王東亮，郝兵元，梁曉敏

（太原理工大學礦業(yè)工程學院，山西太原，030024）

注漿是巷道圍巖加固和地下工程堵水的常用技術(shù)手段[1]。隨注漿技術(shù)的發(fā)展，漿液材料的來源也越來越廣泛，其中水泥材料應用極為普遍[2]。在進行裂隙注漿時，漿液在裂隙內(nèi)的擴散規(guī)律（特別是壓力場的變化情況）是注漿效果的重要影響因素。

目前，在水泥漿液的流型與擴散規(guī)律方面，阮文軍等[3-4]通過實驗研究分析了漿液的流變性和可注性，并通過理論分析與計算機編程建立了賓漢姆流體在裂隙內(nèi)的擴散模型。在研究裂隙注漿時，劉人太等[5-6]探究了C-S 漿液和GT-1 漿液在裂隙中流動的漿液擴散形態(tài)及注漿壓力場變化規(guī)律，但并未說明這2 種漿液的流型；魏久傳等[7]根據(jù)步進式算法，分別探究了C-S漿液在恒速下及硅溶膠漿液在恒壓下的擴散規(guī)律，但2種漿液的控制條件不同，難以進行對比。周子龍等[8]將漿液視為冪律流體，推導出了漿液壓降及漿液擴散的表達式；BAKER等[9-11]將漿液視為牛頓流體，建立了裂隙注漿的漿液擴散模型；劉濱等[12-13]將漿液視為牛頓流體，分析了漿液黏度、裂隙開度等對漿液擴散距離及漿液壓力場的影響；李術(shù)才等[14]將漿液視為賓漢流體，建立了基于漿-巖耦合效應的漿液擴散方程；楊志全等[15-16]根據(jù)賓漢姆流體的本構(gòu)方程，推導出了球及柱型漿液擴散方程，并通過物理實驗對方程進行了驗證。

以上研究均將漿液看作固定流型的流體，實際中注漿漿液由于水灰比等參數(shù)的不同，會有不同的流型。在推導漿液擴散方程時，以往研究多是根據(jù)N-S 方程，將注漿口壓力看作常數(shù)進行推導，實際上，N-S方程中包含速度和壓力，而注漿時可采用恒速注漿或恒壓注漿，當采用恒速注漿時，注漿口壓力時刻變化，因此，將漿液壓力作為研究對象時，其表達式中存在注漿口壓力這個變量，且研究中在驗證擴散方程時，實驗條件難以與理論條件保持完全一致，這使理論方程的驗證存在較大困難。

為解決以上問題，本文作者將水泥漿液視為牛頓流體、賓漢姆流體和冪律流體3種流型，根據(jù)不同流體的本構(gòu)方程及運動方程，基于一些假設(shè)，推導出3種流體的擴散方程，用漿液壓力損失作為分析漿液擴散情況的標準，避免因表達式中存在注漿口壓力等變量造成的漿液壓力求解的不便，并通過數(shù)值模擬對漿液擴散方程進行對比驗證，分析裂隙注漿過程中漿液壓力場的變化規(guī)律。

1 理論模型

1.1 基本假設(shè)

1）漿液視為各向同性且不可壓縮的均質(zhì)流體，且不考慮注漿過程中漿液流型的變化。

2）漿液在裂隙中的流動為層流，且符合連續(xù)方程。

3）不考慮重力及靜水壓力的影響。

4）裂隙為單一水平裂隙，且符合無滑移邊界條件。

5）不考慮流固耦合作用，即忽略注漿過程中裂隙的變形。

1.2 漿液擴散計算模型

根據(jù)基本假設(shè)4），假定裂隙為單一水平裂隙，即裂隙面是平行的且與水平方向夾角為0°。根據(jù)基本假設(shè)1），漿液是各向同性的，因此，為方便計算，可對漿液沿水平方向x軸的流動進行研究[17]，計算模型如圖1所示。

