方圓

摘要：隨著我國社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，教育事業(yè)受到了人們的廣泛關(guān)注。而初中數(shù)學(xué)教學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科更加受到了教育界的重視。初中數(shù)學(xué)中的幾何變換思想是提高學(xué)生空間想象能力的一種有效途徑。所以幾何變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要地位。下面將對初中數(shù)學(xué)幾何變換中考試題的命題實踐進行相關(guān)的探究。

關(guān)鍵詞：幾何變換;中考試題;命題實踐

中圖分類號：A?文獻標(biāo)識碼：A?文章編號：（2021）-44-464

幾何變換作為初中數(shù)學(xué)新課程新增的教學(xué)內(nèi)容，是“空間與圖形”領(lǐng)域的重要組成部分，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用。幾何變換包括軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換等。軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小;相似變換改變圖形的大小，但不改變圖形的形狀。

幾何變換的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生從“變換”的角度認(rèn)識傳統(tǒng)的幾何圖形。軸對稱變換與等腰三角形相對應(yīng)，平移變換與平行四邊形相對應(yīng)，相似變換與相似形相對應(yīng)，這些都是歐氏平面上常用的特性。幾何變換有著特殊的教育價值，特別是在發(fā)展學(xué)生的空間觀念，以及觀察、實驗、探索、合情推理等方面具有“過程性”教育價值。

幾何變換又是以運動的觀點研究圖形，通過幾何變換，不僅能生成、創(chuàng)造許多新

的幾何圖形，而且能衍生新的圖形性質(zhì)。有關(guān)幾何變換的中考試題不僅能有效考查學(xué)生對圖形變換及動態(tài)變換過程中的規(guī)律的認(rèn)識，而且能有效考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究問題的水平，還能有效考查學(xué)生的空間觀念、圖形的直覺判斷能力和邏輯推理能力。

下面筆者就以近年中考數(shù)學(xué)試題為例，談?wù)劸幹朴嘘P(guān)幾何變換中考題的實踐與思考。

一、利用“新”的幾何變換來編制試題

這里的“新”的幾何變換指的是學(xué)生暫時還沒有學(xué)過的幾何變換，主要采用閱讀理解的題型，將“新”的幾何變換作為學(xué)生數(shù)學(xué)探究的載體，來研究在“新”的幾何變換下圖形的變化規(guī)律和性質(zhì)。

例：如圖1，在平面上，給定了半徑為r的QO，對于任意點P，

在射線OP上取一點P’，使得OP·OP’=r2，這種把點P變?yōu)辄cP’，的變換叫做反演變換，點P與點P’，叫做互為反演點。

（1）如圖2，⊙O內(nèi)外各一點A和B，它們的反演點分別為A’和B’

求證：∠A’=∠B。

（2）如果一個圖形上各點經(jīng)過反演變換得到的反演點組成另一個圖形，那么這

兩個圖形叫做互為反演圖形。

①選擇：如果不經(jīng)過點O的直線l與⊙O相交，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是（?）。

（A）一個圓（B）一條直線

（C）一條線段（D）兩條射線

②填空：如果直線z與QO相切，那么它關(guān)于QO的反演圖形是——，該圖形與0O的位置關(guān)系是——。

【說明】2001年，全國部分地區(qū)先期實施初中數(shù)學(xué)新課程改革，作為實施新課

程改革的“預(yù)熱”，筆者有意設(shè)計了這一道幾何變換題，意在改變以往各類考試中過分強調(diào)的“演繹推理”的考查，轉(zhuǎn)向?qū)W(xué)生的觀察、操作、探索、合情推理等“過程性”考查。

本題以“反演變換”為載體，要求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上研究變換的規(guī)律。在“反演變換”下，圓內(nèi)的點的反演點在圓外，圓上的點的反演點在圓上，圓外的點的反演點在圓內(nèi)。由于直線與圓的交點的反演點是它本身，因此只要在該直線的圓內(nèi)、圓外部分各取幾個點，畫出反演點，便可推測該直線的反演圖形是圓。又由于直線與圓的切點的反演點是它本身，所以只要在該直線上取幾個點，畫出反演點，便可推測該直線的反演圖形是與已知圓相內(nèi)切的一個圓。

本題主要考查圓的有關(guān)知識、閱讀理解能力和合情推理能力。本題的得分率為

0.45，學(xué)生答題過程中的主要錯誤有：不理解“反演變換”的意義而無法求解;缺乏合情推理的基本方法而無法求解;表達錯誤——把兩圓“內(nèi)切”說成“相切”或“外切”

二、利用特殊工具作圖來編制試題

作出一個圖形在幾何變換后的圖形，這是數(shù)學(xué)中考命題的常用方法，當(dāng)然這些

作圖要利用幾何變換的特性，也要依靠邏輯推理使作圖步步有據(jù)。而利用特殊工具作圖命制幾何變換中考題不僅情境新穎、思維價值較高，而且能有效考查學(xué)生的作圖能力和創(chuàng)新意識。

三、利用定量研究變換后的圖形關(guān)系來編制試題

幾何不僅研究圖形，而且研究圖形的運動和變化，如果按照一個“規(guī)則”移動一個幾何圖形上的所有點，就能創(chuàng)造一個新的圖形，這就是幾何變換，并且原圖形上的點與新圖形上的點一一對應(yīng)，根據(jù)這一特點，可以在中考試題中設(shè)計幾何變換題，讓學(xué)生定量研究這個“規(guī)則”。

四、利用幾何變換設(shè)計新圖形來編制試題

利用幾何變換設(shè)計圖案是一項十分有趣的活動，可以發(fā)揮學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性，也可以使學(xué)生感受到圖形變換的樂趣和價值。由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換設(shè)計圖案，因此構(gòu)造一個新的幾何變換，要求學(xué)生理解新的幾何變換，并利用其設(shè)計圖案，無疑能增加試題的思維價值和考評價值。

五、利用幾何變換的組合來編制試題

將兩種幾何變換進行有序組合，可以生成新的幾何變換，于是，可以利用生成的幾何變換研究幾何圖形以及它們的性質(zhì)。對學(xué)生而言，此類幾何變換有似曾相識的感覺，但此類幾何變換與原來的兩種變換有著本質(zhì)的不同，也有更豐富的內(nèi)涵。利用幾何變換的組合來構(gòu)造試題無疑為中考數(shù)學(xué)命題開啟了一扇窗戶。

總之，開發(fā)和設(shè)計有關(guān)幾何變換類中考試題，不僅可以創(chuàng)設(shè)較多的新的試題情境，鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，而且對保證中考數(shù)學(xué)命題的質(zhì)量，引導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義。

參考文獻

[1]鄔佩芬.幾何變換在數(shù)學(xué)解題中的作用[J].寧波教育學(xué)院學(xué)報，2003（增刊）：73-74.