黎燕霞，徐磊

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410075；2. 高速鐵路建造技術(shù)國家工程實驗室，湖南長沙 410075)

磁浮列車由于具有沖擊小、振動小、噪聲低、能耗低、曲率大、爬坡陡等優(yōu)點，受到越來越多的青睞[1]。目前，世界上關(guān)注的磁懸浮模式有德國TR 系列EMS 型常導(dǎo)電磁懸浮(10 mm，430 km/h)、日本MLX 系列EDS 電動型低溫超導(dǎo)磁懸浮(100 mm，550 km/h)和中國HTS系列永磁型高溫超導(dǎo)磁懸浮(10 mm，620 km/h)[2-3]。超導(dǎo)體具有完全抗磁性和磁通釘扎特性，形成懸浮高度和左右導(dǎo)向無需控制的自穩(wěn)定系統(tǒng)[4]。由于明線上運行的常導(dǎo)吸力型高速磁懸浮列車本身的不穩(wěn)定性與《高速磁浮交通車輛通用技術(shù)條件》(CJ/T 367—2011)中11.3條要求“在各種工況下，懸浮系統(tǒng)可以適應(yīng)的最大起伏機(jī)械間隙不小于29 mm”需要相互平衡，磁浮列車穩(wěn)定性問題應(yīng)運而生[5]。磁浮間隙振幅超限使得磁浮列車運動軌跡可能偏離初始平衡中心，使得電磁鐵的電磁環(huán)流過載飽和，導(dǎo)致失穩(wěn)，影響舒適度。關(guān)于磁浮列車穩(wěn)定性的研究工作往往關(guān)注磁浮系統(tǒng)控制器、自激振動、車軌參數(shù)匹配指標(biāo)等，然而磁浮車自身是不穩(wěn)定的，需要通過相關(guān)方法增強(qiáng)穩(wěn)定性。LI等[6]對高溫超導(dǎo)磁懸浮的相圖、proportion integral derivative (PID)控制器進(jìn)行了分析。高溫超導(dǎo)磁懸浮的橫向相圖出現(xiàn)遠(yuǎn)離中心位置2 個不穩(wěn)定的鞍點和1 個中心穩(wěn)定位置穩(wěn)定的焦點。PID 控制器設(shè)置有益磁浮車保持良好的運動穩(wěn)定狀態(tài)。王連春等[7]建立單懸浮點-彈性橋梁簡化的耦合的模型，從能量傳遞的角度闡述了自激振動原理，從耦合系統(tǒng)的特征多項式的角度分析了自激振動機(jī)理。CHEN 等[8]建立車輛懸浮單元和柔性軌道梁的非線性耦合動力學(xué)模型，依據(jù)參數(shù)變化確定平穩(wěn)性及其范圍，表明車輛參數(shù)和軌道梁靜態(tài)撓度之比的合理匹配指標(biāo)有益車軌避免共振，維持穩(wěn)定。此外，隨機(jī)不平順、氣動荷載、磁浮車質(zhì)量、磁浮架質(zhì)量等隨機(jī)激勵荷載對磁浮列車穩(wěn)定也有重要影響，時謹(jǐn)?shù)萚9]探討了合理的磁浮線路功率譜形式，分析了導(dǎo)軌隨機(jī)不平順對系統(tǒng)動力學(xué)指標(biāo)影響規(guī)律。SHEN[10]等測試了磁浮系統(tǒng)在不同導(dǎo)軌不平順激勵下的響應(yīng)，認(rèn)為其是導(dǎo)致系統(tǒng)振動的敏感因素之一。XU 等[11]認(rèn)為單點的車-軌耦合模型在導(dǎo)軌不平順激勵作用下懸浮間隙頻率和振幅增加。WU 等[12]計算了磁浮車軌耦合系統(tǒng)在風(fēng)荷載的響應(yīng)，認(rèn)為氣動荷載顯著增大了磁浮車的加速度。WU 等[13]利用特征值分析，研究了氣動荷載懸浮穩(wěn)定性的影響，向上的空氣動力荷載或俯仰力矩可能導(dǎo)致動態(tài)不穩(wěn)定，向下的空氣動力荷載可能導(dǎo)致靜態(tài)不穩(wěn)定。王黨雄等[14]模擬了2 種質(zhì)量在簡支梁上通過和靜懸浮時的車體、懸浮架、簡支梁的振動加速度，試驗表明，簡支梁加速度在60 Hz處有較大峰值，這一頻率(60 Hz)不受懸浮質(zhì)量影響。懸浮質(zhì)量越大，懸浮系統(tǒng)的不穩(wěn)定性對車體和懸浮架加速度的影響較大。隨機(jī)動力學(xué)與控制的哈密頓理論體系[15]、路徑積分法[16]為研究非線性系統(tǒng)FPK方程的隨機(jī)穩(wěn)定提供了計算方法。盡管已有許多研究人員關(guān)注磁浮系統(tǒng)控制、自激振動、車軌參數(shù)匹配指標(biāo)、導(dǎo)軌隨機(jī)不平順、氣動荷載、懸浮質(zhì)量等對穩(wěn)定的影響，但從左邊界特征值、首次穿越時間分析的研究尚不多見，在此，基于此分析方法對EMS 型磁浮列車穩(wěn)定性及首次穿越時間開展研究。

