寧友歡，伊國(guó)興，奚伯齊，解偉男，魏振楠，王常虹

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150080)

半球諧振陀螺是一種全固態(tài)振動(dòng)陀螺儀，具有精度高、體積小、可靠性高、功耗低、啟動(dòng)時(shí)間短等特點(diǎn)。目前高精度的半球諧振陀螺具有0.0001 °/h的高精度，長(zhǎng)達(dá)20年的使用壽命，可達(dá)0.995的高可靠性[1]。由于高精度、高可靠、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，極具體積、質(zhì)量等綜合優(yōu)勢(shì)，在深空探測(cè)、衛(wèi)星穩(wěn)定控制、航天器導(dǎo)航、石油鉆探、航海等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1-5]。

國(guó)內(nèi)外針對(duì)半球諧振子頻率裂解的形成演化機(jī)理以及調(diào)頻和測(cè)試方法進(jìn)行了大量的研究，但這些研究主要集中在諧振子加工誤差及材料各向異性對(duì)頻率裂解的影響方面[6-13]，針對(duì)裝配誤差造成頻率裂解的影響機(jī)理研究較少。霍炎等人針對(duì)質(zhì)量分布不均勻?qū)χC振子頻率裂解以及質(zhì)量缺陷對(duì)振動(dòng)諧振子駐波漂移的影響進(jìn)行了研究[7]。文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)了具有質(zhì)量缺陷的半球形殼體的分頻解析模型，并建立了一個(gè)預(yù)測(cè)不完美諧振腔微調(diào)質(zhì)量的函數(shù)。在頻率裂解修調(diào)方面，文獻(xiàn)[9]研究了一種化學(xué)刻蝕方法來(lái)消除導(dǎo)致頻率裂解的半球形諧振子質(zhì)量不均勻性的第四次諧波，該方法可以將半球諧振子的頻率裂解降低到0.05 Hz。胡曉東等人利用離子束去除半球形諧振器質(zhì)量缺陷的第1-4次諧波，該方法能將半球諧振子的頻率裂解從0.46 Hz減少到0.004 Hz[10,11]。針對(duì)頻率裂解的測(cè)試，李紹良等提出了基于幅頻響應(yīng)特性的半球諧振子頻率裂解與固有剛度軸方位角測(cè)定方法[12]。俄羅斯馬特維耶夫提出了基于幅相頻特性描繪法的固有剛度軸方位角和頻率裂解的確定方法[13]，為半球諧振陀螺儀的研究奠定了理論分析基礎(chǔ)。裝配過(guò)程中的裝配誤差產(chǎn)生應(yīng)力、剛度分布不均勻，會(huì)對(duì)諧振子頻率裂解、品質(zhì)因數(shù)等性能產(chǎn)生影響，文獻(xiàn)[14]針對(duì)裝配誤差對(duì)諧振子品質(zhì)因數(shù)的影響進(jìn)行了分析，并對(duì)減小裝配誤差的解決方案進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[15]針對(duì)非理想軸對(duì)稱殼體諧振器的頻率裂解的產(chǎn)生進(jìn)行了分析，基于軸對(duì)稱多曲面殼體結(jié)構(gòu)的諧振器，提出了一種消除頻率分裂的方法，并驗(yàn)證了所述方法的有效性。

本文針對(duì)半球諧振子振動(dòng)性能受裝配誤差的影響展開(kāi)研究，重點(diǎn)研究了裝配過(guò)程中產(chǎn)生的傾斜誤差對(duì)半球諧振子頻率裂解的影響機(jī)理。首先基于半球諧振陀螺電容式驅(qū)動(dòng)原理，將半球諧振子唇沿與平板電極等效為平板電容器，建立等效電容與裝配誤差之間的數(shù)學(xué)模型；然后根據(jù)等效電容兩端電壓與半球諧振子靜電力之間的數(shù)學(xué)模型，分析靜電力不均勻?qū)χC振子剛度的影響；最后，建立剛度擾動(dòng)對(duì)頻率裂解的影響機(jī)理模型，分析傾角誤差對(duì)諧振子頻率裂解的影響演化機(jī)理。

1 裝配誤差對(duì)頻率裂解形成機(jī)理分析

1.1 半球諧振子頻率裂解形成理論分析

半球諧振子的固有頻率不僅受材料性能的影響，而且與其幾何參數(shù)有關(guān)，完美的諧振子不會(huì)產(chǎn)生頻率裂解。然而，材料的各向異性和諧振子制造工藝等誤差的四次諧波會(huì)導(dǎo)致諧振子中出現(xiàn)兩個(gè)相互成45 °夾角的固有剛性軸。

