■錢德春

一、問題提出

最近看到一段關(guān)于“分母有理化”的教學(xué)短視頻，內(nèi)容是如何將分母有理化。大致過程如下：

二、方法探究

分母有理化有沒有最基本、最一般的方法呢？我們知道，分母有理化的復(fù)雜程度由分母中項(xiàng)的個數(shù)決定，解題的關(guān)鍵是如何尋找分母的有理化因式。如（a為正整數(shù)）分母只含有一項(xiàng)，其分母有理化比較簡單。這里重點(diǎn)研究形如這3類代數(shù)式的分母有理化。

三、談“技”論“道”

與短視頻中授課教師的方法相比，上述方法雖然比較煩瑣，但更具一般性。我們將特殊的技能、技巧稱為“技”，將事物一般性、本質(zhì)性的規(guī)律、方法稱為“道”。那么“技”和“道”究竟是什么關(guān)系呢？顯然，“道”是事物的根本，“技”是“道”的外在表現(xiàn)。數(shù)學(xué)中的“道”就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、基本原理、通性通法。數(shù)學(xué)教學(xué)也好，解題也罷，一定離不開“技”，但沒有“道”，“技”就成了無本之源。

1.學(xué)在悟“道”。

數(shù)學(xué)之“道”的形成是一個生長過程，需要教師的引導(dǎo)與點(diǎn)撥，需要學(xué)習(xí)者的領(lǐng)悟與建構(gòu)、不斷完善與升華。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于悟“道”。

（1）“道”的形成是一個生長過程。

數(shù)學(xué)之“道”是生長出來的，“道”的形成過程是學(xué)習(xí)與理解、運(yùn)用與體驗(yàn)的生長過程，是經(jīng)歷從低級到高級、從特殊到一般、從具體到抽象的過程。如在“分母有理化”問題的學(xué)習(xí)中，學(xué)生必須弄清這樣幾個問題：分母為什么會出現(xiàn)根式、什么叫作分母有理化、為什么要分母有理化、分母如何有理化。在這個過程中，學(xué)生不斷增長數(shù)學(xué)知識、深化數(shù)學(xué)理解、掌握數(shù)學(xué)方法、感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而明晰數(shù)學(xué)之“道”。

①分母為什么會出現(xiàn)根式？

分母出現(xiàn)二次根式的主要原因是除法運(yùn)算中除數(shù)含有二次根式。如八下教材P155：已知平行四邊形的面積為，一邊的長為，求這邊上的高。根據(jù)面積公式得到所求邊上的高為，這就出現(xiàn)了形如的形式，其中分母含有二次根式。又如：“△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=15°，求△ABC的面積?！庇蟆鰽BC的面積，只要求BC的長，由于AC長及∠A=15°已知，關(guān)鍵是如何利用15°的條件，由此聯(lián)想到30°，構(gòu)造特殊三角形：在AC上取一點(diǎn)D，使∠BDC=30°（如圖 1），設(shè)BC=x，則BD=AD=2x，CD=x，所以AC=2x+x=(2+)x。因?yàn)锳C=6，所以(2+，此時出現(xiàn)了形如的式子。

②什么叫作分母有理化？

③為什么要分母有理化？

這是源于數(shù)學(xué)“最簡”原則。簡潔是數(shù)學(xué)的特征之一，也是現(xiàn)實(shí)的需要。數(shù)學(xué)總是追求“最簡”，如思路與方法、運(yùn)算過程、形式與結(jié)果的“最簡”；如能用簡便方法的不用復(fù)雜方法，能用整式表示的不用分式表示，能化為積的形式的不用除法表示。就分母含有二次根式的運(yùn)算而言，乘法運(yùn)算比除法運(yùn)算簡便，無理數(shù)除以有理數(shù)比一個數(shù)除以無理數(shù)運(yùn)算更方便。分母有理化（即化去分母中的二次根式）后，數(shù)學(xué)運(yùn)算及實(shí)際問題中取近似值會更加方便。如求近似值，如果直接計(jì)算則要將與的近似值代入計(jì)算，此時分母出現(xiàn)小數(shù)，計(jì)算會比較復(fù)雜。但分母有理化后結(jié)果為，因此，只要知道的近似值即可。再如求的近似值，如果取 3≈1.732，那么這樣的計(jì)算也比較煩瑣，而分母有理化后結(jié)果為，其近似值為6×（2-1.732），轉(zhuǎn)化為求兩數(shù)積的運(yùn)算，過程就顯得簡便。

④分母如何有理化？

至于分母超過3項(xiàng)的二次根式和（差）、根號內(nèi)含字母的分母有理化方法，見本文“二、方法探究”。

（2）“道”需要教師的點(diǎn)撥與引導(dǎo)。

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者?！边@說明教學(xué)中教師的啟發(fā)、引導(dǎo)不可或缺。教師要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，讓學(xué)生感受為什么分母出現(xiàn)二次根式，為什么要化去分母中的根式，什么叫作分母有理化。教師通過具體案例的教學(xué)，讓學(xué)生思考分母有理化的關(guān)鍵是什么、如何分母有理化。同時，在探究過程中自然會出現(xiàn)分母為單個根式、兩個二次根式的和與差、三個根式的和與差如何處理的問題。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：這樣處理的思維源頭在哪里？其中蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)思想方法？從而達(dá)到啟思與點(diǎn)撥的目的。