圖1 漿液擴散計算模型Fig.1 Calculation model of grout diffusion

1.3 漿液流型

1.3.1 流型分類

在研究漿液的流型時，大多數(shù)學者根據(jù)流體的流變曲線與本構(gòu)方程對漿液流型進行分類[18-19]。孫小康[20]認為，普硅425 水泥漿在其水灰比W/C≥0.7 時為賓漢姆流體，當水灰比W/C≤0.6 時為冪律流體。劉人太[21]認為，水泥漿液在其水灰比較大時可視為牛頓流體，黏土水泥漿液與較大黏度的化學漿液可視為賓漢姆流體。張凱文[22]根據(jù)注漿漿液的流變曲線對漿液進行流型分類，如圖2所示。

圖2 漿液流體的流變曲線Fig.2 Curves of grout fluid rheological

阮文軍[4]對各種常用的注漿漿液進行研究，并對漿液流型進行了分類，根據(jù)水灰比的不同，水泥漿液可分成3類流型：冪律流體（0.5≤W/C≤0.7）、賓漢姆流體（0.8≤W/C≤1.0）和牛頓流體（W/C≥2）。

本文主要研究水泥漿液在裂隙中的擴散，因此根據(jù)阮文軍[4]的研究，著重分析牛頓流體、賓漢姆流體和冪律流體這3種流體的擴散規(guī)律。

1.3.2 本構(gòu)方程

牛頓流體的本構(gòu)方程為

式中：τ為流體剪切應力；μ為流體黏度；γ為剪切速率。

賓漢姆流體的本構(gòu)方程為

式中：τ0為屈服應力。

冪律流體的本構(gòu)方程為

式中：K為稠度系數(shù)；n為流變系數(shù)。

2 裂隙注漿漿液擴散方程

2.1 牛頓流體擴散方程

參照單裂隙立方定律[23-25]的推導方法，現(xiàn)推導牛頓流體的擴散方程。

忽略漿液的壓縮性，漿液在單一裂隙內(nèi)的流動滿足N-S方程[26]：

式中：ρ為漿液流體的密度；u為流體流速矢量；t為流動時間；?為散度算子；P為漿液壓力；I為流體單位張量；F為單位體積流體所受的外力。

當牛頓流體進行穩(wěn)定層流時[20]，式（4）可改寫為：

式中：u，v和w分別為流體流速沿x，y和z方向的分量；gx，gy和gz分別為體積力沿x，y和z方向的分量。

由于流體在裂隙中的流動為穩(wěn)定層流，且本文取x軸方向為流體流動方向，因此流體僅有x軸方向的速度分量，即v=w=0。由基本假設(shè)2）可知，流體流動滿足連續(xù)方程：

對式（7）進行重積分得

式中：C1和C2為常數(shù)。

由基本假設(shè)4）可知，裂隙邊界為無滑移邊界，即在裂隙表面處流體流速為0，因此，當y=-b/2時，u=0；當y=b/2時，u=0，代入式（8）得

則在裂隙內(nèi)流體流動的單位流量為

式中：q為流體的單位流量；x為流體在t時刻的擴散半徑。

式（12）即為單裂隙立方定律[23-25]的變形形式。

整理式（12）得

將式（13）進行積分得

式中：C3為常數(shù)。

由于在x=rc處，P=Pc，將此初始條件代入式（14）可得

式中：Pc為注漿孔口處的注漿壓力；rc為注漿孔半徑。

由于漿液壓力在流動過程中會有損失，根據(jù)式（15）可以得到漿液壓力損失的表達式：

式中：ΔP為漿液在流動過程中的漿液壓力損失。

式（16）即為牛頓流體的漿液擴散方程。

2.2 賓漢姆流體擴散方程

參照上述牛頓流體擴散方程的推導方法，結(jié)合賓漢姆流體的本構(gòu)方程，現(xiàn)推導賓漢姆流體的擴散方程。

根據(jù)張凱文[22]的研究，漿液在裂隙內(nèi)的擴散滿足質(zhì)量守恒定律，由圖1可得

式中：dL為流體微元段沿x方向的長度；為流體微元沿x方向的壓力變化量。

根據(jù)式（17）可知，剪切應力τ應滿足：

賓漢姆流體在裂隙內(nèi)流動時，其內(nèi)部存在一個剪切應力為0的區(qū)域，在這個區(qū)域中，流體顆粒間無相對位移，此區(qū)域成為賓漢姆流體的流核[27]。假設(shè)流核高度為h0，則流體剪切應力τ的分布為