1 磁浮列車動力學(xué)模型

一般來說，模型復(fù)雜性取決于其目的。倘若通過分析車輛振動響應(yīng)來評估系統(tǒng)平順性、舒適性、安全性，模型應(yīng)該是完整的、準(zhǔn)確的；而運動穩(wěn)定性宜參考來自國防科大磁浮中心團(tuán)隊[7]認(rèn)可的包含最核心要素的磁懸浮最小耦合模型，該模型具有更好的效率。

模型假設(shè)如下：

1) 根據(jù)運動穩(wěn)定關(guān)鍵因素，以磁浮車、磁浮架[17]、懸掛件、導(dǎo)軌等為研究對象；

2) 忽略電磁鐵錯位布置、導(dǎo)軌轉(zhuǎn)彎半徑、導(dǎo)軌高差、導(dǎo)向等次要因素，使復(fù)雜的振動系統(tǒng)得以簡化，提高求解效率；

3) 依據(jù)空氣彈簧實驗數(shù)據(jù)[18]設(shè)置非線性特征系數(shù)；

4) 將外部激勵反演為近似一致白噪聲激勵[19-20]，磁浮力等效線性化[21]。

5) 磁浮架、磁浮車質(zhì)量的波動近似為白噪聲激勵[14]。

磁浮車動力學(xué)模型及參數(shù)分別見圖1和表1。

圖1 磁浮車系統(tǒng)模型Fig.1 Maglev vehicle system model

磁浮系統(tǒng)微分方程如下：

式中：m1為磁浮架質(zhì)量；m2為磁浮車質(zhì)量；k1為磁浮架自振剛度；g為重力加速度；k2為磁浮車自振剛度；z0為磁鐵初始位移；z1為磁浮架位移；z2為磁浮車位移；kcz為懸掛線性剛度；ccz為懸掛線性阻尼；ɑ1和ɑ2為非線性剛度系數(shù)；β為非線性阻尼系數(shù)；sgn為符號函數(shù)；δ為非線性阻尼耦合冪次；kδ為導(dǎo)軌隨機(jī)不平順系數(shù)；kv為氣動荷載系數(shù)；fv(1/2ρAC3(V+U)2)為氣動荷載；fm0為初始磁浮力；kep為等效磁動剛度；ked為等效磁動阻尼；ξ1為軌道不平順激勵；ξ2為風(fēng)壓激勵；ξ3為磁浮架激勵；ξ4為磁浮車激勵。

