葛云鵬，梁 卓，呂 瑞，涂海峰，陳 喆

（中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076）

小型固體運載火箭為降低發(fā)射成本、提高火箭運載能力，常采用耗盡關(guān)機固體火箭發(fā)動機+固定推力姿控噴管的總體方案。但該方案存在以下兩點問題：（1）耗盡關(guān)機固體火箭發(fā)動機能量不可控，在線能量管理精度有限；（2）姿控噴管推力固定，制導(dǎo)指令跟蹤存在方法誤差。上述問題均導(dǎo)致實際耗盡關(guān)機點軌道參數(shù)與目標值存在偏差，需開展軌道參數(shù)修正算法研究。

目前針對問題（1）國內(nèi)外學(xué)者已開展多種類型的姿態(tài)調(diào)制制導(dǎo)[1,2]、通用能量管理（GEM）[3]、樣條能量管理（SEM）[4]等制導(dǎo)算法研究，但上述方法在設(shè)計中均忽略問題（2）對制導(dǎo)設(shè)計的影響，認為制導(dǎo)指令無跟蹤誤差。同時上述算法在工程應(yīng)用中對發(fā)動機能量散布、推力線偏斜及橫移敏感，偏差工況下制導(dǎo)誤差較大，無法實現(xiàn)耗盡關(guān)機高精度入軌。

工程上為解決該問題，常在火箭末修級安裝小推力軌控噴管實現(xiàn)對軌道參數(shù)的修正，其制導(dǎo)方法常采用迭代制導(dǎo)[5,6]或閉路制導(dǎo)[7-10]。其中閉路制導(dǎo)的關(guān)鍵在于需要速度的求解，思路為建立目標軌道參數(shù)與入軌點目標速度的關(guān)系，并調(diào)整推力方向至需要速度方向。但由于閉路制導(dǎo)未顯示約束軌道參數(shù)，一般將軌道半長軸ta、軌道傾角ti和軌道偏心率te約束轉(zhuǎn)換為入軌點目標速度約束，其在入軌點附近不穩(wěn)定，即當待增速度較小時姿態(tài)指令存在大幅變化，需設(shè)計復(fù)雜定軸條件，制導(dǎo)存在方法誤差；而迭代制導(dǎo)同樣將目標軌道參數(shù)進行分解，建立制導(dǎo)變量與目標約束的非線性方程，并采用牛頓迭代等方法進行求解，其制導(dǎo)精度較高且具備較強的適應(yīng)性，但計算過程中需保證迭代收斂?；谝陨戏治?，本文提出一種基于修正牛頓迭代的末修級制導(dǎo)方法，通過建立制導(dǎo)變量（俯仰、偏航程序角及軌控噴管工作時間）與目標軌道參數(shù)（at,it,et）的非線性方程，引入牛頓迭代修正系數(shù)保證迭代可逆性及收斂性。該方法相對基于需要速度的閉路制導(dǎo)和一般牛頓迭代制導(dǎo)方法具有軌道參數(shù)精度高、收斂域大，同時末修制導(dǎo)定軸、退出判據(jù)簡單，便于工程實現(xiàn)的優(yōu)點。

1 制導(dǎo)方程及制導(dǎo)變量

運載火箭載荷釋放時刻可控軌道參數(shù)為軌道半長軸a、軌道傾角i和軌道偏心率e，其目標值由發(fā)射任務(wù)決定。根據(jù)可控性原理需至少選取三個控制量才能實現(xiàn)有效控制，本文選取俯仰程序角φ、偏航程序角ψ及軌控噴管工作時間te為制導(dǎo)變量，則軌道參數(shù)與制導(dǎo)變量的非線性方程可表示為：

針對上述非線性方程組，本文采用牛頓迭代法求解。在牛頓迭代中首先需確定非線性方程組迭代變量與終端約束的靈敏度。本文采用Morris[11]靈敏度分析方法對選取的軌道參數(shù)與制導(dǎo)變量進行分析，則其靈敏度計算結(jié)果如圖1-3所示。

圖1 軌道半長軸靈敏度Fig.1 Sensitivity of orbital semi major axis

圖2 軌道傾角靈敏度Fig.2 Sensitivity of orbital inclination

圖3 軌道偏心率靈敏度Fig.3 Sensitivity of eccentricity ratio

由圖1-3可知，俯仰程序角對軌道半長軸、偏航程序角對軌道傾角、軌控噴管工作時間對軌道偏心率影響最大。因此選取軌道參數(shù)與制導(dǎo)變量的對應(yīng)關(guān)系為：俯仰程序角φ修正軌道半長軸a，偏航程序角ψ修正軌道傾角i，軌控噴管工作時間te修正軌道偏心率e。

2 修正牛頓迭代制導(dǎo)

2.1 牛頓迭代方程

在應(yīng)用牛頓迭代法求解方程組(1)時，其解的一般表達式為：

2.矩陣F'（xi）奇異時無法進行迭代修正。

針對上述問題兼顧考慮迭代收斂速度，本文提出修正牛頓迭代方法，通過引入迭代修正系數(shù)矩陣λ，將原方程組(1)轉(zhuǎn)換為如下形式：

則當原方程組F（φ,ψ,te）存在解x*時，若矩陣λ各元素非零，則G（φ,ψ,te）的解同為x*，因此迭代計算可以方程組(3)為依據(jù)。

2.2 制導(dǎo)指令計算

在牛頓迭代中需對目標量進行預(yù)測，本文采用數(shù)值積分方法計算末修制導(dǎo)退出時刻軌道參數(shù)，其發(fā)射慣性系位置、速度計算公式如式(5)(6)所示。

