牛振宇，劉林芽，秦佳良，左志遠

（華東交通大學鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西南昌，330013）

高速鐵路效率高、能耗低、運量大的特點決定了其將在未來交通運輸部門中將起到重要的作用，但高速鐵路技術在迅速發(fā)展的同時，振動和噪聲問題未得到有效解決。針對這一問題，我國高速鐵路研究者在城市軌道減振降噪經(jīng)驗的基礎上研發(fā)了減振型CRTSⅢ板式無砟軌道，并取得了顯著的減振降噪效果[1]。在該類型軌道結構中，通過布置彈性墊層來達到減振的目的。彈性墊層包括扣件膠墊層和減振墊層?？奂z墊層與減振墊層是該類型軌道結構中具有彈性和阻尼性能的部件，它們的動態(tài)力學性能對車輛-軌道耦合系統(tǒng)振動響應有重要的影響。彈性墊層由黏彈性橡膠高分子材料制成，高分子材料的動力學行為往往隨環(huán)境溫度以及加載頻率的變化呈非線性變化，同時表現(xiàn)出黏性液體和彈性固體的力學特征即黏彈性力學特征[2-3]。用于描述橡膠高分子材料的動力特性最基本的2 種模型為Maxwell 模型和K-V 模型[4-5]。這2 種模型均屬于標準機械模型，簡單直觀，但由于其導數(shù)階數(shù)均為整數(shù)，模型不能反映加載歷史的影響，從而難以準確描述橡膠高分子材料的頻變特性。分數(shù)階導數(shù)模型是在標準機械模型的基礎上發(fā)展而來的，其導數(shù)階數(shù)為分數(shù)，因此，該模型能夠考慮加載歷史的影響，可以準確描述橡膠材料的頻變特性[6-7]。趙永玲等[8]對橡膠材料頻變特性進行了研究，發(fā)現(xiàn)分數(shù)階K-V 模型在描述橡膠材料頻變特性上存在一定的誤差，而高階分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型能較好地描述橡膠材料的頻變特性。劉林芽等[9]利用高階分數(shù)階導數(shù)FVMP模型對扣件動參數(shù)進行擬合，擬合結果顯示FVMP 模型計算的動參數(shù)結果與試驗結果吻合較好。相比于僅有1個導數(shù)階數(shù)的低階分數(shù)階導數(shù)模型，高階分數(shù)階導數(shù)模型在中低頻和高頻范圍內(nèi)均能描述彈性墊層的頻變特性，F(xiàn)VMP模型是高階分數(shù)階導數(shù)模型中常用的一種[10]。在車輛-軌道耦合系統(tǒng)的分析中，通常將彈性墊層簡化為線性彈簧和黏性阻尼并聯(lián)的K-V 模型，但K-V 模型不能真實反映彈性墊層的頻變特性[11-12]。ZHU 等[13-14]將描述扣件膠墊頻變特性的分數(shù)階K-V 模型應用于車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力學模型，分析了扣件膠墊的頻變特性對輪軌系統(tǒng)動態(tài)響應的影響。WEI等[15]對不同參考溫度下分數(shù)階K-V 模型的參數(shù)進行了擬合，對使用分數(shù)階K-V 模型代替扣件膠墊的車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力學模型進行計算，分析了扣件膠墊的溫頻變特性對車輛-軌道耦合系統(tǒng)振動響應的影響。上述文獻用于表征扣件膠墊頻變特性的模型在描述頻變特性時存在一定程度的誤差，尤其在描述中高頻段內(nèi)的頻變特性存在較大的誤差。現(xiàn)有文獻對于減振墊層的研究一般仍采用K-V模型來替代，考慮減振墊層的溫頻變特性的文獻較少，同時考慮扣件膠墊和減振墊層的溫頻變特性對軌道結構的影響的文獻更少。

