林祖燦

【摘要】二項(xiàng)式定理是數(shù)學(xué)高考的一個(gè)考點(diǎn)，主要從數(shù)、圖兩個(gè)方面來考查二項(xiàng)式定理的變形與應(yīng)用.二項(xiàng)式定理是代數(shù)式乘法的推廣，能利用組合性質(zhì)證明二項(xiàng)式定理.用楊輝三角和組合的性質(zhì)從數(shù)圖兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)，分析二項(xiàng)式的展開式各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，能利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)、展開式系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等.

【關(guān)鍵詞】代數(shù)乘法;組合思想;通項(xiàng)公式;規(guī)律總結(jié)

二項(xiàng)式定理是數(shù)學(xué)高考?？嫉目键c(diǎn)，主要從數(shù)、圖兩個(gè)方面來考查二項(xiàng)式定理的正用與逆用.二項(xiàng)式定理是代數(shù)式乘法的推廣，能利用組合性質(zhì)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理.學(xué)生通過合作交流，自主探究二項(xiàng)式定理的形成過程，可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、總結(jié)的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)會(huì)從特殊到一般、一般到特殊的數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)語言表達(dá)的規(guī)范化.用楊輝三角和組合性質(zhì)從數(shù)圖兩個(gè)方面分析二項(xiàng)式定理的展開過程，分析二項(xiàng)式的展開式各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，能利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)、展開式系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等.

在課堂教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)史中牛頓在二項(xiàng)式定理“數(shù)”方面的發(fā)現(xiàn)，以及楊輝在《九章算法》中“形”方面的貢獻(xiàn)，分析規(guī)律，歸納猜想，讓學(xué)生由圖到數(shù)，數(shù)形結(jié)合，觀察、分析、比較、總結(jié)楊輝三角及展開式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)二項(xiàng)式定理;同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用組合性質(zhì)，借助楊輝三角的“圖”特征，總結(jié)歸納項(xiàng)的數(shù)字系數(shù)，字母系數(shù)，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)，字母a，b次數(shù)的變化特點(diǎn)，為推導(dǎo)（a+b）n的展開式提供了方法，使學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)過程中有“法”可依.通過（a+b）3，（a+b）4展開式的探究方法，學(xué)生類比得到（a+b）n的展開式.二項(xiàng)式定理的證明采用“說理”的方式，從計(jì)數(shù)原理的角度對(duì)展開過程分析，概括出二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)，利用組合知識(shí)分析展開式中具有同一形式的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的展開式.其中，二項(xiàng)式定理的常用結(jié)論有：

下面就二項(xiàng)式定理在數(shù)學(xué)高考試題中常考的題型的變式訓(xùn)練加以舉例說明.

一、利用通項(xiàng)公式求展開式中指定項(xiàng)或特定項(xiàng)

利用通項(xiàng)公式來求二項(xiàng)式系數(shù)、展開式系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等，此類題的解題步驟：①寫出通項(xiàng)公式;②令未知數(shù)的次數(shù)等于指定的次數(shù)，求出r的值;③帶入通項(xiàng)公式中，即可求出指定項(xiàng)或特定項(xiàng).

二、利用賦值法求有關(guān)系數(shù)的和

利用二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，求有關(guān)系數(shù)的和.此類題的解題步驟：①寫出已知二項(xiàng)式的展開式;②一般令未知數(shù)值等于1，0，-1;③通過加減運(yùn)算，即可求出有關(guān)系數(shù)的和.

三、利用二項(xiàng)式定理證明整除問題和證明有關(guān)不等式問題

二項(xiàng)式定理在高考試題中還考查與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，通常利用二項(xiàng)式定理證明整除問題和證明有關(guān)不等式問題，以及求近似值的問題.此類題的解題步驟：①利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式;②根據(jù)二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律;③結(jié)合證明的問題，進(jìn)行推理論證和運(yùn)算求解.

總之，二項(xiàng)式定理是數(shù)學(xué)高考中?？嫉囊粋€(gè)考點(diǎn)，本文就二項(xiàng)式定理在數(shù)學(xué)高考試題中常考的題型加以改編并舉例說明.此外，與二項(xiàng)式定理有關(guān)的題型還有二項(xiàng)式系數(shù)、展開式系數(shù)、展開式中的項(xiàng)最值問題、二項(xiàng)式定理的正用與逆用等，與二項(xiàng)式定理有關(guān)的題型不勝枚舉，本文就不一一列舉了.在課堂教學(xué)中，教師需要不斷地探索課程改革與教學(xué)改革，推陳出新，不斷發(fā)現(xiàn)新問題、新思路、新方法，從而不斷完善自我.

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