楊孝斌 呂傳漢 吳萬輝 袁景濤 李時建 盧焱堯

【摘 要】為提高高中數(shù)學解題教學質量和高考復習的效率，文章構建融合“三教”教育理念與波利亞解題思想的高中數(shù)學“一題一課多解變式”解題教學模式。經(jīng)過六年的理論研究和實踐探索，該模式為提升學生數(shù)學解題能力，落實數(shù)學核心素養(yǎng)有一定的幫助。

【關鍵詞】高中數(shù)學;一題一課;多解變式;教學模式

【作者簡介】楊孝斌，博士，貴州師范大學數(shù)學科學學院教授，中國少數(shù)民族教育學會數(shù)學教育專業(yè)委員會常務理事，主要從事中小學數(shù)學課堂教學、民族數(shù)學文化等的研究;呂傳漢，貴州師范大學原副校長，教授，主持獲得2018年國家級基礎教育成果一等獎;吳萬輝，北京八十中教學督導室主任，羅甸一中校長，正高級教師，高考科學備考與高考命題研究專家;袁景濤，思南中學校長，正高級教師，貴州省高中數(shù)學名師工作室主持人;李時建，正高級教師，貴州省高中數(shù)學名師工作室主持人;盧焱堯，貴州省實驗中學校長，正高級教師，貴州省高中數(shù)學名師工作室主持人。

【基金項目】“國培計劃（2018）”——貴州省呂傳漢智庫專家教師專業(yè)成長引領研修工作坊項目;貴州省2020年教育改革發(fā)展重大招標課題“三教引領民族地區(qū)高中數(shù)學一題一課多解變式教學實踐研究”（ZD202008） 一、問題背景

在長期的教學實踐和課堂觀察的基礎上，聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)培育等熱點問題，結合高中數(shù)學教學，特別是解題教學、高三復習教學的實際，筆者提出兩個主要問題：一是如何在高中數(shù)學教學中落實數(shù)學核心素養(yǎng)的培育;二是如何在高中數(shù)學解題教學中，構建兼顧數(shù)學核心素養(yǎng)培育與高考應試能力培養(yǎng)的教學模式。

經(jīng)過六年的研究和實踐，筆者又把解決以上兩個問題的主要過程分為聚焦問題、理論研究、模式構建、實踐檢驗、教師培養(yǎng)等五個方面，并構建出高中數(shù)學“一題一課多解變式”解題教學模式。

二、“一題一課多解變式”教學模式概述

經(jīng)過多年的探索，在開展波利亞解題思想的研究[1-5]和發(fā)展“三教”（教思考、教體驗、教表達）教育理念[6-9]的基礎上，筆者將數(shù)學核心素養(yǎng)培育與提升高中生數(shù)學解題及應試能力結合起來，構建了如圖1的高中數(shù)學“一題一課多解變式”教學模式。

（一）模式的內涵

該模式的內涵是在“三教”教育理念與波利亞解題思想的指導下，以數(shù)學思考為切入點（啟發(fā)學生理解題意，引導學生多角度思考問題）、以獲得數(shù)學解題體驗為重點（尋找解題思路，經(jīng)歷解題過程，在解題中學解題）、以數(shù)學表達交流為落腳點（通過分析問題特征、書寫解題過程、歸納解題方法，培養(yǎng)數(shù)學表達交流能力），其核心是訓練學生思維能力，目標是提升學生解決數(shù)學問題的能力。

（二）模式的主要環(huán)節(jié)與解析

從圖1可以看出，該模式的主要教學環(huán)節(jié)如下。

（1）圍繞某一個重要數(shù)學知識點或數(shù)學核心素養(yǎng)考查點，精選一個典型的數(shù)學問題作為一節(jié)課（或連堂課）教學的出發(fā)點。

（2）針對選取的典型數(shù)學問題，開展一題多解的教學，培養(yǎng)學生思維的靈活性。

（3）列舉類似問題（條件、結論或解法類似的問題），開展一題多變的教學，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和變通性。

（4）進行一題多說的師生對話，教師從不同角度解析問題、指出問題的本質和關鍵，引導學生反思研討，讓學生說出自己的學習體驗，師生共同厘清問題特點、歸納解題方法，最終達到一題多用（通過解一道題學會解一類題）的目的，培養(yǎng)學生思維的概括性和遷移性。

（三） 模式的課型應用

經(jīng)過六年的教學實踐，該模式從最初的在高考復習課中嘗試運用到既可以在高三復習課使用，又可以在新授課、常規(guī)復習課中運用。以下分別從三種課型進行分析。

