林毓寧

[摘 要]研究碎片化教學(xué)，有利于指導(dǎo)學(xué)生有效利用零碎時間學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

[關(guān)鍵詞]復(fù)習(xí)課;碎片化;教學(xué)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0015-03

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是針對已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容進行復(fù)習(xí)的，學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有熟練與不熟練之別.如何在一堂課中讓不同層次的學(xué)生都有最大收獲，如何讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課快速推進？這就得做好碎片化教學(xué).下面以《數(shù)列通項的基本求法》的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的一些做法.

一、分析考情

近年來高考對數(shù)列的考核難度有所降低，主要考查數(shù)列的基本概念和基本運算，掌握數(shù)列通項的基本求法及數(shù)列求和常用方法.

二、確定教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差等比數(shù)列的概念和等差等比數(shù)列通項公式的函數(shù)特征.

2.能利用公式[an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）]求數(shù)列通項.

3.會用累加累乘法求數(shù)列通項.

4.會用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化成等差等比數(shù)列模型.

5.通過學(xué)生對數(shù)列識別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.

（二）核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)：等差等比數(shù)列的概念和等差等比數(shù)列通項公式的函數(shù)特征.

2.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)：等差等比數(shù)列模型，累加累乘法模型.

3.數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

三、確定重難點

教學(xué)重點：等差等比數(shù)列的概念和等差等比數(shù)列通項公式的函數(shù)特征.

教學(xué)難點：構(gòu)造法轉(zhuǎn)化成等差等比數(shù)列模型，用累加累乘法求數(shù)列通項.

四、教學(xué)過程

（一）檢測

1.設(shè)數(shù)列[an]滿足：[a1=1]，[an+1=3an]，[n∈N*]， 則數(shù)列[an]的通項公式[an=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2.已知數(shù)列[an]的前[n]項和[Sn=3n2+8n]，求數(shù)列[an]的通項公式.

3.若數(shù)列[an]的前[n]項和為[Sn=23an+13]，則數(shù)列[an]的通項公式[an=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

4.數(shù)列[an]滿足[a1=1]，且[an+1-an=n+1]（[n∈N*]），則數(shù)列[an]的通項公式是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

5.在數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an=n-1nan-1] （[n≥2]），則數(shù)列[an]的通項公式是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

設(shè)計意圖：學(xué)生完成了檢測題即可知道各題的正確答案，已掌握和未掌握的數(shù)列通項公式的求法類型便呈現(xiàn)出來了.

（二）自主學(xué)習(xí)

1.第1和第2題未做對的，前往1組，自主學(xué)習(xí)1.

2. 第3題未做對的，前往2組，自主學(xué)習(xí)2.

3.第4題未做對的，前往3組，自主學(xué)習(xí)3.

4.第5題未做對的，前往4組，自主學(xué)習(xí)4.

5.全部做對的，前往5組，自主學(xué)習(xí)5、6.

設(shè)計意圖：指引學(xué)生通過對未掌握的數(shù)列通項公式求法類型進行自主學(xué)習(xí)和分組討論.

自主學(xué)習(xí)1：滿足等差等比數(shù)列的定義的，直接代等差等比數(shù)列通項公式求解.

（1）滿足[an+1=an+d]及求和公式 [Sn][=d2n2+a1-d2n]是關(guān)于[n]的常數(shù)項為0的二次函數(shù)特征的，可知[an]是等差數(shù)列.

（2）通項公式的函數(shù)特征：[an]是關(guān)于[n]的函數(shù)[an=c?qn]（[c]，[q]都是不為0的常數(shù)[n∈N*]），及求和公式[Sn=kqn-k]是關(guān)于[n]的指數(shù)型函數(shù)（[k]為常數(shù)且[k≠0]，[q≠0，1]），可知[an]是等比數(shù)列.

[例1]設(shè)數(shù)列[an]的前[n]項和[Sn=n2]，則[a8]的值為? ? ? ? ? ? ? ? ?.

解法1：由已知數(shù)列[an]是首項1，公差為2的等差數(shù)列，則[a8=1+7×2=15].

解法2：[a8=S8-S7=64-49=15].

[例2]在數(shù)列[an]中， [a1=1， 2an+1=1+1n2ann∈N* ].