其中，Δφ(i+1)、Δψ(i+1)為當前制導(dǎo)周期解算俯仰、偏航程序角修正量， Δte(i+1)為軌控噴管工作時間修正量。在迭代偏導(dǎo)矩陣計算中為簡化處理，忽略各控制量對引力加速度變化的偏導(dǎo)數(shù)，則偏導(dǎo)矩陣中各元素計算如式(10)所示：

針對系數(shù)矩陣λ（i+）1計算問題，本文采用差分方法，即系數(shù)λa（i）、λi（i）、λe（i）分別增加修正量δλa、δλi、δλe后計算范數(shù)則系數(shù)更新如式(12)所示：

在矩陣范數(shù)選取時，考慮目標物理量與制導(dǎo)變量的關(guān)系，將矩陣按行劃分為則其行向量模值分別表示控制量φ(i)、ψ(i)、te(i)對軌道參數(shù)a、i、e的加權(quán)修正能力。因此 'iG矩陣范數(shù)選取為矩陣行向量模值的歸一化值，即：

但由于末修級同樣采用固定推力姿控噴管作為控制機構(gòu)，姿態(tài)指令跟蹤精度受噴管開關(guān)門限約束。所以，為保證末修制導(dǎo)達最優(yōu)修正效果，選取末修制導(dǎo)退出條件為：定軸飛行后任意軌道參數(shù)偏差連續(xù)n個制導(dǎo)周期增大。

綜上所述，可梳理修正牛頓迭代制導(dǎo)計算流程如圖4所示。

圖4 修正牛頓迭代計算流程Fig.4 Process flow diagram of iterative computation

3 仿真校驗

本文選取某型商業(yè)固體運載火箭末修級參數(shù)及偏差范圍作為仿真依據(jù)，通過比較本文提出的修正牛頓迭代法與閉路制導(dǎo)[9]、一般牛頓迭代方法在入軌精度、制導(dǎo)魯棒性和迭代收斂性等方面的優(yōu)缺點來驗證本文所提出方法的有效性和適應(yīng)性。

3.1 入軌精度

仿真中目標軌道參數(shù)選取小型商業(yè)衛(wèi)星常見的500 km、SSO軌道，標準工況末修退出時刻軌道參數(shù)偏差詳見表1。

由表1可知，修正牛頓迭代法相對閉路制導(dǎo)方法和一般牛頓迭代法其軌道半長軸和軌道偏心率偏差明顯較小，制導(dǎo)精度最優(yōu)。

表1 三種制導(dǎo)方法軌道參數(shù)偏差統(tǒng)計表Tab.1 The orbital parameter in different method

3.2 制導(dǎo)魯棒性

表1中僅對標準工況仿真結(jié)果進行驗證，現(xiàn)通過蒙特卡洛打靶仿真的方式驗證各制導(dǎo)設(shè)計的魯棒性，詳細結(jié)果見表2。

表2 蒙特卡洛打靶仿真結(jié)果Tab.2 The orbit parameters in Monte Carlo

由表2可知，修正牛頓迭代相對閉路制導(dǎo)和一般牛頓迭代具有較高的入軌精度和制導(dǎo)魯棒性，相對閉路制導(dǎo)軌道半長軸偏差平均降低101.2 m、1 km以內(nèi)入軌概率提高8.52%，而一般牛頓迭代入軌精度下降原因為部分工況出現(xiàn)迭代“過修正”和迭代矩陣不可逆的現(xiàn)象。因此，仿真結(jié)果驗證了本方法相對一般牛頓迭代法可實現(xiàn)迭代逐次遞減避免了迭代矩陣不可逆，提高了算法的收斂域，且本方法直接對軌道參數(shù)進行預(yù)測校正，其定軸判斷簡單且為最優(yōu)修正方向。

3.3 迭代收斂性

本文提出的修正牛頓迭代從計算流程上可認為是“修正系數(shù)λ+制導(dǎo)變量（φ，ψ，te）”的雙環(huán)迭代。其修正系數(shù)和制導(dǎo)變量的收斂性是通過控制矩陣的范數(shù)實現(xiàn)，標準工況下修正系數(shù)矩陣λ中各系數(shù)修正量及矩陣范數(shù)如圖5-6所示。

圖5 修正系數(shù)的修正量示意圖Fig.5 Correction value of factors λa / λi /λe

由圖5、圖6可知修正系數(shù)λa（i）、λi（i）、λe（i）的修正量在較短時間內(nèi)收斂為0（標準工況約3 s），矩陣范數(shù)同樣收斂至極小值，迭代收斂性理論與仿真結(jié)果一致。

圖6 矩陣G'范數(shù)示意圖Fig.6 Matrix norm of ||G'||

標準工況制導(dǎo)輸出程序角指令及軌控噴管工作時間如圖7所示。

圖7 制導(dǎo)指令示意圖Fig.7 Guidance Order at terminal correction phase

由圖7可知輸出程序角平穩(wěn)，實現(xiàn)了對軌控噴管工作時間和軌道參數(shù)的有效控制。同時由于該型固體運載火箭軌控噴管為反向安裝，圖7中所示工況為反推減速入軌，因此存在偏航“掉頭”現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

針對固體運載火箭末修級軌道參數(shù)修正，提出一種修正牛頓迭代制導(dǎo)方法。該方法通過引入修正系數(shù)λ，在線迭代偏導(dǎo)矩陣范數(shù)逐次遞減方向，保證了制導(dǎo)精度與迭代收斂速度。結(jié)果表明，該方法相對閉路制導(dǎo)方法和一般牛頓迭代法具有入軌精度高、制導(dǎo)適應(yīng)性強、迭代收斂域大的優(yōu)點，其制導(dǎo)變量與目標軌道參數(shù)直接對應(yīng)，可適用于具備末修軌控噴管的任意軌道入軌制導(dǎo)設(shè)計，具有較高的工程應(yīng)用價值。