1.新授課教學應用

該教學模式不僅僅是指在新授課的解題教學（例題或習題）中運用，還可以在概念的產(chǎn)生、公式的推導等新授課的教學中應用。在新授課教學中運用該模式的關鍵是教師能夠找到新授課的核心問題，適時地將教學內容問題化，找出課題，把新知識的教學當作解題教學。數(shù)學教材中的標題一般不是課題（這節(jié)課要解決的核心問題），標題往往是結論，而課題應是數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的本原性問題，要體現(xiàn)數(shù)學問題的本質。例如“三角函數(shù)的誘導公式”是教材內容的標題，而不是課題。其真正的課題應是有了任意角的概念和銳角三角函數(shù)等預備知識之后，“任意角的三角函數(shù)值怎么求？”這才是這節(jié)課教學的真正課題。因此，這節(jié)課一開始應該是一個具體的問題，即“如何求210°的正弦值”，接下來再要求學生動腦筋想辦法解決問題。[10]

在新授課的教學中，教師運用該模式的主要難點是如何找準這節(jié)課要解決的核心問題，以及如何構建問題串，特別是如何根據(jù)學習新知識的思維發(fā)展需要安排問題的邏輯順序。

2.常規(guī)復習課教學應用

在單元復習、期末復習教學中，除了常規(guī)的知識復習，還可以嘗試采用問題驅動的方法，以解題教學促進數(shù)學知識的復習。

例如“數(shù)列”這一章節(jié)的復習課，除了要復習概念、通項公式、求和公式等知識，還要圍繞等差數(shù)列通項公式、等差數(shù)列求和、等比數(shù)列通項公式、等比數(shù)列求和、等差（等比）中項、數(shù)列綜合問題、數(shù)列問題在生活中的應用等設置一系列問題，采用“一題一課多解變式”的教學模式，每一個系列以一個典型問題的解題教學為主，輔以類似的問題加以鞏固，以達到在知識的運用中理解知識、鞏固知識的目的。

3.高考復習課教學應用

教學實踐表明，在高考復習中，“一題一課多解變式”教學模式的運用應常態(tài)化。同時，教師在解題教學中還應注意落實一題多解、一題多變、一題多說等教學理念。具體分為以下三個階段。

（1）高考第一輪復習：以知識為主，解題鞏固。在該復習階段應以構建知識框圖，形成系統(tǒng)化、模塊化的知識體系為主，如立體幾何中線線、線面、面面的性質定理與判定定理，應幫助學生建立知識間的聯(lián)系，并在解題學習中鞏固所復習的知識。

（2）高考第二輪復習：以解題為主，知識再現(xiàn)。在該復習階段應以單元知識模塊（或核心知識考點）為線索，以解題能力提高為目的，充分運用“一題一課多解變式”教學模式提高高考復習質量，并根據(jù)學生的實際情況適當輔以知識點的回顧與再現(xiàn)。例如“解三角形”這一內容，應重點圍繞正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面積計算的方法等，通過典型問題的一題多解、一題多變、一題多說等學習過程，達到加深學生對知識及其相互聯(lián)系的理解，提高學生解題能力的目的。

（3）高考第三輪復習：以解題為主，方法為要。在該復習階段主要利用“一題一課多解變式”教學模式開展高考綜合題的解題教學，在教學過程中突出解題經(jīng)驗、解題方法的歸納與總結，尤其要突出數(shù)學思想方法在解題中的應用。 三、“一題一課多解變式”教學模式的實踐探索

高中數(shù)學“一題一課多解變式”解題教學模式初創(chuàng)以來，我們通過與貴州省9個省級高中數(shù)學名師工作室合作，指導高中數(shù)學教師在不同地區(qū)、不同學校進行教學實踐，并在實踐中不斷修正、完善，以下是一些典型的教學案例。

（一）一題多解的教學實踐探索

兩道解三角形問題的多解探索。

例1（2017年全國Ⅲ卷理科第17題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27，b=2。①求c;②設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積。

例2（2019年全國Ⅲ卷理科第18題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知asinA+C2=bsinA，①求B;②若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍。