如圖1所示為半球諧振子二階振動(dòng)等效模型，黑色的圓為諧振子環(huán)形模型的外邊緣，紅色和藍(lán)色分別是兩個(gè)振動(dòng)模態(tài)的振動(dòng)圖，兩個(gè)模態(tài)形成互相間隔45 °的兩個(gè)固有軸。半球諧振子在振動(dòng)時(shí)，沿這兩個(gè)軸中每一個(gè)軸的振動(dòng)固有頻率都能達(dá)到極大值和極小值，為了便于描述，一般將固有頻率較小的軸稱為“重軸”，固有頻率較大的稱為“輕軸”。振動(dòng)圓頻率的極大值和極小值的頻率差稱為固有頻率的裂解，頻率裂解定義為：

圖1 諧振子二階振動(dòng)等效模型Fig.1 Second-order vibration equivalent model of resonator

對(duì)具有頻率裂解的諧振子振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行采集，諧振子振動(dòng)信號(hào)的幅頻響應(yīng)分析曲線如圖2所示。

圖2 半球諧振子頻率裂解信號(hào)Fig.2 Hemispherical resonator frequency split signal

當(dāng)所受激振力的方位角與固有剛性軸不重合時(shí)，半球諧振子兩個(gè)剛性軸處的振動(dòng)模態(tài)會(huì)被不同程度激勵(lì)起。振動(dòng)信號(hào)出現(xiàn)了兩個(gè)信號(hào)峰值，分別對(duì)應(yīng)諧振子剛性軸的兩個(gè)振動(dòng)模態(tài)，信號(hào)峰對(duì)應(yīng)的頻率即為振型的諧振頻率，兩個(gè)峰的不同幅值反映了激振力方位與固有剛性軸方位的偏差。

由于材料缺陷及加工誤差導(dǎo)致兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和兩個(gè)波腹組成的兩種工作模式之間出現(xiàn)頻率差。這種缺陷導(dǎo)致陀螺效應(yīng)的損失，甚至不能檢測(cè)角運(yùn)動(dòng)。因此，頻率裂解的存在不僅能引起駐波漂移，產(chǎn)生機(jī)械耦合誤差，還會(huì)降低半球諧振陀螺的靈敏度。頻率裂解是造成半球諧振陀螺零偏誤差的主要原因之一，頻率裂解的形成機(jī)理研究是提高半球諧振陀螺儀測(cè)量精度的關(guān)鍵技術(shù)。

1.2 半球諧振子裝配傾角誤差與等效電容的模型

半球諧振子與平板電極基座的裝配通常采用粘合劑將二者固連，在表頭裝配過(guò)程中，由于設(shè)備、夾具等方面的原因，導(dǎo)致諧振子在裝配過(guò)程中產(chǎn)生了偏心、傾斜等裝配誤差，直接影響諧振子與平板電極初始的間距不均勻，從而導(dǎo)致諧振子的振動(dòng)在正交軸分解時(shí)產(chǎn)生誤差。同時(shí)，裝配誤差也會(huì)影響靜電力的分布，改變了剛度分布的均勻性。半球諧振子裝配傾角誤差如圖3和圖4所示。

圖3 安裝傾角誤差示意圖Fig.3 Schematic diagram of installation inclination error

圖4 安裝傾斜方位角示意圖Fig.4 Schematic diagram of installation tilt azimuth

由于裝配傾角誤差的存在，裝配后半球諧振子振動(dòng)受靜電力的影響，導(dǎo)致剛度分布不均勻，從而對(duì)諧振子頻率裂解產(chǎn)生影響。半球諧振子唇沿與平板電極形成等效電容，電容值由諧振子唇沿與平板電極的正對(duì)投影面積以及兩者之間的距離決定。由于受到裝配工藝的限制，諧振子與電極基座裝配過(guò)程中，諧振子回轉(zhuǎn)軸與平板電極回轉(zhuǎn)軸將不可避免的產(chǎn)生大小為β的安裝傾角，由此造成諧振子唇沿與平板電極間周向各點(diǎn)的間隙不同。假設(shè)其平均間距為d，其中間距最小處對(duì)應(yīng)諧振子唇沿最低點(diǎn)，如圖3所示。連接諧振子回轉(zhuǎn)中心與諧振子唇沿最低點(diǎn)所得直線在平板電極表面的投影與0 °電極軸線方向存在角βφ，稱為安裝傾斜方位角，如圖4所示。若沿著圖4中通過(guò)回轉(zhuǎn)軸與0 °電極軸線的切割平面將諧振子及平板電極向周向方向展開(kāi)，則可得到如圖5所示諧振子周向展開(kāi)圖。

