◎李 昕 (鄭州輕工業(yè)大學(xué)，河南 鄭州 450000)

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是研究自然界中各種隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的一門學(xué)科，是高校理工科專業(yè)開設(shè)的一門非常重要的數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課，也是考研數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容[1].在當(dāng)今社會，概率統(tǒng)計方法的應(yīng)用已經(jīng)深入到社會生活的各個領(lǐng)域.如果留心觀察，在我們身邊也處處可見概率統(tǒng)計知識應(yīng)用的身影.

本課程的內(nèi)容既抽象又生動.說它抽象，是因為教學(xué)內(nèi)容中充滿著大量的數(shù)學(xué)公式與運算，擁有非常嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，思維方式體現(xiàn)了強烈的數(shù)學(xué)特色，因此很多同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中感到難以理解，學(xué)習(xí)不得法，找不到解決問題的正確思路；說它生動，是由于它有別于我們之前接觸到的其他數(shù)學(xué)課程，總是好像空中樓閣一樣，看不到和我們實際生活的任何聯(lián)系，所以學(xué)生常常會有這樣的疑問：學(xué)數(shù)學(xué)究竟有什么用？而“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”從課程一開始，每一個概念的引入都來源于我們?nèi)粘Ｉ钪凶钇胀ㄗ畛Ｒ姷碾S機(jī)現(xiàn)象，比如拋硬幣來看正反面，比如抽撲克牌比較大小，比如猜測路口的紅綠燈，比如等車時比較誰等的車先到等，生活中的隨機(jī)事件隨處可見，每一個人都曾接觸或體會過，只是不曾細(xì)想其原理而已.作為一門數(shù)學(xué)課，它不再是一門看不見摸不著的課程，因此，不論從課程的重要性與它的實用性，或者是它的特殊性，作為教師，都應(yīng)該努力使學(xué)生學(xué)會它學(xué)好它，掌握其中的基本概率思想與統(tǒng)計方法[2].下面簡單談一談在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學(xué)實踐過程中的幾點認(rèn)識.

一、提前做好教學(xué)安排

(一)教學(xué)計劃透明化

教學(xué)安排或教學(xué)計劃是課程設(shè)置的整體規(guī)劃，是根據(jù)一定教學(xué)目的和培養(yǎng)目標(biāo)制定的教學(xué)工作的指導(dǎo)文件，因此它制定的質(zhì)量與教學(xué)過程取得的效果息息相關(guān).在每個學(xué)期開始之前，任課教師都會制定一個教學(xué)日歷，根據(jù)課程的教學(xué)時數(shù)對所需講授的所有內(nèi)容加以分配，包括每次課堂內(nèi)容結(jié)束之后留給學(xué)生的習(xí)題也會予以說明.這使得教師可以按照此教學(xué)安排表進(jìn)行教學(xué)，盡可能保證了教學(xué)過程的順利進(jìn)行及教學(xué)任務(wù)的按時完成.但是對于學(xué)生來說，對于教學(xué)進(jìn)度是無法把握的，接觸一門陌生的課程，學(xué)生本來從心理上可能就會產(chǎn)生一種抵觸的情緒，就像新到一個陌生的環(huán)境一樣會有點無所適從，這樣是很難培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的，如果能夠在學(xué)期初始就把本課程的教學(xué)安排透明化，學(xué)生能夠大致把握每堂課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，有助于學(xué)生達(dá)到一個心里有底而不慌不忙的學(xué)習(xí)狀態(tài).

(二)教學(xué)計劃細(xì)致化

通常所用的教學(xué)日歷，只是大略描述一次課堂教學(xué)的主要內(nèi)容，或者是對章節(jié)標(biāo)題做了一個分配，比如離散型隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的數(shù)字特征等，而對其中包含了哪些概率論的基本概念，則完全沒有提及，如果能把計劃做得更加細(xì)致，在標(biāo)題內(nèi)容下有一個展開，把涉及的概念和問題作以說明，類似于給出一個教學(xué)流程圖，那么學(xué)生就可以據(jù)此來有的放矢地進(jìn)行預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)，有助于提高學(xué)習(xí)效果.