限于篇幅，關于這兩個問題的多種解法，簡要列表如下這兩道題目的詳細解法，參見參考文獻[4][5]。。

在實際考試中，很多學生其實并沒有更多的時間去思考題目的多種解法，但是在平時的思維訓練中，通過一題多解可以幫助學生發(fā)現(xiàn)問題的最優(yōu)解，培養(yǎng)學生思維的靈活性，以達到學生在面對題目時能夠迅速判斷用哪種方法求解。同時，一題多解的訓練，也有利于提高學生多角度思考問題和靈活運用所學的知識解決問題的能力。因此，在教學中開展一題多解的訓練，特別是在高三復習階段，對培養(yǎng)學生思維的靈活性具有重要的作用。

（二）一題多變的教學實踐探索

1.從一道加拿大競賽題談起

下面筆者將從一道加拿大的競賽題談一談如何對問題進行變式。

例3（1995年加拿大數(shù)學奧林匹克試題）已知函數(shù)f（x）=9x9x+3，求f 11996+f21996+…+f19951996的值。

該問題可利用函數(shù)f（x）=9x9x+3的性質求解，即當x+y=1時，f（x）+f（y）=1，然后再借助倒序相加的方法求解。

2.搜索與之類似的題目

例4（復旦大學2005年自主招生考試題）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=4x4x+2，求Sn=f1n+f2n+…+fn-1n，n=1，2，3…。

該題可看作是例3的翻版，事實上在課本上也有類似的題目。

例5[2007年人教版高中數(shù)學必修5（B版）第43頁習題2.2，B組第6題]

已知函數(shù)f（x）=4x4x+2。

（Ⅰ）計算f（0.1）+f（0.9）的值。

（Ⅱ）設數(shù)列{an}滿足an=fn1001，求此數(shù)列前1000項的和。

例3～例5都是考查等差數(shù)列求和公式推導過程中的倒序相加法。除上述問題（指數(shù)函數(shù)型）外，還有分式型、組合數(shù)型、三次函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型、三角函數(shù)型等，也常常結合倒序相加的思想進行命題。

例6（2002年新課標全國卷理科16題）（分式型）已知函數(shù)f（x）=x21+x2，那么f（1）+f（2）+f12+f（3）+f13+f（4）+f14= ? ? 。

例7（2017年上海高中數(shù)學競賽題）（三角函數(shù)型）若f（x）=11+x+21+x2，則f（tan1°）+f（tan2°）+…+f（tan89°）= ? ? 。

這些問題是如何變式的，讓我們先來看以下幾個函數(shù)：

f（x）=9x9x+3 f（x）=4x4x+2 ？

這里的問號可以是f（x）=2x2x+2，于是便可命制以下問題：已知函數(shù)f（x）=2x2x+2，求f12021+f22021+…+f20202021的值。

我們還可以設計一個更簡單的問題：求12+13+23+14+24+34+…+12021+22021+…+20202021的值，這些問題常常出現(xiàn)在小學高年級的數(shù)學競賽題中，其本質就是反復利用倒序相加的思想求解。

此外，我們還可以同時利用三角函數(shù)公式和倒序相加法命制如下問題。

設A=1+cos3°+1+cos7°+1+cos11°+…+1+cos87°，B=1-cos3°+1-cos7°+1-cos11°+…+1-cos87°，則A∶B= ? ?。

該題需要利用半角公式先去掉根號，再利用倒序相加的思想與正弦、余弦的和差化積公式求解。

因此，在教學中進行一題多變的訓練，是為了培養(yǎng)學生的遷移性思維，讓學生可以適應問題的各種變化，通過解一道題，最終達到會解一類題的目的。常規(guī)的思路主要有：①追根溯源，在充分挖掘考點（知識點、思想方法考查點、核心素養(yǎng)考查點）和題源（揣摩命題意圖、尋找類似問題）的基礎上，進行模擬命題，開展變題訓練;②通過設計與原問題（或稱母題）的條件、情境類似的問題，進行模擬命題，開展變題訓練;③通過適當改變問題的結論（加強或弱化、升維或降維等），進行模擬命題，開展變題訓練;④通過變換問題的提問方式（同一問題不同提法、不同問題同一提法），進行模擬命題，開展變題訓練。

（三）一題多說的教學實踐探索

限于篇幅，同時為了說明問題，筆者仍以2017年全國Ⅲ卷理科數(shù)學第17題為例。

1.教師說題目

在以該題為典型例題開展教學以后，教師應向學生深度剖析這一問題的特點及涉及的考點，讓學生認識到該題重在考查對正弦定理、余弦定理、勾股定理、角的正弦（余弦、正切）的定義、特殊角的三角函數(shù)值、輔助角公式、兩角和的正弦（余弦）公式、三角形面積公式、三角形中位線、平行四邊形的有關性質、一元二次方程的解法等知識的掌握，以及對數(shù)形結合思想、化歸思想、方程思想等數(shù)學思想的理解與應用。在數(shù)學核心素養(yǎng)方面，該題著重考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等，同時兼顧合情推理能力的考查。