導(dǎo)軌隨機(jī)不平順變量ξ1(t)，風(fēng)壓功率譜隨機(jī)變量ξ2(t)，磁浮車激勵ξ3和磁浮架激勵ξ4。需滿足以下關(guān)系：

2 磁浮列車隨機(jī)穩(wěn)定性求解

2.1 隨機(jī)平均方法

基于隨機(jī)平均方法的一維哈密頓Ito＾方程可預(yù)測隨機(jī)穩(wěn)定。通過該一維哈密頓Ito＾方程可以獲得隨機(jī)非線性方程臨界穩(wěn)定的表達(dá)式。

為便于計算，廣義位移變量的轉(zhuǎn)換如下：

式中：qi為廣義位移；pi為廣義動量，i=1～2。

式(1)經(jīng)過降階后的方程如下：

式中：

哈密頓能量方程為：

哈密頓系統(tǒng)涉及的變量均為獨立變量，其方程從概率上收斂于一維的漂移和擴(kuò)散過程。

Ito＾方程的平均哈密頓方程為

式中：m(H)為漂移系數(shù)；σ(H)為一維擴(kuò)散過程；H(t)為擴(kuò)散能量。

式(6)經(jīng)空間平均后，代入式(5)，漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)積分表達(dá)式為式(8)：

引入極坐標(biāo)

2.2 磁浮列車左邊界特征值求解

一維擴(kuò)散過程的隨機(jī)穩(wěn)定性由該過程在邊界上的形態(tài)體現(xiàn)。對擬不可積Hamilton 系統(tǒng)在等能量面上可作遍歷假設(shè)，即H(q,p)=H為常數(shù)約束下，系統(tǒng)狀態(tài)以等概率分布于等能量面上。時間平均可代之以空間平均，原有的多個動力學(xué)方程的邊界條件，可代之以相應(yīng)的1維Hamilton系統(tǒng)的邊界條件。從而為邊界類別判別穩(wěn)定性方法的實施奠定了基礎(chǔ)[19]。

當(dāng)H→0，系統(tǒng)各重力、磁浮力、氣動力會有一個調(diào)整后平衡，暫不考慮1階。當(dāng)H→0且δ>1，

忽略高階，取2階的近似值，式(5)轉(zhuǎn)化為

那么，左邊界擴(kuò)散系數(shù)指數(shù)、左邊界漂移系數(shù)指數(shù)、左邊界特征指數(shù)，分別表達(dá)如式(13)。

考慮隨機(jī)系統(tǒng)只要存在外激即失穩(wěn)，分2類情況進(jìn)行討論。

1) 當(dāng)S1≠0；S2≠0，漂移系數(shù)、擴(kuò)散系數(shù)、特征指數(shù)如下：

此時為進(jìn)入邊界[19]，系統(tǒng)平凡概率不穩(wěn)定，可考慮首次穿越問題。

2) 當(dāng)S1=S2=0，漂移系數(shù)、擴(kuò)散系數(shù)、特征指數(shù)如下：

根據(jù)第1類奇異邊界類別的進(jìn)一步分類依賴于特征值CL[19]，即：

2.3 磁浮列車首次穿越時間求解

條件可靠性函數(shù)R(t|H10,H20)滿足下列后向Kolmogorov方程：

式中：mˉr，σˉrk由式(19)中mˉ1，σˉrk以H10與H20得到。

初始條件為R(0|H0)= 1，H0∈Ω。Гc上邊界條件為R(0|H0)= 0，H0∈Гc。定性邊界條件需利用方程(21)與mˉr，σˉrk在Г0上之值化為定量邊界條件。它們是Г01上：

首次穿越時間的k階條件矩，可從求解下列廣義Pontryagin方程得到：

3 磁浮車隨機(jī)穩(wěn)定性分析

3.1 磁浮車左邊界特征值分析

擴(kuò)散過程在邊界上的性態(tài)在很大程度上決定于整個磁浮車動力系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)。哈密頓一維能量擴(kuò)散過程的概率漸近穩(wěn)定性完全由該過程在邊界上的性態(tài)決定，詳細(xì)參考文獻(xiàn)[19]。依磁浮車-磁浮架邊界分類分析，當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定或失衡狀態(tài)時，其相互關(guān)系見圖2。