(三)使用國外的優(yōu)秀教材作為參考

關(guān)于“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”，國內(nèi)外都出版了大量的優(yōu)秀教材，現(xiàn)在我們已經(jīng)可以容易地找到很多國外高校的教材甚至是完整的教學(xué)視頻.由于文化差異與學(xué)習(xí)習(xí)慣不同，國內(nèi)外的概率統(tǒng)計類教材在內(nèi)容設(shè)置和安排上有很大差異.比如，我們習(xí)慣先介紹概念再給出實例說明，而外文教材中往往是先給出實例，提出疑問，進(jìn)而總結(jié)出概念.教師在選用的教材之外，可以介紹一些外文教材，鼓勵學(xué)生以此作為參考書，或在課堂教學(xué)上轉(zhuǎn)換一下教學(xué)順序，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及對知識應(yīng)用的融會貫通.比如在學(xué)習(xí)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布時，對于均勻分布大家很容易就理解了，但對于指數(shù)分布往往覺得抽象.教師可以在上課時提出這樣一個問題：“公交車始發(fā)站一般發(fā)車時間間隔是相等的，但在中途站點等車時卻感覺公交車的到達(dá)時間間隔是不相等的，為什么呢？”相信這樣的體會大多數(shù)學(xué)生都有過，當(dāng)然會回答是隨機(jī)因素的影響，那么經(jīng)過影響之后的時間間隔就是一個隨機(jī)變量了，這個隨機(jī)變量可能服從什么樣的分布呢？通過一個問題使學(xué)生對要學(xué)習(xí)的概念有一個感性認(rèn)識，更有利于記憶，且后續(xù)學(xué)習(xí)期望概念的時候仍然可以把問題延續(xù)下去.

二、合理調(diào)整教學(xué)內(nèi)容

(一)加強概念與實例的結(jié)合

學(xué)生在初接觸“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的內(nèi)容時，可能會覺得知識體系復(fù)雜，概念繁多，難以理解.但事實上，概率統(tǒng)計中的概念都是來源于實際生活，我們其實每一個人在學(xué)習(xí)和生活中早就已經(jīng)應(yīng)用了這些知識理論.如果能在教學(xué)中加強概念與實例的結(jié)合，把抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念講解得通俗一些，學(xué)生往往會易于接受，拋棄課本中的陳舊例子，多舉貼近學(xué)生生活的實例，教學(xué)過程也會有事半功倍的效果.例如，在介紹全概率公式與Bayes公式時，可把完備事件族{A1,…,An}中的每一個事件Ai看成導(dǎo)致事件B發(fā)生的一個原因，先驗概率P(B|Ai)是已知原因Ai發(fā)生時有結(jié)果B的概率，后驗概率P(Ai|B)是已知事件B發(fā)生了來求由Ai導(dǎo)致它的概率.這樣空泛的講解，學(xué)生可能不易理解，也提不起學(xué)習(xí)的興趣，若聯(lián)系實際則容易得多.比如說某人感冒記為結(jié)果B，若治療需對癥下藥，那么病因可記為A1,A2,A3,….再比如某位學(xué)生考試不及格記為結(jié)果B，可由多種原因?qū)е?，假設(shè)A1表示學(xué)習(xí)不努力，A2表示試卷太難，A3表示發(fā)揮失常，A4教師改卷發(fā)生錯誤，各種情況，可展開討論，增強互動，調(diào)節(jié)課堂氣氛，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

(二)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

都說興趣是最好的老師，有了興趣也就有了學(xué)習(xí)動力.基于概率統(tǒng)計理論在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用，相比于其他數(shù)學(xué)課程，在教學(xué)上是相對靈活與有優(yōu)勢的.例如在介紹概率起源的時候，利用非常著名的賭本分配問題：在17世紀(jì)的歐洲，有一次兩名賭徒賭博，兩人各拿出相同數(shù)目的錢作為賭本，然后擲骰子，規(guī)定五局三勝，贏的人可拿走所有的錢，可只進(jìn)行了三局，當(dāng)甲兩勝一負(fù)時，警察來了，兩人匆匆按當(dāng)時結(jié)果分配了賭本，甲占三分之二，乙占三分之一，這樣的分配合理嗎？像這樣的一些小故事可以引發(fā)學(xué)生的好奇心，而要想弄明白，就要學(xué)習(xí)概率的相關(guān)理論.當(dāng)然，更多的，是激發(fā)學(xué)生自發(fā)地去尋找自己身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象與概率統(tǒng)計理論之間的聯(lián)系.比如學(xué)生高考填寫志愿表，會打聽各學(xué)校各專業(yè)前幾年的錄取分?jǐn)?shù)，以此作為依據(jù)來調(diào)整志愿，判斷自己被錄取的可能性，這其實就是數(shù)理統(tǒng)計中點估計的概念的應(yīng)用.再比如學(xué)校中教學(xué)檢查周聽某位教師的課，通過一次聽課來對教師的課堂教學(xué)情況給出一個大致的評判，這不正是抽樣理論的應(yīng)用嗎？如此實例，舉不勝舉，只要有心，會發(fā)現(xiàn)我們每個人早在每天的日常生活中應(yīng)用這些不同的統(tǒng)計規(guī)律了.因此，可在聯(lián)系實例講解一個概念或定理之后，啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生自己尋找相關(guān)的應(yīng)用，學(xué)生有了學(xué)習(xí)的興趣，自然能有良好的學(xué)習(xí)效果.