證明：數(shù)列[ann2]成等比數(shù)列，并求[an]的通項公式.

分析：由條件得[an+1（n+1）2=12·ann2]，又[n=1]時，[ann2=1]，故數(shù)列[ann2]構(gòu)成首項為1，公比為[12]的等比數(shù)列，從而[ann2=12n-1]，即[an=n22n-1].

設(shè)計意圖：讓學(xué)生領(lǐng)悟等差等比數(shù)列通項公式及求和公式的函數(shù)特征并模型化.

自主學(xué)習(xí)2：公式法.[an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）]

[Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an] ……①

當(dāng)[n≥2]時，[Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1]? ? ……②

①-②得[Sn-Sn-1=an].

[例3]已知下列兩數(shù)列[an]的前n項和[Sn]的公式，求[an]的通項公式.

（1）[Sn=n2+n];（2）[Sn=n2-1].

分析：（1）[a1=S1=1+1]，[an=Sn-Sn-1=（n2+n）-（n-1）2+（n-1）=2n]，此時，[a1=2=S1]，∴[an]=[2n]為所求數(shù)列的通項公式.

（2）[a1=S1=0]，當(dāng)[n≥2]時，[an=Sn-Sn-1=n2-1-n-12-1=2n-1]，

由于[a1]不適合此等式，∴[an=0（n=1）2n-1 （n≥2）].

[例4]記[Sn]為數(shù)列[an]的前[n]項和，若[Sn=2an+1]，則[S6=]? ? ? ? ? ? ? ? ? .

分析：根據(jù)[Sn=2an+1]，可得[Sn+1=2an+1+1]，兩式相減得[an+1=2an+1-2an]，即[an+1=2an]，當(dāng)[n=1]時，[S1=a1=2a1+1]，解得[a1=-1]，所以數(shù)列[an]是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以[S6=-（1-26）1-2=-63].

對于此類問題，解題步驟總結(jié)如下：

①利用[Sn]滿足條件[P]，寫出當(dāng)[n≥2]時[Sn-1]的表達式;

②利用[an=Sn-Sn-1（n≥2）]，求出[an]或者轉(zhuǎn)化為[an]的遞推公式的形式;

③根據(jù)[a1=S1]求出[a1]，并代入[an]的通項公式進行驗證.若成立，則合并;若不成立，則寫出分段形式或根據(jù)[a1]和[an]的遞推公式求出[an].

設(shè)計意圖：模型化的應(yīng)用，把非等差、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列.

自主學(xué)習(xí)3： 累加法.類似于“[an+1-an=fn]”的條件時，使用累加法求解.

[an-an-1=fn-1]，

[an-1-an-2=fn-2]，

[an-2-an-3=fn-3]，

……

[a2-a1=f1].

以上式子左右分別相加，得

[an-a1=f（n-1）+f（n-2）+f（n-3）+…+f（1）]，

所以得到[an=f（n-1）+f（n-2）+f（n-3）+…+f（1）+a1]，

[即 an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1） ].

[例5]已知數(shù)列[an]中，[a1=1]且[an+1=an+3n]，則[a20=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

分析：由[an+1-an=3n]，[an-an-1=3n-1（n≥2）].

[an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+][（an-an-1）=1+3+32+33+…+3n-1=1×（1-3n）1-3=] [3n-12]， 所以[a20=320-12].

對于此類問題，解題步驟總結(jié)如下：

①將遞推公式寫成[an+1-an=f（n）];

②依次寫出[an-an-1，…， a2-a1]，并將它們累加起來;

③得到[an-a1]的值，解出[an];

④檢驗[a1]是否滿足所求通項公式，若滿足，則合并;若不滿足，則寫出分段形式.

自主學(xué)習(xí)4：累乘法.類似于“[an+1an=fn]”的條件時，使用累乘法求解.

[an=a1a2a1a3a2a4a3…anan-1=a1f（1）·f（2）·f（3）·…·f（n-1）].