圖3 賓漢姆流體剪切應力分布圖Fig.3 Shear stress distribution of Bingham fluid

在流核外，有

整理式（20）得

對式（21）進行積分得

式中：C4為常數(shù)。

由式（4）可知，裂隙邊界為無滑移邊界，將邊界條件y=b/2，v=0代入式（22），得流核外的速度v1表達式為

在流核內(nèi)，流體速度為定值，與y無關(guān)，則裂隙內(nèi)流體的流速分布為

由于速度的對稱性，流體在裂隙內(nèi)的流速沿中心線上下對稱，則裂隙內(nèi)流體的平均流速為：

將τ0=代入式（26）得

由于賓漢姆流體的流核區(qū)域很小[27]，即h0遠小于b，所以式（27）中h30/6b趨近于0，因此式（27）可簡化為

則在裂隙內(nèi)流體流動的單位流量為

將τ0=代入式（29）得

對式（30）積分得

式中：C5為常數(shù)。

由于在x=rc處，P=Pc，將此初始條件代入式（31）可得漿液壓力的表達式：

則漿液壓力損失的表達式為

由于圖1中剪切應力方向與圖3中相反，屈服剪切應力為負值，因此，式（33）可改寫為

式（34）即為賓漢姆流體的漿液擴散方程。

2.3 冪律流體擴散方程

根據(jù)王東亮等[28]的研究，當裂隙開度為b時，冪律流體在裂隙內(nèi)擴散時的漿液壓力表達式為

則漿液壓力損失的表達式為

式（36）即為冪律流體的漿液擴散方程。

3 裂隙注漿數(shù)值模擬

3.1 牛頓流體擴散數(shù)值模擬

3.1.1 模型建立

由式（16）可知，牛頓流體漿液壓力損失與流量q、黏度μ呈正比，與裂隙開度b的立方呈反比，基于單一變量原則，建立如表1所示的工況對漿液擴散規(guī)律進行數(shù)值模擬研究。

表1 牛頓流體工況設(shè)計表Table 1 Working condition design table of Newtonian fluid

利用數(shù)值模擬軟件COMSOL Multiphysics的層流模塊，建立單一水平裂隙模型。模型長×寬×高為20 m×20 m×20 m，裂隙寬度依照工況進行設(shè)計，注漿孔的半徑為2.5 cm，漿液密度設(shè)定為1 600 kg/m3。在層流入口設(shè)置漿液流量，在層流物理場流體屬性中設(shè)置黏度，根據(jù)工況設(shè)計其他參數(shù)。根據(jù)基本假設(shè)4），裂隙表面的邊界條件為無滑移。其他邊界條件如下：模型上下邊界為固定約束，注漿孔口為定流速。

3.1.2 裂隙開度對漿液擴散的影響

選取工況1～3進行研究，模型參數(shù)根據(jù)工況設(shè)計，分析漿液壓力與裂隙開度的關(guān)系。圖4所示為漿液壓力在不同時間、不同裂隙開度下的分布情況，將理論計算值與模擬結(jié)果進行對比，可得注漿2 min 時漿液壓力損失與擴散半徑的關(guān)系如圖5所示。由圖4和圖5可知：

圖4 不同時間不同裂隙開度下漿液壓力分布Fig.4 Slurry pressure distributions with different crack openings at different time

圖5 不同裂隙開度下漿液壓力損失與擴散半徑關(guān)系Fig.5 Relationship between slurry pressure loss and diffusion radius at different crack openings

1）在相同時刻，漿液壓力在注漿孔口處最大，隨擴散半徑增大而逐漸減??；壓力等值線在注漿孔附近最密集，隨擴散半徑增大而逐漸變得稀疏，說明漿液壓力在孔口處衰減最嚴重，其原因可能是漿液從注漿孔流入到裂隙中，可流動空間突然增大，導致漿液壓力瞬間釋放。