圖5 諧振子周向展開(kāi)圖Fig.5 Circumferential development diagram of harmonic oscillator

由圖5分析可知，各激勵(lì)及檢測(cè)電容間距在安裝傾角及傾斜方位角的作用下呈正弦規(guī)律變化，通過(guò)對(duì)該規(guī)律的解析，可以根據(jù)測(cè)量得到的各靜態(tài)電容值獲取安裝傾角和安裝傾角方位。

如圖6所示的平板電極及其等效示意圖，電極均勻分布在基板表面，在空間中處于同一平面，各電極周向邊界通常設(shè)計(jì)為互相平行?；诖耍瑸榱吮阌诜治?，引入“等效間距角”的概念對(duì)各電容的分布進(jìn)行建模[5]。根據(jù)對(duì)檢測(cè)電容幾何結(jié)構(gòu)的分析可得到等效電容的周向邊界，其徑向邊界則由諧振子內(nèi)表面半徑1r及諧振子外表面半徑2r決定。

圖6 平板電極及其等效示意圖Fig.6 Schematic diagram of plate electrode and its equivalent

圖6中實(shí)線包圍區(qū)域?yàn)閷?shí)際的激勵(lì)或檢測(cè)電容區(qū)域，各電極間由寬為2e的電氣間隙隔離。為便于電容積分計(jì)算，假設(shè)各電極由中心角為2θ的扇形區(qū)域分割，稱其為等效間距角。當(dāng)圖6中陰影區(qū)域S1與S2面積相同時(shí)，利用電氣間隙隔離2e及等效間距角2θ計(jì)算得到的電容值相同。θ可由式(2)計(jì)算得到。

電極的邊界可利用周向方向的角度表示：

式(3)中，φ1(i)、φ2(i)為第i個(gè)電極的周向邊界；φa(i)為第i個(gè)電極的軸線角度，如對(duì)于第一個(gè)電極（0°電極）有φa(1) = 0°；N=8為電極的數(shù)量。

當(dāng)半球諧振子振動(dòng)時(shí)，唇沿表面與平板電極之間的間隙可以表示為：

則根據(jù)平行板電容器原理，忽略諧振子端面的扭轉(zhuǎn)形變，可得第i個(gè)電極的靜態(tài)容值[5]CF(i)：

其中：k為靜電常數(shù)，k= 9.0×1 09N· m2/C2；β為以 0 °電極軸線為起始位置的圓周角；△θF=θi(r) -θi(l)表示平板電極上第i個(gè)電極所占位置角度。

1.3 半球諧振子激勵(lì)模型

半球諧振陀螺采用電容式驅(qū)動(dòng)，半球諧振子唇沿與平板電極之間形成等效平板電容器。因此，根據(jù)拉格朗日力學(xué)原理，諧振子唇沿與平板電極之間的靜電力為：

其中，Ec為存儲(chǔ)的電勢(shì)能，

UF為在電容兩端施加的電壓。

對(duì)于第i個(gè)電容器，當(dāng)諧振子振動(dòng)時(shí)，對(duì)靜電力進(jìn)行簡(jiǎn)化后其表達(dá)式為：

由于傾斜導(dǎo)致的誤差可以表示為：

則靜電驅(qū)動(dòng)力可以表示為：

在實(shí)際裝配過(guò)程中，裝配誤差可以控制到很小的范圍，即：d?Δd，對(duì)靜電力進(jìn)行泰勒局部展開(kāi)，忽略高次項(xiàng)，保留低次項(xiàng)后可得：

分析式(11)可知，靜電驅(qū)動(dòng)力的第二項(xiàng)與傾斜誤差有關(guān)，由于該力的存在會(huì)影響諧振子的剛度系數(shù)，傾斜誤差的存在導(dǎo)致的剛度變化表示為：

在剛度擾動(dòng)的情況下諧振子頻率裂解可寫(xiě)為:

其中Ki表示離散后分析的第i個(gè)不平衡剛度大小，θi表示不平衡剛度的方位。

將式(13)(14)帶入式(1)中，化簡(jiǎn)后即可確定裝配傾角誤差對(duì)半球諧振子頻率裂解影響的數(shù)學(xué)模型。

2 仿真及結(jié)果分析

基于等效電容與裝配誤差之間的數(shù)學(xué)模型，選取0 °位置的電極為參考，通過(guò)數(shù)值仿真分析軟件對(duì)不同安裝誤差狀況下靜態(tài)電容值的變化規(guī)律進(jìn)行仿真，仿真參數(shù)如表1所示，仿真結(jié)果如圖8所示。