鑒于此，本文作者以減振型CRTSⅢ板式無砟軌道扣件膠墊與減振墊層為研究對象，通過動態(tài)力學性能試驗結合溫頻等效原理得到彈性墊層溫頻變力學特性，并采用能在較寬加載頻率范圍內(nèi)描述彈性墊層頻變力學特性的高階分數(shù)階導數(shù)FVMP模型來建立彈性墊層的數(shù)學模型，將其嵌入車輛-軌道垂向耦合模型中，最終計算出軌道結構各部分的振動響應，從而研究彈性墊層溫頻變特性對軌道結構振動響應的影響。

1 彈性墊層動態(tài)力學性能試驗

采用橡膠材料動態(tài)力學分析儀（dynamic thermomechanical analysis,DMA），以減振型CRTSⅢ板式無砟軌道使用的扣件膠墊和減振墊層為試驗對象，在加載頻率為2 Hz、不同試驗溫度下進行溫度掃描試驗，從而獲取彈性墊層動參數(shù)的溫度譜，如圖1和圖2所示。

圖1 扣件膠墊DMA試驗值Fig.1 DMA test values of rail pad

圖2 減振墊層DMA試驗值Fig.2 DMA test values of damping layer

2 彈性墊層FVMP模型

彈性墊層采用高階分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型，如圖3所示。

圖3 彈性墊層FVMP模型Fig.3 FVMP model of elastic layer

FVMP模型能夠用7個參數(shù)在較寬的加載頻率范圍內(nèi)準確描述彈性墊層動參數(shù)的頻變特性，其時域本構方程為

式中：Fa（t）為彈性墊層彈性力；X（t）為彈性墊層位移；μ1和μ2為FVMP模型的彈性系數(shù)；η1和η2為FVMP模型的黏性系數(shù)；Dα，Dβ和Dγ為分數(shù)階微分算子；α，β和γ為分數(shù)階導數(shù)階數(shù)。

對式（1）進行Fourier 變換后經(jīng)整理可得到FVMP模型確定的復模量：

式中：E*(iω)為復模量；σ(ω)和ε(ω)分別為彈性墊層正應力與正應變；i 為虛數(shù)單位。將iγ=代入式（2），分離實部與虛部并計算得到FVMP模型的儲能模量Es、耗能模量El和損耗因子δ：

利用彈性墊層DMA 試驗結果并基于溫頻等效原理[16]可轉化為不同參考溫度點下彈性墊層動參數(shù)隨加載頻率變化的頻變曲線，并對比K-V 模型與FVMP 模型的試驗結果，如圖4和圖5所示。結合式（3）～（5），利用最小二乘法及遺傳算法對FVMP 模型參數(shù)進行識別[9]。表1所示為40，20和-40 ℃這3 個參考溫度下的頻變曲線及預測結果，由此可確定高階分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型的參數(shù)。

表1 彈性墊層FVMP模型參數(shù)Table 1 FVMP model parameters of elastic layer

由圖4與圖5可知：對于彈性墊層儲能模量，在K-V 模型下顯示其為不隨溫度和加載頻率變化的常數(shù)，與試驗值相比顯然存在較大的偏差，而FVMP模型則能很好地對彈性墊層儲能模量進行擬合；對于彈性墊層損耗因子，在K-V 模型下顯示其隨頻率呈線性變化，但各溫度下其試驗值隨頻率并非呈嚴格的線性變化，而FVMP 模型對于各參考溫度下?lián)p耗因子隨頻率的變化則可以較好地擬合。由此可知，彈性墊層的動參數(shù)與溫度和加載頻率有明顯的相關性，相比于加載頻率，溫度對彈性墊層動參數(shù)的影響更為顯著，但在大多數(shù)的車輛-軌道耦合模型仿真計算中，常將彈性墊層動參數(shù)看作不隨溫度和加載頻率變化的常數(shù)，這顯然是不合理的，并且相對于低階分數(shù)階導數(shù)模型，高階分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型在高頻條件下計算的動參數(shù)與試驗數(shù)據(jù)吻合度更高，這是由于本模型具有3個分數(shù)階導數(shù)階數(shù)，能夠精確描述彈性墊層動參數(shù)的頻變特性。

圖4 扣件膠墊FVMP模型、K-V模型預測值與試驗值對比Fig.4 Comparisons of FVMP model,K-V model prediction value and test value of rail pad