（3）“道”需要學(xué)習(xí)者體會與感悟。

老子言：“道可道，非常道。名可名，非常名?！币饧茨軌蜓悦鞯木筒怀蔀椤暗馈保梢姟暗馈毙枰w驗(yàn)與感悟。學(xué)生“掌握知識，既不像照相機(jī)、錄音機(jī)那樣僅僅對外界信息消極地接受和儲存，也不像容器那樣被動地‘填裝’，而是一種能動的認(rèn)識過程”。教師的啟發(fā)、引導(dǎo)與點(diǎn)撥，只有通過學(xué)習(xí)者主動積極的思考、領(lǐng)悟、建構(gòu)、反思，才能轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的知識、智慧和能力。

比如，學(xué)生可結(jié)合實(shí)例自主思考：分母有理化的本質(zhì)就是追求形式與結(jié)果的“最簡”，基本方法是轉(zhuǎn)化——將“除法運(yùn)算”轉(zhuǎn)化為“乘法運(yùn)算”；理論依據(jù)是分?jǐn)?shù)（式）的基本性質(zhì)；被開方數(shù)含字母的分母有理化可類比具體數(shù)的分母有理化。在掌握這個數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下，適當(dāng)歸納、梳理分母有理化的特點(diǎn)、類型，從而建構(gòu)相關(guān)知識、方法體系，體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法。這正是數(shù)學(xué)之“道”。悟“道”的過程就是學(xué)生主動建構(gòu)、自主感悟、獨(dú)立思考的過程，而不是他人的給予、灌輸和牽引。正如《學(xué)記》所言：“君子之教，喻也：道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)?！?/p>

（4）“道”需要自我的反思與完善。

從哲學(xué)角度來說，數(shù)學(xué)之“道”是數(shù)學(xué)內(nèi)在的發(fā)展規(guī)律與人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律。數(shù)學(xué)總是在發(fā)現(xiàn)矛盾、遭遇危機(jī)后，經(jīng)過數(shù)學(xué)家的艱苦努力，從而克服危機(jī)，取得了新的突破，得到新的發(fā)展，正所謂“逢山開路、遇水架橋”，這就是數(shù)學(xué)的發(fā)展之“道”。

以數(shù)系的發(fā)展為例。遠(yuǎn)古時代人們在分配物品的過程中出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，小數(shù)由此誕生了；人們發(fā)現(xiàn)了數(shù)的“不可公度性”，無理數(shù)應(yīng)運(yùn)而生，從而出現(xiàn)實(shí)數(shù)系；“實(shí)數(shù)時代”默認(rèn)負(fù)數(shù)不能開平方，但出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開方的問題，人們將 -1記為i，稱為虛數(shù)，復(fù)平面的發(fā)明給復(fù)數(shù)以幾何解釋，使虛數(shù)有了現(xiàn)實(shí)意義，從而使數(shù)學(xué)向前邁了一大步。這就是不斷反思、不斷完善的過程。

再比如，幾何圖形的研究一般按照“定義→表示→分類→性質(zhì)（判定）”的“套路”進(jìn)行。這個“套路”的形成是一個循序漸進(jìn)、逐步完善的過程。在幾何學(xué)習(xí)初始階段，如在七年級“直線、射線、線段”和“角”“相交線與平行線”的學(xué)習(xí)中，教師引導(dǎo)學(xué)生初步感知幾何研究的“套路”，積累幾何研究活動經(jīng)驗(yàn)；在八年級“三角形”“四邊形”的學(xué)習(xí)中借鑒七年級的幾何研究活動經(jīng)驗(yàn)，并將這種經(jīng)驗(yàn)提升為一種策略；到了九年級“圓”和“相似三角形”的學(xué)習(xí)時，學(xué)生通過自主反思，不斷完善這種策略，使之升華為幾何研究的“套路”。

這些數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律、問題研究的方法與路徑，有時教材難以直接呈現(xiàn)，也難以通過一兩個具體問題的解決加以歸納，需要學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中慢慢思考、感悟，經(jīng)歷從特殊到一般、從低級到高級的過程，逐步認(rèn)識、理解與完善數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，并升華為數(shù)學(xué)認(rèn)識的一種策略、方法和觀念，從而達(dá)到積“小技”為“大能”、變“小道”為“大道”的目的，為更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，這才是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之“道”。

2.“技”由“道”生。

“熟能生巧”或許有一定道理，卻是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大忌。不少學(xué)生平時測試成績較好，但在比較正式的考試中卻成績平平。這是什么原因呢？由于平時有的測試中原創(chuàng)題較少，大多是教師講過或反復(fù)訓(xùn)練過的“熟題”，學(xué)生不需動腦筋，憑記憶就能得高分。但中考、高考等測試中的試題以原創(chuàng)題為主，試題的背景、形式、結(jié)構(gòu)新穎，不少學(xué)生面對新題型、新面孔只能望“題”興嘆。

因此，學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在于悟“道”，掌握了數(shù)學(xué)基本原理、基本方法等最本質(zhì)的東西之后，“技”自然而生，就能應(yīng)對形形色色的數(shù)學(xué)問題。

我們可以按照第3種類型的方法進(jìn)行計(jì)算，但仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，分母可以變形為即因 此 ，只 要 將分別分母有理化即可（具體過程略）。

這兩個例子說明：悟出分母有理化之“道”，任你問題千變?nèi)f化，都能以“道”化之；觀察代數(shù)式的不同特點(diǎn)，還可以根據(jù)具體問題思考不同的分母有理化策略和技能，由“道”生“技”。

由此可見，“技”不足“道”，“技”由“道”生。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本任務(wù)在于悟“道”，即經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，感悟、思考、歸納數(shù)學(xué)的基本原理、通性通法。只有這樣，在面對具體問題時才能以不變應(yīng)萬變，達(dá)到“大道于心”的境界。