表1 模型仿真參數(shù)Tab.1 Type simulation parameters

圖8 電容安裝誤差靜態(tài)模型Fig.8 Static model of capacitor installation error

由圖8的仿真結(jié)果分析可知：隨著安裝傾角的增加，電容容值偏離平均值的程度也逐漸增大，而在同一傾角大小下，電容值偏離平均值的程度由傾角相位決定。電容容值的變化由傾角大小的增加和傾角相位共同確定，即裝配傾角誤差可以由電容值的變化唯一確定。

基于等效電容模型，等效電容值由諧振子唇沿與平板電極的正對(duì)投影面積以及兩者之間的距離決定。通過(guò)電容的微小變化，等效半球諧振子的振動(dòng)。由于傾角誤差導(dǎo)致等效電容的變化而形成的靜電力分布不均勻造成剛度擾動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，如式(11)所示，取理想條件下半球諧振子受到靜電力激勵(lì)時(shí)的剛度為參考，假設(shè)參考值為0，由傾角誤差引起的諧振子剛度擾動(dòng)偏離平均值的誤差仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 剛度隨方位角變化關(guān)系Fig.9 The relationship between stiffness and azimuth

由圖9分析可知，諧振子與電極基座裝配過(guò)程中產(chǎn)生的傾角誤差導(dǎo)致等效電容兩端的靜電力在安裝傾角及傾角方位角的作用下呈正弦規(guī)律變化。即安裝過(guò)程中形成的傾角誤差將會(huì)影響每一個(gè)電容的變化，進(jìn)而在周向各點(diǎn)上產(chǎn)生了靜電力分布不均勻，其中間距最小處的靜電力較大，對(duì)剛度的影響也較大。剛度擾動(dòng)引起頻率裂解的數(shù)學(xué)模型如式(12)-(14)所示，為進(jìn)一步分析量化其影響規(guī)律，采用數(shù)值仿真分析軟件對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真分析，分析結(jié)果如圖10所示。

圖10 剛度變化與頻率裂解的關(guān)系Fig 10 The relationship between stiffness change and frequency cracking

由圖10的仿真結(jié)果分析可知，頻率裂解與剛度不均勻變化量呈正比關(guān)系。以直徑為30 mm的石英半球諧振子為例，當(dāng)其剛度變化0.05%時(shí)，剛度缺陷所引起的頻率裂解約為1 Hz。

基于上述的分析，當(dāng)石英半球諧振子與基座的裝配傾角誤差為1角秒時(shí)，頻率裂解為10-6Hz量級(jí)，而當(dāng)裝配誤差增大到60角秒時(shí)，頻率裂解將達(dá)到10-4Hz量級(jí)。因此，根據(jù)半球諧振子應(yīng)用需求，實(shí)際裝配過(guò)程中，為將裝配誤差造成的頻率裂解控制在10-4Hz量級(jí)以下，裝配傾角誤差應(yīng)控制在1角分范圍以內(nèi)。

3 結(jié) 論

本文圍繞半球諧振子裝配過(guò)程中產(chǎn)生的偏心、傾斜等誤差對(duì)頻率裂解的影響展開(kāi)研究，建立裝配誤差對(duì)頻率裂解的影響機(jī)理模型，首先分析了傾角誤差對(duì)半球諧振子靜電力分布不均勻的影響，建立由于剛度擾動(dòng)導(dǎo)致頻率裂解的數(shù)學(xué)模型，給出了安裝傾角誤差對(duì)頻率裂解的演化機(jī)理。以30 mm熔融石英半球諧振子為例進(jìn)行誤差機(jī)理模型的仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，諧振子與基座的裝配傾角誤差為1'時(shí)，由安裝傾角誤差引入的頻率裂解為10-4Hz量級(jí)。裝配誤差不僅會(huì)影響頻率裂解，也會(huì)影響諧振子品質(zhì)因數(shù)、阻尼分布均勻性等性能指標(biāo)，從而導(dǎo)致駐波漂移，影響半球諧振陀螺的精度。因此，對(duì)裝配誤差進(jìn)行深入細(xì)致的研究，對(duì)優(yōu)化裝配工藝，提高半球諧振陀螺儀性能有著重要的意義。