圖2 磁浮車系統(tǒng)全局穩(wěn)定性示意圖Fig.2 Global stability of a maglev vehicle system

當(dāng)CL=1 時，為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定狀態(tài)，經(jīng)計算可得：

當(dāng)特征指數(shù)小于1時，能量趨向穩(wěn)定左邊界(H→0)處，具有平穩(wěn)解，此時系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。當(dāng)特征指數(shù)大于1 時，能量遠(yuǎn)離零點左邊界(H→0)，能量在左邊界(H→0)和右邊界(H→∞)間徘徊，此時系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)要根據(jù)其流動和擴(kuò)散情況確定。從式(32)可以看出，當(dāng)特征指數(shù)為1 時，是系統(tǒng)的臨界狀態(tài)。根據(jù)式(32)可導(dǎo)出系統(tǒng)各個參數(shù)約束關(guān)系，如圖3～5。

圖3 各參數(shù)變化的特征值Fig.3 Character values of left boundary vary with parameters

從圖3可以看出，隨著磁浮架質(zhì)量激勵D3和磁浮車質(zhì)量激勵D4增加，CL越大，越不利于穩(wěn)定；隨著等效磁動阻尼ked，隨著懸掛線性阻尼ccz磁浮架質(zhì)量m1，磁浮車質(zhì)量增大m2，CL逐漸減小，越有益于穩(wěn)定。隨著磁磁浮車質(zhì)量激勵D4增加，磁浮車質(zhì)量m2增加到一定的程度，再有變化，CL指標(biāo)集中一點，基本保持不變，并小于3。

從圖4 中可以看出，當(dāng)CL指標(biāo)為1，即臨界狀態(tài)時，可以導(dǎo)出兩兩參數(shù)之間的約束關(guān)系。ked-D3和Ccz-D3二維穩(wěn)定域呈現(xiàn)遞增趨勢。

圖4 二維穩(wěn)定域Fig.4 Two-dimensional safe region

從圖5 中可以看出，從式(3)可以導(dǎo)出任意2 個參數(shù)之間與特征值CL的關(guān)系，形成三維圖。綠色水平層(CL=1)以上為由不穩(wěn)定向失穩(wěn)發(fā)展的方向。當(dāng)ked/Ccz→0且D3→∞時，集中空間坐標(biāo)右上角出現(xiàn)失穩(wěn)報警區(qū)域；當(dāng)m1/m2→∞且D4→∞時，集中空間坐標(biāo)右上角出現(xiàn)箭頭所示意失穩(wěn)報警區(qū)域。

圖5 三維穩(wěn)定域Fig.5 Three-dimensional stable region

3.2 磁浮車首次穿越分析

根據(jù)2.3 的推導(dǎo)，上述方程可用有限差分法五點格式進(jìn)行可靠度函數(shù)和首次跨越時間求解。

從圖6中可以看出，外激S1≠0且S2≠0對相同的可靠度情況下，時間偏短。

圖6 可靠性函數(shù)R(t)Fig.6 Reliability function

從圖7中可以看出，外激S1≠0且S2≠0對相同能量情況下，時間偏短。

圖7 平均首次穿越時間Fig.7 Average time of first-passage failure

4 結(jié)論

1) 基于哈密頓理論的隨機(jī)平均方法，可以導(dǎo)出左邊界特征值方程，以便進(jìn)一步考慮隨機(jī)激勵對穩(wěn)定性的影響，數(shù)值計算表明本文方法有效。

2) 相對于確定性特征值，等效動磁阻尼和懸掛線性阻尼越大，磁浮架和磁浮車質(zhì)量及其參激強(qiáng)度越小，越有益于維持穩(wěn)定。在臨界穩(wěn)定狀態(tài)，各參數(shù)存在相互匹配關(guān)系。導(dǎo)軌隨機(jī)不平順激勵且氣動荷載激勵不為0 時，系統(tǒng)平凡概率不穩(wěn)定，在相同可靠度和能量情況下，首次穿越時間最短。

3)下一步可與平穩(wěn)性、舒適度等指標(biāo)相結(jié)合，共同優(yōu)化參數(shù)范圍。