袁立山，解偉男，奚伯齊，王澤宇，伊國興，曾慶雙

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（鞍山）工業(yè)技術(shù)研究院，鞍山 114000）

半球諧振陀螺儀（Hemispherical Resonator Gyro,HRG）是一種基于科里奧利效應(yīng)的全固態(tài)振動(dòng)陀螺儀，具有體積小、精度高、功耗低、可靠性高、機(jī)械結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn)[1-5]。諧振子的質(zhì)量分布不均勻?qū)⒃斐深l率裂解，而頻率裂解會(huì)導(dǎo)致駐波的周期性振蕩，從而嚴(yán)重影響陀螺儀的輸出精度[6-10]。因此，諧振子的質(zhì)量平衡對提高振動(dòng)陀螺的精度具有重要意義[11]，而諧振子質(zhì)量平衡的關(guān)鍵在于固有剛性軸方位辨識，它將為后續(xù)離子束調(diào)平系統(tǒng)提供諧振子的坐標(biāo)參數(shù)。席翔等人提出并驗(yàn)證了一種基于聲學(xué)激勵(lì)的非理想諧振子頻率裂解、阻尼時(shí)間常數(shù)和模態(tài)偏移角的測試方法[12]。李紹良等人提出了基于幅頻響應(yīng)特性的半球諧振子頻率裂解及固有剛性軸方位角測定方法[13]。陶溢等人提出了一種基于壓電電極輸出信號檢測的杯形諧振子模態(tài)偏移角的辨識方法[14]。霍炎等人分析了包含質(zhì)量缺陷的前三次諧波的半球諧振子在基座劇烈振動(dòng)情況下的駐波綁定問題[15]，此外，還從理論上證明了質(zhì)量缺陷的第四次諧波將導(dǎo)致頻率裂解，且二者基本為線性關(guān)系，同時(shí)從數(shù)學(xué)上說明了低頻軸即是“重”軸的位置，為后續(xù)諧振子的質(zhì)量平衡提供了理論依據(jù)[16]。以上文獻(xiàn)從理論上分析了頻率裂解和固有剛性軸的成因，并給出了固有剛性軸方位的標(biāo)定方案，即通過觀測諧振子的兩個(gè)諧振頻率的幅頻響應(yīng)曲線，如果其中僅有一個(gè)幅頻響應(yīng)的諧振峰出現(xiàn)，則證明激勵(lì)和檢測位置與固有剛性軸方位一致。但是這種測試方法的精度嚴(yán)重依賴于角度搜索步長，且效率較低，需要多次測量逼近固有剛性軸的位置。

針對目前測試方法所存在的問題，本文采用矩陣逼近理論[17]，將諧振子的徑向振動(dòng)分解為主駐波和輔駐波，并證明了它們在圓周角和振動(dòng)相位上的正交性，從而明確了諧振子節(jié)點(diǎn)振動(dòng)即可表示輔駐波這一重要結(jié)論，進(jìn)而提出了固有剛性軸方位的標(biāo)定方法，該方法僅需要測量兩次節(jié)點(diǎn)振幅就可以標(biāo)定出固有剛性軸的位置，極大提高了測量精度和測試效率。

1 質(zhì)量缺陷半球諧振子的振動(dòng)分解

質(zhì)量缺陷的存在會(huì)導(dǎo)致諧振子中出現(xiàn)互相成為45 °的雙固有軸系，如圖1所示，諧振子沿其中每個(gè)軸的固有頻率都可達(dá)到極大值和極小值。固有振動(dòng)頻率較小的本征軸稱為“重軸”（剛度較小軸）；固有頻率較大的本征軸稱為“輕”軸（剛度較大軸）[17]。

圖1 振動(dòng)本征軸的“重”軸和“輕”軸Fig.1 "Heavy" axis and "light" axis of vibration eigen axis

1.1 質(zhì)量缺陷半球諧振子的振動(dòng)模型

質(zhì)量缺陷諧振子的徑向振動(dòng)可以表示為[17]：

其中，θ為諧振子的圓周角，A為諧振子的初始等效振幅，ω1和ω2分別為諧振子的低頻和高頻，β4為諧振子的固有剛性軸角。

1.2 矩陣逼近理論

假設(shè)矩陣E和F滿足下列條件：

其中，E和F是2×2個(gè)非零矩陣。

矩陣D表示為：

矩陣D滿足下列條件：

其中，

其中，ac，bc，cc和dc是矩陣D的元素。

根據(jù)矩陣的運(yùn)算規(guī)則，可表示為：

假設(shè)

其中，矩陣E是矩陣D的最佳線性逼近。

假設(shè)