2）在同一位置處，漿液壓力隨時間延長而增大，且漿液壓力是關(guān)于注漿孔對稱分布的。

3）在相同時刻，當裂隙開度增加時，漿液擴散半徑減??；在漿液擴散范圍內(nèi)的相同位置處，當裂隙開度增加時，漿液壓力減小。

4）漿液壓力損失與擴散半徑呈正相關(guān)，隨擴散距離增加而增大，且在同一位置處，壓力損失與裂隙開度負相關(guān)，隨裂隙開度增大而減小，這與式（16）表達的變化關(guān)系一致。

5）模擬中漿液壓力損失隨擴散距離的變化趨勢與計算結(jié)果基本一致。在同一位置處，壓力損失計算值比模擬值略小，且在注漿孔口處兩者差值較小，隨擴散距離增大而逐漸增大，但差值都在可接受范圍內(nèi)，可能是因為理論計算中未考慮裂隙表面的摩擦性，即未考慮裂隙壁對漿液流動的阻力造成的壓力損失；且計算中未考慮漿液流動的慣性，即認為漿液完全是在漿液壓力的驅(qū)動下流動。

3.1.3 漿液流速對漿液擴散的影響

選取工況4，2 和5 進行研究，分析漿液壓力與漿液流速的關(guān)系。圖6所示為漿液壓力在不同時間不同漿液流速下的分布情況，2 min時漿液壓力損失與擴散半徑的關(guān)系如圖7所示。由圖6和圖7可知：

圖6 不同時間不同漿液流速下漿液壓力分布Fig.6 Slurry pressure distributions with different slurry flow rates at different time

1）在相同時刻，漿液壓力在注漿孔口處最大，隨擴散半徑增大而逐漸減??；壓力等值線在注漿孔附近最密集，隨擴散半徑增大而逐漸變得稀疏，說明漿液壓力在孔口處衰減最嚴重，其原因可能是漿液從注漿孔流入到裂隙中，可流動空間突然增大，導致漿液壓力瞬間釋放。

2）在同一位置處，漿液壓力隨時間延長而增大，且漿液壓力是關(guān)于注漿孔對稱分布的。

3）在相同時刻，當漿液流速增加時，漿液擴散半徑增大；在漿液擴散范圍內(nèi)的相同位置處，當漿液流速增加時，漿液壓力增大。

4）漿液壓力損失隨擴散距離增加而增大，且在同一位置處，壓力損失與漿液流速呈正相關(guān)，隨漿液流速增大而增大，這與式（16）表達的變化關(guān)系一致。

5）模擬中漿液壓力損失隨擴散距離的變化趨勢與計算結(jié)果基本一致。在同一位置處，壓力損失計算值比模擬值略小，且在注漿孔口處兩者差值較小，隨擴散距離增大而逐漸增大，但差值都在可接受范圍內(nèi)，可能是因為理論計算中未考慮裂隙表面的摩擦性，即未考慮裂隙壁對漿液流動的阻力造成的壓力損失；且計算中未考慮漿液流動的慣性，即認為漿液完全是在漿液壓力的驅(qū)動下流動。

3.1.4 漿液黏度對漿液擴散的影響

根據(jù)不同時間、不同注漿參數(shù)下漿液壓力分布圖，都可以得到相同的結(jié)論。選取工況6，2和7進行研究，漿液壓力損失與擴散半徑的關(guān)系如圖8所示。由圖8可知：

1）漿液壓力損失隨擴散距離增加而增大，且在同一位置處，壓力損失與漿液黏度呈正相關(guān)，隨漿液黏度增大而增大，這與式（16）表達的變化關(guān)系一致。

