系數δ′υ增大時，每次加載循環(huán)滯回曲線的屈服強度不斷減小。如圖8(c)所示，形狀參數n會影響滯回曲線的拐點，從而影響曲線形狀。如圖8(d)和8(e)所示，參數α0，r共同控制滯回曲線的屈服后剛度，其中α0越大，構件應變硬化現象越明顯，r則降低了屈服后剛度。參數β，γ主要影響加卸載路徑和每個滯回圈的極值。捏攏參數ζs越大，滯回曲線向平衡位置捏攏的現象越明顯。單獨改變p，q，ψ，δψ，λ的參數值并不能對滯回曲線造成很大的影響，這幾個參數是與ζs共同作用來控制滯回曲線捏攏滑移的。這些參數影響與文獻[6]接近，不再展示圖片。

2.2.4 參數靈敏度分析

為研究不同模型參數對模型輸出值的影響程度，對模型參數的靈敏度進行分析，基準參數值為{β,γ,α0,n,δ′η,δ′υ,ζs,p,q,ψ,δψ,λ,r}={0.9,-0.3,0.2,2.5,0.05,0.02,0.5,1.2,5,1.8,0.14,0.5,-1.8}。靈敏度確定方法為：將研究的參數在一定范圍內變化，并保持其余參數不變，代入模型計算恢復力，并通過式(15)計算與基準模型的誤差，并根據式(16)確定參數的靈敏度。靈敏度結果見圖8(f)和表5。

表5 參數靈敏度排序及取值范圍Table 5 Parameter sensitivity ranking and value range

圖8 參數對恢復力模型的影響Fig.8 Influence of parameters on improved BWBN model

式中：Ei為參數第i次變化的模型誤差值；Fj，F′j分別為第j步位移下基準和變化后模型的恢復力。

式中：Sm為參數m的靈敏度；M為參數m的變化次數。

根據圖8(f)和表5 的計算結果，可以確定參數r，β，α0，ζs，n，γ，δ′η，δ′υ的靈敏度最高，其余參數影響較小，在進行在線或者離線的模型更新混合試驗[21]時，可以只對這8 個參數進行更新，其余參數可以固定。此外，對peer 上的柱子數據以及變軸力柱試驗數據和OpenSees 模擬的柱子雙向地震下的數據進行參數識別，得到表5所示的模型參數的建議取值范圍。

3 結論

1)基于16 根定軸力柱子的試驗數據，對原始BWBN 模型進行了改進，改進后的模型相比原來能夠更好地描述柱子的剛度、強度退化等滯回現象。

2) 將損傷指標引入BWBN 模型，并考慮正負向不對稱損傷，對未來研究變軸力恢復力模型有一定借鑒意義。

3) 根據結論2 方法而提出的變軸力BWBN 模型能考慮軸力變化對柱子側向滯回性能的影響，使得考慮軸力變化影響的柱模型更新混合試驗成為可能。

4) 對改進模型參數敏感度進行了研究，發(fā)現參數r，β，α0，ζs，n，γ，δ′η，δ′υ的敏感度最高，故在實際應用時可以只識別這8個參數，其余參數保持不變。