孔 翔 宇

(咸陽師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000)

《線性代數(shù)》課程是理工經(jīng)管類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，如何上好《線性代數(shù)》對于大學生教育教學質(zhì)量起到了至關(guān)重要的作用[1-5]。目前在《線性代數(shù)》課程的教學方法上有許多種建議，主流思想是伴隨著現(xiàn)在“互聯(lián)網(wǎng)+”的出現(xiàn)，教師和學生應(yīng)該充分應(yīng)用互聯(lián)網(wǎng)、多媒體等資源，顛覆傳統(tǒng)的教學方法，充分利用慕課、翻轉(zhuǎn)課堂等手段，以及利用微信、公眾號等資源進行教學和學習，完全顛覆了傳統(tǒng)的板書式教學方法，忽略了《線性代數(shù)》特點。本文以理工科同濟大學第七版的《線性代數(shù)》教學內(nèi)容為主，采用板書式教學方法對教學內(nèi)容進行分析研究。

一、行列式

在同濟大學第七版的《線性代數(shù)》的教學內(nèi)容中，與第四版不同之處在于將克拉默法則由第一章放到了第二章，這樣第一章的教學內(nèi)容就只剩下5小節(jié)，主要是講述行列式的定義、行列式的性質(zhì)和行列式按行或按列展開定理。在這一章的教學過程中，以往作者也采用過多媒體課件教學方法，可以通過多媒體課件更形象化進行教學，同時由于高階行列式的書寫非常麻煩，利用多媒體課件就可以不用書寫，直接在ppt上進行展示，課堂教學進度也得到了很大的提升，教師在上課的時候相對傳統(tǒng)的板書式教學減輕了很大一部分工作量，但在利用多媒體課件進行教學時，不能忽略的一個缺點是沒有仔細精致的分步驟演算過程。在介紹n階行列式的定義時，如果利用板書式教學方法，就可以非常形象的由2階行列式和3階行列式出發(fā)，進一步的推導出n階行列式的定義。對于行列式的性質(zhì)，每一個性質(zhì)及其推論都需要進行詳細的推導，在板書上進行教學，學生可以仔細觀察推演過程，同時教師推導，就會留有時間給學生進行充分的思考，保證了教學效果。在行列式按行或按列展開定理的講授中，利用板書式教學方法能有效的區(qū)分行列式的余子式和代數(shù)余子式之間的區(qū)別和聯(lián)系，如果利用多媒體課件進行教學，有可能只是在ppt上進行簡單演示，而忽略了教學內(nèi)容的重點。利用板書則能通過具體小例子的引入加深同學們對行列式的余子式和代數(shù)余子式的認識，更深刻地理解行列式按行或按列展開定理。

二、矩陣及其運算

在矩陣的教學中，首先介紹矩陣與行列式之間的區(qū)別和聯(lián)系，矩陣的是一個數(shù)表，而行列式是一個數(shù)。既然矩陣表示的是一個數(shù)表，那么對于矩陣而言，如果兩個矩陣相等，就需要兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)一定要相等，并且對應(yīng)元素也要一樣。而行列式的相等是只要兩個行列式的最終結(jié)果是一樣的就可以，沒有要求兩個行列式的階數(shù)必須相同。在矩陣和行列式的對比中，可以發(fā)現(xiàn)矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定相等，既可以行數(shù)大，也可以列數(shù)大，也可以相等，但行列式要求行數(shù)和列數(shù)一定要相等，這就自然而然的帶來一個思考行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣與同階數(shù)的行列式之間有什么樣的關(guān)系，這就需要我們引入行列式與方陣之間的性質(zhì)。一定要注意矩陣的階數(shù)在計算過程中起到的作用，在此處教學中可以在板書上進行計算，闡述數(shù)和矩陣相乘等價于矩陣的每個元素都乘與這個數(shù)，而數(shù)與行列式相乘等價于數(shù)和行列式的某一行或某一列相乘，這是矩陣和行列式的本質(zhì)差別。在計算矩陣的逆矩陣時，需要注意矩陣的逆矩陣的計算和矩陣的行列式和伴隨矩陣有關(guān)系，其中矩陣的行列式作為了分母，這就說明如果矩陣的行列式等于零，那么矩陣的逆矩陣不存在，也即矩陣可逆的充要條件是矩陣行列式不等于零。同時要注意伴隨矩陣是元素代數(shù)余子式的轉(zhuǎn)置構(gòu)成的，這個就需要掌握行列式的代數(shù)余子式的概念。在矩陣的分塊法的教學中，可以通過板書展示，對于矩陣而言其分塊方法有很多種，不要局限于某一固定方法，只要是有利于計算的分塊方法都可行的。