同時，教師還應向學生分析如何在考試中快速找到解題的突破口。如該題第（2）問，在實際解題過程中就可以先猜出D點為BC的中點這個結論再進行證明，當然這涉及對學生合情推理能力的考查。

2.學生說解題體驗

通過以該題為典型例題開展“一題一課多解變式”教學以后，教師引導學生說出他們的學習體驗，部分摘錄如下。

生1：通過這道題的學習，我知道要綜合把握問題的條件，充分考慮可能的解法，靈活選擇更簡便、快捷的解題方法。

生2：通過這道題的學習，我了解到，凡是遇到與三角形邊的中點有關的問題，就想方設法尋找或構造出另一個中點，以便利用三角形的中位線等有關知識解題。

生3：通過這道題的學習，我了解到，在對圖形的觀察中充分把握整體與局部的關系。

生4：通過這道題的學習，我了解到，在數(shù)學學習中，既要關注數(shù)學的結論性知識，又要關注數(shù)學公式、定理推導過程中的過程性知識。

一題多說的主要目的是要求教師引導學生從多角度認識問題的本質、問題考查的知識要點和能力要素，讓學生開展解題回顧與反思，總結學習體驗、積累解題經(jīng)驗、歸納解題方法，最終達到一題多用，培養(yǎng)學生思維的概括性和遷移性的目的。

四、結語

教學實踐表明，該模式引導學生通過會解一道題達到會解一類題的目的，在一定程度上提高了數(shù)學解題教學的質量和高考復習的效率。同時，在運用該模式的過程中，落實了“教思考、教體驗、教表達”的“三教”教育理念，真正幫助學生實現(xiàn)“三會”，即會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。通過六年多的努力，高中數(shù)學“一題一課多解變式”解題教學模式，已逐漸發(fā)展完善為提升數(shù)學解題能力的有效載體，落實數(shù)學核心素養(yǎng)培育的有效模式。當然，在模式的運用過程中，也或多或少會出現(xiàn)一些問題，比如有的教師因自身的素質無法很好地開展一題多解、一題多變，還有的教師無法很好地運用波利亞解題思想，以至于有時候講不清楚解法是如何發(fā)現(xiàn)的。特別是在一題多變的過程中，有的教師不能很好地把握“變”的邏輯順序，以及“變”的程度和題與題之間的跨度等問題，這些都有待進一步研究。

參考文獻：

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[2]楊孝斌，羅永超.例談用波利亞“怎樣解題”的提示語解高考題：以重慶市2013年理科第22題為例[J].通化師范學院學報，2014（4）：59-60，98.

[3]吳才鑫，楊孝斌.例談波利亞“怎樣解題”的提示語在高考數(shù)學解題中的應用：以2015年全國文科數(shù)學Ⅱ卷第19題為例[J].凱里學院學報，2016（3）：171-173.

[4]楊孝斌，潘志堅.2017年全國數(shù)學理科Ⅲ卷第17題解法分析：兼談高考數(shù)學對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查[J].興義民族師范學院學報，2018（2）：121-124.

[5]楊孝斌，周國利，周婭.兩道“解三角形”高考題的解法研究、比較分析及教學啟示：以全國Ⅲ卷理科數(shù)學2017年第17題、2019年第18題為例[J].興義民族師范學院學報，2020（1）：112-116，124.

[6]楊孝斌，呂傳漢.論數(shù)學教育對中小學生核心素養(yǎng)的培育[J].興義民族師范學院學報，2015（5）：74-79.

[7]蘇明強，呂傳漢.初論數(shù)學課程培育的核心素養(yǎng)[J].齊魯師范學院學報，2016（6）：72-75.

[8]唐海軍，呂傳漢.數(shù)學教學為什么需要“教思考、教體驗、教表達”：“三教”教學理念與實踐的再探析[J].中小學教師培訓，2019（10）：51-55.

[9]王寬明，呂傳漢，游泰杰.數(shù)學教育中“教思考”的探索[J].中小學教師培訓，2018（3）：39-43.

[10]楊孝斌.數(shù)學教學思維導向的研究[D].南京：南京師范大學，2010.

（責任編輯：陸順演）