圖5 減振墊層FVMP模型、K-V模型預測值與試驗值對比Fig.5 Comparisons of FVMP model,K-V model prediction value and test value of damping layer

3 車輛-軌道垂向耦合振動響應計算分析

采用我國CRH380 型高速客車與減振型CRTSⅢ型板式無砟軌道結構，首先建立車輛-軌道垂向耦合動力學模型，如圖6所示，其中鋼軌與軌道板以及自密實混凝土和底座板之間的聯(lián)結都選用高階分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型，然后，將彈性墊層高階分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型應用于所建立的垂向耦合模型中，從而對后續(xù)彈性墊層溫頻變特性對軌道結構振動響應影響進行計算和分析。

3.1 車輛模型

車輛系統(tǒng)采用半車車輛模型，此模型考慮的車體運動狀態(tài)有車體的沉浮自由度Zc及其點頭自由度θc，2個轉向架的沉浮自由度Zt1和Zt2及其點頭自由度θt1和θt2，還有4個車輪的垂向位移Zw1，Zw2，Zw3和Zw4，共10 個自由度。車輛系統(tǒng)振動微分方程為

式中：Mu，Cu和Ku分別為車輛系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度矩陣；Z為車輛系統(tǒng)的位移矢量；Pu為輪軌作用力。

3.2 軌道模型

軌道子模型采用減振型CRTSⅢ型板式無砟軌道模型，如圖6所示。鋼軌采用離散點支撐歐拉梁模型，為了進行數(shù)值分析，采取Ritz法將振動微分方程轉化為二階常微分方程，下式即為鋼軌振型坐標二階常微分方程組的基本形式[17]：

圖6 車輛-軌道垂向耦合模型Fig.6 Model of vertical vehicle-track coupled

式中：qk（t）為鋼軌在t時刻k階模態(tài)空間下的位移；E和I分別為鋼軌彈性模量和截面慣性矩；mr為鋼軌單位長度質量；Frsi（t）為第i個扣件支點反力；NM為鋼軌所截取的模態(tài)數(shù)；Pj為第j位輪對的輪軌作用力；xwj和xi分別為第j位輪對和第i個扣件沿線路的縱向坐標；Zk（xi）為鋼軌垂向振型坐標函數(shù)；l為鋼軌計算長度；NN為鋼軌計算長度內(nèi)扣件個數(shù)。

軌道板與自密實混凝土考慮為同一參數(shù)的模型，模型采用自由歐拉梁模型由減振墊層支撐?；A采用路基形式。同樣采用Ritz法將其變換成二階常微分方程，最終可以得到軌道板的垂向振動微分方程為[17]

式中：ms為軌道板質量；Tn·g(t)為第g塊軌道板在t時刻k階模態(tài)空間下的位移；βn為自由梁正交函數(shù)系內(nèi)的常數(shù)；Fd（t）為減振墊層支反力；EsIs表示軌道板的抗彎剛度；Xsn（x）為自由梁正交函數(shù)系；xi∈[（g-1）L，gLs]；n0為單塊軌道板上的扣件支點個數(shù)；S為軌道板所選取的廣義坐標個數(shù)；Lb為底座板長度；Ls為軌道板長度，軌道板可以分Lb/Ls段。

3.3 高階分數(shù)階導數(shù)FVMP模型的應用

在傳統(tǒng)的車輛-軌道垂向耦合模型中（圖6），彈性墊層常使用線性K-V 模型，該傳統(tǒng)模型下的扣件支反力與減振墊層支反力分別為：

式中：Zr（xi,t）與Zs（x,t）分別為第i個扣件對應的鋼軌和軌道板位移；K與C分別為扣件膠墊的剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)；Ks和Cs分別為軌道板下減振墊層沿長度方向的分布剛度和分布阻尼。

式（1）為本文高階分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型的時域本構表達式，對式（1）進行數(shù)值求解，采用Grunwald-Letnikov 定義[18]，分別對按照分數(shù)導數(shù)定義展開。展開后將其代入式（1），進行移項、合并同類項化簡，即可得到本文所使用的高階分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型所對應的扣件支反力和減振墊層支反力的表達式：