[例6]在數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an=n-1nan-1（n≥2）]，則數(shù)列[an]的通項公式是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

分析：∵[an=n-1nan-1（n≥2）]，∴[an-1=n-2n-1an-2]，…，[a2=12a1]，以上[（n-1）]個式子相乘得[an=a1·12·23·…·n-1n=a1n=1n].當(dāng)[n=1]時，[a1=1]，上式也成立，∴[an=1n].

對于此類問題，解題步驟總結(jié)如下：

①將遞推公式寫成[an+1an=f（n）];

②依次寫出[anan-1，…，a2a1]，并將它們累乘起來;

③得到[ana1]的值，解出[an];

④檢驗[a1]是否滿足所求通項公式，若滿足，則合并;若不滿足，則寫出分段形式.

自主學(xué)習(xí)5：倒數(shù)法.類似于“[an+1=kanan+k]”的條件時，使用倒數(shù)法求解.

[例7][a1=1，an+1=2anan+2]，求[an].

分析：由已知得[1an+1=an+22an=12+1an]，

∴[1an+1-1an=12].

∴[1an]為等差數(shù)列，[1a1=1]，公差為[12]，∴[1an=1+n-1·12=12n+1]，∴[an=2n+1].

自主學(xué)習(xí)6：構(gòu)造法.

（1）[an=kan-1+dk， d為常數(shù)， k≠0， k≠1， d≠0]可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)[an+c=kan-1+c?an=kan-1+k-1c]，令[k-1c=d]，∴[c=dk-1]，∴[an+dk-1]是首項為[a1+dk-1]，[k]為公比的等比數(shù)列.

[∴an+dk-1=a1+dk-1·kn-1]，[∴an=a1+dk-1·kn-1-dk-1].

（2）遞推公式為[an+1=pan+qn]（其中[p]，[q]均為常數(shù)，[pq（p-1）（q-1）≠0]）.

（三）能力提高

1.在數(shù)列[an]中，[a1=1，an+1=anan+1（n∈N*）].

求證：數(shù)列[1an]是等差數(shù)列，并求數(shù)列[an]的通項公式.

2.設(shè)數(shù)列[an]的前[n]項和為[Sn].若[S2]=4，[an+1=2Sn+1]，[n∈N*]，則[a1]=? ? ? ? ? ? ? ，[S5]=? ? ? ? ? ? ? .

3.設(shè)[Sn]是數(shù)列[an]的前[n]項和，且[a1=-1， an+1=SnSn+1]，則[Sn]=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

4.數(shù)列[an]滿足：[a1+2a2+…+nan=4-n+22n-1]，[n∈N*].

（1）求[a3]的值;（2）求數(shù)列[an]的前[n]項和[Tn].

5.在數(shù)列[an]中，[a1=2]，[an+1=an+1n（n+1）]，則數(shù)列[an]的通項公式是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

（四）歸納總結(jié)

數(shù)列通項的基本求法：

①[an=S1n=1，Sn-Sn-1n≥2.]

② [an-an-1=d]（常數(shù)），等差數(shù)列.

③ [an-an-1=f（n）]，試用疊加法.

④ [anan-1=q]（常數(shù)），等比數(shù)列.

⑤ [anan-1=f（n）]，試用疊乘法.

⑥ [an=Aan-1+B]和[an=Aan-1+f（n）]，試用配湊法.

⑦ [an+1=kanan+k]，用倒數(shù)法.

五、布置作業(yè)

六、制作微課程（讓學(xué)生利用碎片化時間在課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)）

七、教學(xué)反思

本案例有以下幾個優(yōu)點：

1.能快速檢測出學(xué)生已掌握和未掌握的內(nèi)容;

2.能讓不同層次的學(xué)生同時展開學(xué)習(xí)，共同進步;

3.加快教學(xué)進度;

4.自主學(xué)習(xí)和分組討論能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑.因此，每一堂課的碎片化教學(xué)要體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，教師就要在課前認真?zhèn)浜妹恳惶谜n的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)過程.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 張格波.“碎片化”教學(xué)現(xiàn)象剖析及調(diào)整對策[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（9）：3-5.

[2]? 趙思林.高三數(shù)學(xué)有效復(fù)習(xí)的六條措施[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（3）：3-7.

[3]? 羅亮，彭軒娣.熟透課本，輕松應(yīng)對廣東高考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（3）：17-20.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）