宇文韜 彭振赟 李詠徽 王佐鴻 李美美

摘要：抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)里十分重要的一門課程，它總結(jié)歸納了前人對代數(shù)學(xué)研究的理論精髓，又為后人研究更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識提供理論基礎(chǔ)。然而掌握抽象代數(shù)的知識對學(xué)生而言卻并非易事。本文從本科學(xué)生的角度討論抽象代數(shù)的知識難點(diǎn)和在學(xué)習(xí)抽象代數(shù)過程中會(huì)遇到的困惑與阻礙。并且從教學(xué)的整體觀念和關(guān)鍵章節(jié)的局部理解上分別進(jìn)行討論，對初學(xué)者如何更容易理解抽象代數(shù)的問題給出可能的方法與建議。

關(guān)鍵詞：抽象代數(shù);課堂教學(xué);教學(xué)方法;教學(xué)改革反思

1. 引言

抽象代數(shù)已存世百年之久，從伽羅瓦引入群的概念起，更有近兩百年歷史[1]。其間，抽象代數(shù)讓數(shù)學(xué)家感到精神上的愉悅;讓數(shù)學(xué)體系更為完善嚴(yán)謹(jǐn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美[2]。更是總結(jié)了一切舊代數(shù)學(xué)的成果，繼而開代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)渲群?，也為費(fèi)馬大定理、尺規(guī)作圖、多項(xiàng)式的解等世紀(jì)難題提供了解答，甚至在晶體學(xué)、信息、力學(xué)等領(lǐng)域大放異彩。然而對初學(xué)抽象代數(shù)的本科生而言，抽象晦澀的內(nèi)容卻使他們望洋興嘆。另一方面，當(dāng)代大學(xué)生更喜愛快餐式學(xué)習(xí)，厭倦系統(tǒng)沉悶的教學(xué)方式，也更擅長瀏覽性的獲取知識[3]。生活節(jié)奏的加快，課時(shí)縮短，業(yè)余興趣的多元化等也擠壓了學(xué)習(xí)時(shí)間[4]。本文將從學(xué)生角度反思學(xué)習(xí)抽象代數(shù)時(shí)遇到的問題，并給出可能的解決方法。

2. 抽象代數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)遇到的困難

第一，抽象代數(shù)本身過于抽象，許多理論在引入時(shí)無法給學(xué)生足夠時(shí)間和例子用來輔助理解。但除了顯而易見的“過于抽象”外，還有一個(gè)容易被忽視的問題：學(xué)生在接受陌生理論時(shí)，往往會(huì)對知識本身有質(zhì)疑心理。這本來有利于學(xué)生的能力培養(yǎng)，但學(xué)生質(zhì)疑一個(gè)新理論時(shí)，往往同時(shí)產(chǎn)生抗拒心理。

過于抽象還體現(xiàn)在命題的陳述化或符號化的表達(dá)上，有的是符號表達(dá)簡單卻用陳述法表達(dá)，但有的則相反。如以下兩個(gè)對Jordan-H?lder定理的描述：

定理1：任一有限群的所有合成群列的長度均相等，且它們的合成因子在不計(jì)順序的意義下對應(yīng)同構(gòu)。

定理2：設(shè)G是一個(gè)有限群，下面兩個(gè)群列都是G的合成群列：

則r=s且存在（1，2， …，r）上的置換σ，使：

第二，學(xué)生無法快速掌握學(xué)習(xí)的脈絡(luò)和內(nèi)容的關(guān)系，分不清重難點(diǎn)。有時(shí)候可能會(huì)囿于次要的內(nèi)容之中。正所謂“一葉障目，不見泰山”，學(xué)生課堂上和自學(xué)期間的注意力是有限的，一旦書本中和課堂上過于困難和無意義的東西太多，那么這些東西就不僅會(huì)浪費(fèi)學(xué)生的時(shí)間，更會(huì)消磨學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。而書籍為了嚴(yán)謹(jǐn)，必須要有大量的引理和證明等次要內(nèi)容。然而初學(xué)者不可能快速把握教材的行文脈絡(luò)和重點(diǎn)內(nèi)容，因此學(xué)生在閱讀這些時(shí)感到疲倦也不足為奇。

第三，抽象代數(shù)定義和命題過多，名詞易混淆，以至于十分容易遺忘。

例如：循環(huán)群，置換群，交換群，交錯(cuò)群，輪換，對換，對稱群。

再如：同構(gòu)，自同構(gòu)，恒等自同構(gòu)，自然同態(tài)，內(nèi)自同構(gòu)，內(nèi)自同構(gòu)群。

又如：Galois群，Galois域，Galois擴(kuò)域，Galois對應(yīng)。等。

這些名稱對教師而言是顧名思義的，循環(huán)群就是一個(gè)元素的若干次冪會(huì)變成其本身，是一個(gè)循環(huán);交換群就是滿足交換律的群。但對于初學(xué)者而言，他們很難在初學(xué)時(shí)就掌握這些的內(nèi)涵;即使掌握，也并不能熟練的區(qū)分和應(yīng)用。而在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們很可能會(huì)忘記一個(gè)名詞的含義，也可能把多個(gè)名詞、對應(yīng)的性質(zhì)混淆，以致感到混亂。

第四，由于學(xué)習(xí)順序，學(xué)生對后續(xù)較為簡單的理論也會(huì)產(chǎn)生畏難心理。

第五，其它原因。如學(xué)生在第一次接受集合的元素也是集合的或者集合的元素是映射的情況時(shí)會(huì)感到較難理解或分辨不清，手機(jī)及其它誘惑源的影響等等。