如果

則式(8)可以滿足。

將式(8)代入式(3)，可得：

以上是文獻(xiàn)[17]提出的矩陣逼近理論的核心內(nèi)容。

1.3 質(zhì)量缺陷半球諧振子的主駐波和輔駐波

設(shè)兩個(gè)偏置頻率為：

其中，ω為基準(zhǔn)頻率。

將式(11)代入式(1)，可得：

方程(12)的系數(shù)矩陣定義為：

將式(13)代入式(4)，可得：

頻率裂解定義為：

駐波必須滿足下列條件：

質(zhì)量缺陷諧振子的駐波只存在于以下兩種情況：

（1）諧振子的初始振動(dòng)方向與固有剛性軸重合。

（2）分析諧振子振動(dòng)的時(shí)間t滿足Δωt?1。

除上述兩種情況外，detD≠ 0。因此，采用矩陣逼近法對諧振子徑向振動(dòng)進(jìn)行分解。

將式(13)帶入式(8)，則輔駐波系數(shù)矩陣表示為：

輔助波表示為：

將式(13)帶入式(4)，可表示為：

將式(18)代入式(20)，輔駐波表示為：

令

將式(11)帶入式(22)中，可得：

由式（23）可以計(jì)算出：

將式(24)代入式(21)，輔駐波最終表示為：

同理可得，主駐波的表達(dá)式：

質(zhì)量缺陷諧振子的徑向振動(dòng)最終表示為：

由式(27)可知質(zhì)量缺陷諧振子的主駐波和輔駐波在圓周角和振動(dòng)相位上相互正交，這是諧振子固有剛性軸方位標(biāo)定方法的理論依據(jù)。

2 固有剛性軸方位的標(biāo)定

2.1 標(biāo)定方案

基于式(27)所得到的結(jié)論，設(shè)計(jì)了固有剛性軸方位的標(biāo)定方案。

采用兩個(gè)對徑分布的離散電極激勵(lì)半球諧振子進(jìn)入二階諧振模式，而后斷開電極激勵(lì)，使諧振子處于自由振動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)，檢測電極測量諧振子節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)。φ為檢測位置2與固有剛性軸的夾角，測試系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 固有剛性軸標(biāo)定系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of inherent rigid shaft calibration system

首先，將激勵(lì)位置1對準(zhǔn)電極，電極激勵(lì)諧振子進(jìn)入二階諧振狀態(tài)，然后停止激勵(lì)。諧振子節(jié)點(diǎn)的徑向振幅（檢測位置1）可表示為：

其中，t為從切斷電源時(shí)經(jīng)過的時(shí)間。

將諧振子旋轉(zhuǎn)22.5 °，此時(shí)激勵(lì)位置2與兩個(gè)離散電極對齊，諧振子節(jié)點(diǎn)的徑向振幅（檢測位置2）可以表示為：

最后，固有剛性軸方位角表示為：

2.2 仿真分析

基于誤差缺陷半球諧振子運(yùn)動(dòng)方程[4]，建立數(shù)值仿真系統(tǒng)。仿真參數(shù)如下：fp= (0.05+0.05cos2πft) N，f1=4500 Hz，f2=4500.005 Hz，f=4500.0025，τ1=1000 s，τ2=800 s，φ=12.3 °，電極激勵(lì)時(shí)間為20 s。特別明確指出的是該數(shù)值仿真模型僅驗(yàn)證固有剛性軸的標(biāo)定算法在理論上的正確性，不考慮激勵(lì)電極和諧振子之間的安裝誤差、檢測電極和諧振子之間的安裝誤差，激勵(lì)及檢測電路的增益誤差以及電容的測量噪聲。

如圖3所示，為檢測位置1的等效振動(dòng)信號及其包絡(luò)。同理，如圖4所示，為檢測位置2的等效振動(dòng)信號及其包絡(luò)。通過兩個(gè)檢測位置振動(dòng)包絡(luò)的比值就可以確定半球諧振子固有剛性軸的位置。在標(biāo)定過程中且僅需要10 s的測試數(shù)據(jù)就可以準(zhǔn)確標(biāo)定固有剛性軸的位置，測試效率較高。

圖3 檢測位置1的等效振動(dòng)信號及其包絡(luò)Fig.3 Equivalent vibration signal of detection position 1 and its envelope

圖4 檢測位置2的等效振動(dòng)信號及其包絡(luò)Fig.4 Equivalent vibration signal of detection position 2 and its envelope

如圖5所示，該標(biāo)定方法在理論上能夠準(zhǔn)確的標(biāo)定出固有剛性軸的位置。

圖5 固有剛性軸方位的理論標(biāo)定結(jié)果Fig.5 Theoretical calibration results of inherent rigid axis orientation