式中：I（t）為t時刻扣件膠墊的位移；N為t時刻之前的積分步數(shù)；Aj+1，Bj+1，Cj+1和Dj+1為扣件膠墊FVMP 模型的Grünwald 系數(shù)。M1，M2，M3，M4，M5和M6分別為：

減振墊層支反力Fd(t)為

式中：U（t）為t時刻減振墊層的位移；Ej+1，F(xiàn)j+1，Gj+1和Hj+1為減振墊層FVMP模型的Grünwald系數(shù)；K1，K2，K3，K4，K5和K6表達式與扣件支反力表達式相同。

式（11）和式（12）中代表扣件膠墊位移的I（t）與代表減振墊層位移的U（t）可分別替換為代表鋼軌位移量的Zr（xi,t）和代表軌道板位移量的Zs（x,t）。將式（11）與式（12）分別代入式（7）和式（8）可得到扣件膠墊和減振墊層使用FVMP 模型的鋼軌與軌道板振型坐標二階常微分方程組的表達式：

進行同樣的替換,可得到減振墊層使用FVMP模型的軌道板振型坐標二階常微分方程組的表達式如下：

3.4 數(shù)值積分方法

車輛系統(tǒng)與軌道系統(tǒng)的相互耦合應用Hertz 非線性彈性接觸理論來確定輪軌之間的垂向作用力。由此可得到彈性墊層應用高階分數(shù)階導數(shù)FVMP模型的車輛-軌道垂向耦合模型。各個子系統(tǒng)的振動方程矩陣形式如下：

式中：M，C和K分別為車輛-板式無砟軌道耦合系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；X，˙，和P分別為車輛-軌道垂向耦合模型的廣義位移矢量、廣義速度矢量、廣義加速度矢量和廣義力矢量。

對于求解該大型非線性運動微分方程組，本文采用新型顯示積分法求解[17]。

式中：ψ和φ為積分常數(shù)，當ψ=φ=1/2 時，顯式積分法具有較強的穩(wěn)定性和較高的精度；Δt為積分時間步長，本文取1×10-4s；下標n-1，n和n+1分別為第n-1，n和n+1個子步；初始條件設為X0=V0=A0=0。

在時域分析中，式（11）與式（12）考慮了分數(shù)階算子的非局部空間特性，即在計算每一個積分時刻由高分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型提供的部分扣件支反力和減振墊層支反力時，均需要考慮過去所有時刻彈性墊板的位移。Grünwald 系數(shù)是嚴格遞減的，最后趨于零，這表明位移響應歷史對當前時刻分數(shù)階算子的影響隨積分步數(shù)增大而減小。因此，在計算分數(shù)階算子時只需要離當前時刻較近的位移。SPANOS等[19]指出，在計算分數(shù)導數(shù)算子時，只需要考慮當前時間步之前160步即可得到滿意的結果，本文N取160。

3.5 軌道結構振動響應計算分析流程圖

綜上所述，為了更清晰地表達軌道結構振動響應的計算分析過程，設計軌道結構振動響應的計算分析流程，如圖7所示。

圖7 軌道結構振動響應計算分析流程圖Fig.7 Flow chart of vibration response analysis and calculation of track structure

4 彈性墊層溫頻變特性對軌道結構振動響應的分析

4.1 計算參數(shù)

車輛及軌道結構計算參數(shù)分別如表2和表3所示，其中彈性墊層選擇在溫度為20 ℃、加載頻率為4 Hz 下的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)作為K-V 模型的動參數(shù)，彈性墊層溫頻變參數(shù)如表1所示。

表2 CRH380高速客車的參數(shù)Table 2 Parameters of CRH380 vehicle

表3 減振型CRTSⅢ型板式無砟軌道參數(shù)Table 3 Parameters of vibration reducing CRTSⅢslab ballastless track