三、探索新的教學(xué)方式

(二)利用好現(xiàn)代化的教學(xué)手段

隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用，以及去年疫情期間對網(wǎng)絡(luò)教學(xué)方法的推廣，目前很多課程都采用了線上線下教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式，這在一定程度上提高了教學(xué)效率，使得課堂時間能夠被充分利用，避免過多重復(fù)勞動，同時微課由于其短小精悍的特點，易于存儲，易于下載，因此可把教材中的一些難點、重點，比如說全概率公式，隨機(jī)變量的含義，大數(shù)定律，中心極限定理或者復(fù)習(xí)專題等分別制作成微小課件，學(xué)生隨時需要，隨時學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的靈活性大大增加，學(xué)習(xí)過程可延伸到學(xué)生的生活之中.但實際的教學(xué)實踐結(jié)果表明，很多學(xué)生并沒有充分利用線上的學(xué)習(xí)資料，甚至基本沒有使用，比如有些同學(xué)線上測試成績只有不到10分，嚴(yán)重影響了綜合成績，這就與我們的初衷背道而馳了.

因此，怎樣在科技進(jìn)步后，有了更多的手段和方法后，把它們有機(jī)地結(jié)合起來，更重要的是讓學(xué)生認(rèn)可、接受并習(xí)慣這樣的學(xué)習(xí)模式，是目前亟待解決的問題.有一些方法已經(jīng)或正在嘗試，比如增加線上成績在綜合成績中的比重，在線上設(shè)置章節(jié)測試作為任務(wù)，參與討論給予積分等，對于提高學(xué)生的參與度有一定效果但仍需進(jìn)一步完善.以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)，絕不是教師的放手，而是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).

(三)實驗教學(xué)與軟件操作相結(jié)合

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”作為一門與實際生活聯(lián)系緊密的應(yīng)用型學(xué)科，它所有的定理結(jié)論都來源于現(xiàn)實中的隨機(jī)現(xiàn)象，但我們在教學(xué)過程中，常常會忽視這一點，總是不厭其煩地給學(xué)生講解那些定律公式的使用，告訴學(xué)生如何去計算出想要的數(shù)值，卻不小心把它變成了一門空中樓閣式的數(shù)學(xué)課程，學(xué)期沒到一半，學(xué)生就已經(jīng)有了畏學(xué)情緒.如果能夠在教學(xué)過程中適當(dāng)安排一些實驗活動，讓學(xué)生自己去觀察我們身邊的隨機(jī)現(xiàn)象背后的統(tǒng)計規(guī)律，從直觀的背景中了解某些結(jié)論的產(chǎn)生過程，會對學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)產(chǎn)生深刻影響，比如幾何概型中蒲豐投針的試驗，可以讓學(xué)生自己動手操作一下，而不僅僅是教師的口頭介紹；在學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的分布時，可以讓學(xué)生計算一下班級的成績分布，看看自己所處的位置；在講解數(shù)字特征時，可以讓學(xué)生每人拿一袋鹽或一個雞蛋，稱稱它們的質(zhì)量，計算一下均值和方差，會有一個更感性的認(rèn)識.在學(xué)習(xí)統(tǒng)計知識時，可以讓學(xué)生自己通過觀察、測量去理解，比如估計一分鐘內(nèi)學(xué)校門口的車流量，食堂某個窗口午餐時的平均就餐人數(shù)，所在班級本學(xué)期的出勤率等，通過一些自主的實踐活動，學(xué)生會主動參與到課程的學(xué)習(xí)之中，能夠根據(jù)自己觀察到的結(jié)果自己去問“為什么”，自己去尋求解答，這對于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)、綜合素質(zhì)的提高都有重要作用.

任何定量分析課程的最終目標(biāo)，都應(yīng)該是教會學(xué)生建立定量模型的方法，從而對現(xiàn)實的決策問題給出建議.而我們的教學(xué)通常是在拋開了現(xiàn)實背景的復(fù)雜化后的理想條件下進(jìn)行的，其典型結(jié)果是，即使那些在考試中表明已熟練掌握概念定理的學(xué)生，也常常不清楚如何把那些概念運用到現(xiàn)實世界.“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”相關(guān)教材中，應(yīng)用Excel表格做運算已是家常便飯，但是絕大多數(shù)學(xué)生對這些如何進(jìn)行依舊是一無所知，如果我們真的希望學(xué)生在課程中學(xué)習(xí)到的知識的實用價值最大化，學(xué)生應(yīng)該掌握簡單的Excel計算概率問題的方法[3].

四、結(jié)束語

對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學(xué)改革，涉及教學(xué)過程的各個環(huán)節(jié)，目標(biāo)是為了提升教學(xué)效果，但卻決不僅限于此，更重要的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)工作中能夠具有自主學(xué)習(xí)、自發(fā)學(xué)習(xí)的能力.對于任課教師而言，除了提高自己的教學(xué)水平，在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等客觀方面不斷探索，更重要的是對教學(xué)工作的熱愛與熱情，對學(xué)生的認(rèn)同與理解.