如圖6所示，該標(biāo)定算法在理論上具有極高的標(biāo)定精度，誤差在10-12度以內(nèi)。

圖6 固有剛性軸方位的理論標(biāo)定誤差Fig.6 Theoretical calibration error of inherent rigid axis orientation

仿真結(jié)果表明本文所提出的固有剛性軸標(biāo)定方案從效率和精度兩個(gè)方面都能達(dá)到很好的效果。

3 固有剛性軸標(biāo)定方案對比

3.1 基于幅頻特性的固有剛性軸標(biāo)定

通過觀測半球諧振子的兩個(gè)諧振頻率的幅頻響應(yīng)曲線，如果其中僅有一個(gè)幅頻響應(yīng)的諧振峰出現(xiàn)，則證明激勵(lì)和檢測位置與固有剛性軸方位一致。但是這種測試方法存在2個(gè)方面的問題：1.針對頻率裂解小的諧振子，F(xiàn)FT的分辨率嚴(yán)重依賴于測試時(shí)間，例如，諧振子的頻率裂解為0.005 Hz，那么FFT的分辨率需要達(dá)到0.0005 Hz，那么測試時(shí)間將長達(dá)2000 s，測試效率較低。2.測試方法的精度嚴(yán)重依賴于角度搜索步長，需要多次測量逼近固有剛性軸的位置。圖7展示了固有剛性軸的搜索過程，隨著半球諧振子轉(zhuǎn)動(dòng)，檢測位置與固有剛性軸位置越來越接近，諧振子一個(gè)振動(dòng)模態(tài)的信號峰幅度逐漸下降，同時(shí)另外一個(gè)振動(dòng)模態(tài)的信號峰幅值逐漸上升，當(dāng)檢測位置和固有剛性軸重合的時(shí)候，F(xiàn)FT只表現(xiàn)出一個(gè)振動(dòng)模態(tài)信號峰。

圖7 基于幅頻響應(yīng)的固有剛性軸方位辨識Fig.7 azimuth identification of inherently rigid shaft based on amplitude frequency response

3.2 基于振動(dòng)包絡(luò)的固有剛性軸標(biāo)定

振動(dòng)位移信號包絡(luò)的上下波動(dòng)程度反映出了激勵(lì)檢測位置和固有剛性軸角的位置關(guān)系，因此通過擬合振動(dòng)位移信號的包絡(luò)可以有效進(jìn)行固有剛性軸角的辨識。但是這種方法對于超低頻率裂解半球諧振子固有剛性軸的測試并不適用。例如，半球諧振子的頻率裂解為0.005 Hz，一個(gè)包絡(luò)起伏的周期為200 s，為了準(zhǔn)確辨識剛性軸角的位置，至少要采集一個(gè)半包絡(luò)起伏的時(shí)間，即300 s的測試數(shù)據(jù)。如圖8所示，當(dāng)激勵(lì)檢測位置和固有剛性軸角未對準(zhǔn)時(shí)，諧振子的兩個(gè)振動(dòng)模態(tài)被同時(shí)激勵(lì)出來，通過擬合振動(dòng)位移信號的包絡(luò)辨識出激勵(lì)及檢測位置與固有剛性軸位置的方位，當(dāng)固有剛性軸的位置對準(zhǔn)激勵(lì)檢測位置，振動(dòng)包絡(luò)將不再有起伏，而是一條單調(diào)衰減曲線，此時(shí)諧振子僅有一個(gè)振動(dòng)模態(tài)被激勵(lì)。

圖8 基于振動(dòng)包絡(luò)的固有剛性軸方位辨識Fig.8 Orientation identification of inherently rigid shaft based on vibration envelope

4 結(jié) 論

本文研究了質(zhì)量缺陷半球諧振子的固有剛性軸方位的標(biāo)定方法，基于矩陣逼近理論，將諧振子的徑向振動(dòng)分解為主駐波和輔駐波，驗(yàn)證了主駐波和輔駐波在圓周角和振動(dòng)相位相互的正交性。在此基礎(chǔ)之上設(shè)計(jì)了固有剛性軸方位的標(biāo)定方案，即通過兩個(gè)不同激勵(lì)位置下諧振子節(jié)點(diǎn)振幅比值確定固有剛性軸的位置，其中兩個(gè)激勵(lì)位置在諧振子的周向相距22.5 °。最終通過數(shù)值仿真的方法驗(yàn)證了該標(biāo)定方法在理論上的辨識精度可達(dá)10-12度，測試時(shí)長控制在100秒之內(nèi)，在測試效率和辨識精度上有著明顯優(yōu)勢。