三、矩陣的初等變換與線性方程組

首先要講授的是矩陣的初等變換，初等行變換和初等列變換各有三種：交換兩行、用不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行和用數(shù)乘某一行加到另一行上去。每一種初等變換對應(yīng)于一種初等矩陣，并且初等矩陣都是可逆矩陣，左乘一個初等矩陣等于對矩陣進行了一次初等行變換，右乘一個初等矩陣等于對矩陣進行了一次初等列變換。對于任何一個可逆矩陣而言，逆矩陣是有限個初等矩陣的乘積。矩陣的初等變換里面通過板書進行行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的介紹，說明這兩種形式的矩陣在以后的教學中占有重要的地位。矩陣的秩等于行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)，同時要給出矩陣的秩的相關(guān)證明。在矩陣的秩的證明過程中，一定要用板書進行教學，一方面對證明過程進行梳理，另一方面要給出相應(yīng)的小例子來說明結(jié)果的正確性，使學生真正掌握知識。在線性方程組的教學過程中，首先需要學生分清楚什么是齊次線性方程組，什么是非齊次線性方程組。對于齊次線性方程組而言，它的解一定存在，因為至少零是它的一個解，那我們對于齊次線性方程組就需要考慮在什么時候有非零解的存在，這就需要聯(lián)系矩陣秩的定義。而對于非齊次線性方程組而言，它的解情況就可以有三種，一種是無解、一種是唯一解、一種是無窮多解，這三種解也和方程組的系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩有直接關(guān)系。通過板書式教學，逐步迭代運算，加強學生邏輯推理能力和計算能力的培養(yǎng)。

四、向量組的線性相關(guān)性

首先講授的是向量組和線性組合，在這里面需要注意的是矩陣是由若干個行向量組構(gòu)成的，也可以看成是由若干個列向量組組成的，因此對于向量組的討論也可以轉(zhuǎn)化為對矩陣的討論，這就等價于第二章、第三章的矩陣相關(guān)的知識在第四章仍然是適用的。在這一章的教學中，第一個需要掌握的知識點就是向量組的最大無關(guān)組，本質(zhì)是因為矩陣都是有限維的向量構(gòu)成的集合，但對于無限維的向量構(gòu)成的向量組的研究，就需要引入向量組的最大無關(guān)組的定義，將有限維向量組拓展到無限維向量組，通過這一工具就能研究更廣闊空間的向量組。在講授線性方程組的結(jié)構(gòu)時，重點講授基礎(chǔ)解系的概念，需要強調(diào)的是線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一，只要是相互線性無關(guān)的向量就可以，通過寫出線性方程組的基礎(chǔ)解系可以給出線性方程組的通解。本章最重要的一個知識點就是向量組的線性相關(guān)性。在介紹向量組建的線性相關(guān)性時，闡述線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義。對于只有一個向量的向量組而言，只要它不是零向量，那就一定是線性無關(guān)的，而如果是零向量那就一定是線性相關(guān)的。對于兩個向量構(gòu)成的向量組如果線性相關(guān)，那么這兩個向量對應(yīng)成比例，同時這兩個向量也是共線向量。對于三個向量構(gòu)成的向量組如果線性相關(guān)，那么這三四個向量是共面向量。在講授式可以采用板書式教學方法，引導學生理解向量組的線性相關(guān)性。

五、相似矩陣及二次型

首先由高中階段的向量的內(nèi)積、夾角、長度等定義出發(fā)將其過度到向量空間中的內(nèi)積、夾角、長度，同時需要學生掌握向量組的正交性以及向量組的施密特正交化過程的計算方法。其次就是講授方陣的特征值與特征向量，對于方陣而言，在復數(shù)域內(nèi)方陣是幾階的其特征值就有幾個，同時對于方陣的相應(yīng)于特征值的特征向量一定是非零向量，這里面說明特征向量也不是唯一的，特征向量有很多，但一定不能用零乘特征向量作為矩陣的特征向量。在講授相似矩陣對角化時，要通過引入正交矩陣的概念來闡述怎樣將對稱矩陣對角化，最后需要講授的是矩陣的二次型，在二次型的講授中，需要說明什么是正定二次型，什么是負定二次型以及如何判斷。可以通過矩陣的順序主子式來判定二次型，只要順序主子式都大于等于零，則是正半定二次型，若順序主子式全部都大于零，則是正定二次型。同時需要學生掌握配方法化二次型為標準型。上述內(nèi)容通過板書式教學展示，學生能充分理解問題的推導過程以及計算過程，有利于培養(yǎng)學生的學習能力和學習興趣，能夠促進《線性代數(shù)》這門課程的教學，對學生后續(xù)專業(yè)課的學習起到推動作用。