4.2 彈性墊層溫頻變特性對軌道結構振動響應的分析

以我國高速鐵路無砟軌道不平順譜作為輪軌系統(tǒng)輸入激勵[20]，行車速度設為350 km/h。為了研究彈性墊層溫頻變特性對軌道結構振動響應的影響，本文進行了4 種工況的設計，見表4，其中工況1的彈性墊層為K-V模型，即不考慮彈性墊層溫變和頻變特性的線性模型，將工況1與工況3進行對比是為了分析彈性墊層頻變特性對軌道結構振動響應的影響，將工況2、工況3 與工況4 進行對比則是在工況3考慮彈性墊層頻變特性的基礎上分析彈性墊層在各參考溫度點下溫變特性對軌道結構振動響應的影響。

表4 彈性墊層4種工況Table 4 Four working conditions of elastic layer

時域響應中4種工況的對比如圖8所示。由圖8可知：在時域響應中，F(xiàn)VMP模型在20 ℃下的輪軌力、鋼軌垂向位移、鋼軌垂向振動加速度和軌道板垂向振動加速度的響應相比于K-V 模型20 ℃時的響應都呈現(xiàn)增加的趨勢，其各峰值分別相差8.32%，16.11%，35.65%和131.06%，可見分數(shù)導數(shù)黏彈性效應能明顯增大輪軌間相互作用以及軌道結構的振動響應；在各參考溫度下，F(xiàn)VMP模型輪軌力的響應呈現(xiàn)出隨溫度降低而增大的趨勢，相比于40 ℃的響應，20 ℃和-40 ℃時的響應分別增大0.3%與3.5%；FVMP 模型在各參考溫度下鋼軌垂向位移的響應呈現(xiàn)出隨溫度降低而減小的趨勢，相比于40 ℃的響應，20 ℃和-40 ℃時的響應分別減小5.92%與37.16%，究其原因在于彈性墊層的剛度隨溫度降低而增大，從而導致低溫下的位移響應較?。讳撥壓蛙壍腊宕瓜蛘駝蛹铀俣鹊捻憫汲尸F(xiàn)出FVMP 模型在40 ℃和-40 ℃時的響應比20 ℃時的響應大的規(guī)律，對于鋼軌垂向振動加速度，40 ℃和-40℃時的響應比20 ℃時的響應分別增大1.06%與3.82%；軌道板垂向振動加速度分別增大4.8%與54.02%。

圖8 輪軌力、鋼軌和軌道板溫頻變時域響應對比圖Fig.8 Comparison diagrams of time domain response of wheel-rail force,rail and slab track with temperature-and frequency-dependent

頻域響應中4 種工況的對比見圖9。由圖9可知：對于垂向輪軌力，在低頻1～40 Hz 內(nèi)，F(xiàn)VMP模型在20 ℃時的頻域響應與K-V模型20 ℃時的頻域響應基本一致，但由于彈性墊層非線性動力學模型中的非線性與分數(shù)導數(shù)黏彈性效應，在40～100 Hz以及500 Hz之后，F(xiàn)VMP模型在20 ℃時的響應比K-V 模型20 ℃時的響應大，而在100～500 Hz的頻段內(nèi)則相反；FVMP 模型各參考溫度在低頻1～40 Hz 內(nèi)基本一致，在40～350 Hz 內(nèi)，F(xiàn)VMP 模型-40 ℃時的響應比40 ℃和20 ℃時的響應大，在500 Hz 以后則表現(xiàn)為40 ℃和20 ℃時的響應比-40 ℃時的響應大。

圖9 輪軌力、鋼軌和軌道板溫頻變頻域響應對比圖Fig.9 Comparison diagrams of frequency domain response of wheel-rail force,rail and slab track with temperature-and frequency-dependent

鋼軌垂向位移頻域響應在低頻（1～170 Hz）段FVMP模型在20 ℃時的頻域響應與K-V模型20 ℃時的頻域響應差別較小，而在170 Hz 以后的頻段內(nèi)則表現(xiàn)為FVMP 模型20 ℃時的響應明顯比K-V模型20 ℃時的響應大，如在1 000 Hz 時頻域響應增大了23.58 dB；FVMP 模型各參考溫度在1～170 Hz 內(nèi)的響應差別較小，而在170 Hz 之后的響應表現(xiàn)為隨溫度降低而減小的趨勢，在高頻段內(nèi)尤為明顯，如在1 000 Hz時，F(xiàn)VMP模型在40，20和-40 ℃時的頻域響應分別為53.96，49.16 和42.14 dB。