3. 以學(xué)生角度對教學(xué)進(jìn)行反思

3.1教學(xué)順序的反思

當(dāng)下教材主要是按照群環(huán)域的順序教授的。這樣的確會(huì)使書籍編寫嚴(yán)謹(jǐn)，后面的內(nèi)容也可借鑒前面的知識，環(huán)環(huán)相扣。但對學(xué)生而言更熟悉、更易接受的反而是域。但從域論講起勢必使教學(xué)過程顯得過于臃腫。所以最好在第一課就引導(dǎo)學(xué)生對全書做鳥瞰，從熟悉的知識中總結(jié)環(huán)和域，進(jìn)一步抽象出群的特點(diǎn)，然后以講解群論內(nèi)容為主。

3.2教學(xué)方式的反思

抽象代數(shù)知識繁多冗雜，極易記混遺忘。因此復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過，且下節(jié)課要用到的知識比預(yù)習(xí)更重要：教師最好以作業(yè)形式復(fù)習(xí)下節(jié)課所需的知識，或在上課前幾分鐘復(fù)習(xí)本節(jié)課需要的理論。遇到名稱相似，內(nèi)容類似的理論時(shí)注意辨析。

授課時(shí)未必要線性地講解每一節(jié)課的內(nèi)容，或者說在提出一個(gè)定理后不用立刻給出證明，而是可以先講解完所有與該定理有關(guān)的命題后再做證明。這樣有利于學(xué)生整體把握知識的結(jié)構(gòu)，了解知識的連貫性。先對知識做概覽，用后面的知識幫助理解前面的理論也是一個(gè)較好的選擇。

對于翻轉(zhuǎn)課堂，也可借用上似順序。但鑒于抽象代數(shù)難度大課時(shí)緊，很多學(xué)生并不完全理解這種新的教學(xué)模式，因此翻轉(zhuǎn)課堂必然會(huì)受到阻力，且效果可能不會(huì)十分明顯。這也決定了教師的主導(dǎo)作用必須較強(qiáng)。

4. 教學(xué)建議

等價(jià)類與等價(jià)關(guān)系的是不重不漏的分類，這種思想貫穿整個(gè)抽象代數(shù)，所以一定要盡早告訴學(xué)生。

群環(huán)域的概念的引出可通過線性空間進(jìn)一步簡化得到：線性空間數(shù)乘改為乘法，抽象為環(huán)，對乘法添加條件變?yōu)橛?，對域的加法與乘法分別研究，抽象為群。

群和群同態(tài)理論的名詞含義很多，對名詞含義辨析和區(qū)分十分重要，混淆詞舉例在第二節(jié)已經(jīng)提到。同構(gòu)兩定理在后續(xù)很少用到，所以不需要太多介紹。

本科階段理想的定義只需要理解交換幺環(huán)的理想，而交換幺環(huán)的理想內(nèi)元素與生成子空間內(nèi)元素在形式上是一致的。同時(shí)，費(fèi)馬大定理與代數(shù)數(shù)論的建立是一個(gè)很好的數(shù)學(xué)史內(nèi)容。

域擴(kuò)張與正規(guī)擴(kuò)域中，維數(shù)的概念（若E在F上是線性空間，則維數(shù)記為[E：F]）可能會(huì)令一部分初學(xué)者無法理解，因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)常常會(huì)忽略F的意義，在學(xué)習(xí)抽象代數(shù)中就會(huì)帶來困難。另一個(gè)是對“域擴(kuò)張”的理解，域擴(kuò)張是一個(gè)主謂短語，但許多人初學(xué)時(shí)會(huì)將之理解為偏正短語。但如果按照后者理解，那么域擴(kuò)張就成了一個(gè)動(dòng)詞——這會(huì)使學(xué)生感到奇怪。

Galois理論的主要難點(diǎn)是學(xué)生不理解Galois群的元素也是映射的事實(shí)，初學(xué)者也容易被復(fù)雜的映射關(guān)系搞混。

以上是從本科生角度對抽象代數(shù)教學(xué)進(jìn)行的反思與總結(jié)，并在文章中提出了一些可能有用的教學(xué)方法與方式。更希望本文能夠拋磚引玉，為教師的教學(xué)與學(xué)生的理解提供建議和新的觀點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1]杜宛娟.數(shù)學(xué)史融入抽象代數(shù)教學(xué)的思考[J].教育現(xiàn)代化，2018，5（48）： 246-247，250.

[2]王保紅，魏屹東.對抽象代數(shù)的哲學(xué)審視[J].自然辯證法研究，2008（09）： 26-31.

[3]王致蘭.淺析高職學(xué)生厭學(xué)心理及輔導(dǎo)對策[J].才智，2012（11）：285-286.

[4]劉曉芬，常青，甘棠.論學(xué)習(xí)態(tài)度對90后大學(xué)生英語學(xué)習(xí)的影響[J].中國校外教育，2010（16）：38.

作者簡介

1.宇文韜（1998～），男，河北石家莊人;學(xué)士、桂林電子科技大學(xué)學(xué)生;研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2.彭振赟（1963～），男，湖南邵東人;博士、桂林電子科技大學(xué)教授;研究方向：數(shù)值代數(shù)

3.李詠徽（2000～），女，吉林吉林人;學(xué)士、桂林電子科技大學(xué)學(xué)生;研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：2020，桂林電子科技大學(xué)，多重約束條件下矩陣最優(yōu)化問題的有效算法研究（11961012）

桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 廣西壯族自治區(qū)桂林 541010