在全頻段內(nèi)，F(xiàn)VMP 模型在20 ℃時的頻域響應比K-V 模型在20 ℃時的頻域響應大，其中在250 Hz 后尤為明顯，如在800 Hz 時增大了64.08 dB；FVMP模型各參考溫度在1～250 Hz的頻域響應差別較小，在250～500 Hz 以及1 000 Hz 之后的響應表現(xiàn)為隨溫度降低而減小的趨勢，如在1 250 Hz時，F(xiàn)VMP模型在40，20和-40 ℃時的頻域響應分別為86.25，84.98和63.37 dB。

軌道板垂向振動加速度頻域響應變化與鋼軌加速度的變化類似，在全頻段內(nèi)，F(xiàn)VMP 模型在20 ℃時的頻域響應比K-V模型20 ℃時的頻域響應大，其中在230 Hz 之后尤為明顯，如在400 Hz 時增大了31.93 dB；FVMP 模型各參考溫度在40～230 Hz 內(nèi)表現(xiàn)為-40 ℃時的頻域響應比40 ℃和20 ℃時的響應大；在1～40 Hz 以及315 Hz 之后的頻域響應表現(xiàn)為隨溫度降低而減小的趨勢，在中高頻段內(nèi)更為明顯，如在500 Hz 時，F(xiàn)VMP 模型在40，20 和-40 ℃時的頻域響應分別為81.94，78.65和61.84 dB。

以上對鋼軌垂向位移、鋼軌垂向振動加速度和軌道板垂向振動加速度頻域響應分析中，在中高頻段內(nèi)基本上都表現(xiàn)為FVMP 模型在20 ℃時的響應比K-V 模型在20 ℃時的響應大，這是由于K-V 模型20 ℃工況下在高頻段內(nèi)過高估計了彈性墊層的阻尼，使其計算得到的振動響應比FVMP模型計算的結果?。欢鳩VMP模型在3個參考溫度點下振動響應基本表現(xiàn)為隨參考溫度降低而減小，這是由于彈性墊層的阻尼隨溫度降低而增大，從而導致低溫下軌道結構的振動響應較小。根據(jù)以上各個軌道結構振動響應的分析，并考慮彈性墊層溫頻變特性相比于不考慮時有很大的差異，為提高對軌道結構預測的準確性，在進行仿真分析時，有必要考慮彈性墊層的溫頻變特性。

5 結論

1）彈性墊層的動參數(shù)對加載頻率和溫度有明顯的依賴性，而高階分數(shù)階導數(shù)FVMP 模型能在較寬的頻段內(nèi)準確地描述彈性墊層的這種力學行為。

2）考慮彈性墊層的溫頻變特性對軌道結構垂向振動響應有較大的影響，在時域響應中，輪軌力、鋼軌位移、鋼軌和軌道板的加速度在FVMP模型下計算的峰值明顯比K-V 模型下的峰值大；FVMP模型在各參考溫度點下鋼軌垂向位移的響應呈現(xiàn)出隨溫度降低而減小的趨勢，而輪軌力則呈現(xiàn)出隨溫度降低而增大的趨勢。

3）彈性墊層的溫頻變特性對軌道結構振動響應的影響集中于中高頻段內(nèi)，該頻段內(nèi)軌道結構各部分都表現(xiàn)為FVMP 模型下的響應比K-V 模型下的響應大；FVMP模型在該頻段內(nèi)的軌道結構各部分的頻域響應呈現(xiàn)出隨溫度降低而減小的趨勢。

4）若忽略彈性墊層的溫頻變特性，則會對軌道結構振動響應的預測產(chǎn)生很大的偏差，因此，在進行仿真分析時，為提高對軌道結構預測的準確性，有必要考慮彈性墊層的溫頻變特性。