2）對比圖7和圖8，發(fā)現(xiàn)2 個圖中曲線基本一致。根據(jù)式（16）可知，壓力損失與漿液流速q和漿液黏度μ的乘積呈正比。工況2作為基本工況，工況4和工況5只改變了漿液流速，而工況6和工況7只改變了漿液黏度，但工況4 中q與工況2 中μ的乘積和工況6 中μ與工況2 中q的乘積相等，即q4μ2=μ6q2，同理，q5μ2=μ7q2，因此，圖7和圖8中曲線應基本一致，這與式（16）的表達式吻合。

圖7 不同漿液流速下漿液壓力損失與擴散半徑關(guān)系Fig.7 Relationships between slurry pressure loss and diffusion radius with different slurry velocities

圖8 不同漿液黏度下漿液壓力損失與擴散半徑關(guān)系Fig.8 Relationships between slurry pressure loss and diffusion radius with different slurry viscosities

3）模擬中漿液壓力損失隨擴散距離的變化趨勢與計算結(jié)果基本一致。在同一位置處，壓力損失計算值比模擬值略小，且在注漿孔口處兩者差值較小，隨擴散距離增大而逐漸增大，但差值都在可接受范圍內(nèi)，可能是因為理論計算中未考慮裂隙表面的摩擦性，即未考慮裂隙壁對漿液流動的阻力造成的壓力損失；且計算中未考慮漿液流動的慣性，即認為漿液完全是在漿液壓力的驅(qū)動下流動。

3.2 賓漢姆流體擴散數(shù)值模擬

3.2.1 工況設(shè)計

由式（16）和式（34）可知，賓漢姆流體的漿液壓力損失比牛頓流體多了一項關(guān)于屈服應力τ0的函數(shù)，因上述研究已分析過其他參數(shù)對漿液擴散的影響，因此這里只分析屈服應力對漿液擴散的影響。屈服應力在層流物理場流體屬性中設(shè)置，取值如下表2所示，其余參數(shù)的取值根據(jù)上述工況2設(shè)置。

表2 賓漢姆流體工況設(shè)計表Table 2 Working condition design table of Bingham fluid

3.2.2 結(jié)果分析

漿液壓力損失與擴散半徑的關(guān)系如圖9所示。由圖9可知：

圖9 不同屈服應力下漿液壓力損失與擴散半徑關(guān)系Fig.9 Relationships between slurry pressure loss and diffusion radius with different yield stresses

1）漿液壓力損失隨擴散距離增加而增大，且在同一位置處，壓力損失與屈服應力呈正相關(guān)，隨屈服應力增大而增大，這與式（34）表達的變化關(guān)系是一致的。

2）模擬中漿液壓力損失隨擴散距離的變化趨勢與計算結(jié)果基本一致。在同一位置處，壓力損失計算值比模擬值略小，且在注漿孔口處兩者差值較小，隨擴散距離增大而逐漸增大，但差值都在可接受范圍內(nèi)，可能是因為理論計算中未考慮裂隙表面的摩擦性，即未考慮裂隙壁對漿液流動的阻力造成的壓力損失；且計算中未考慮漿液流動的慣性，即認為漿液完全是在漿液壓力的驅(qū)動下流動。

3.3 冪律流體擴散數(shù)值模擬

3.3.1 工況設(shè)計

根據(jù)式（36），漿液壓力損失與流量q、稠度系數(shù)K呈正相關(guān)，與裂隙開度b呈負相關(guān)，因壓力損失為指數(shù)冪形式，流變系數(shù)n為指數(shù)，因此可判斷n對壓力損失的影響最大。為方便研究，取流變系數(shù)為自變量研究其對漿液擴散的影響。流變系數(shù)在層流物理場流體屬性中設(shè)置，取值如表3所示，取K=0.015 kg/（m·s），其余參數(shù)根據(jù)工況2設(shè)置。

表3 冪律流體工況設(shè)計表Table 3 Working condition design table of Power law fluid

3.3.2 結(jié)果分析

時漿液壓力損失與擴散半徑的關(guān)系如圖10所示。由圖10可知：

圖10 不同流變系數(shù)下漿液壓力損失與擴散半徑關(guān)系Fig.10 Relationships between slurry pressure loss and diffusion radius under different rheological coefficients

1）漿液壓力損失隨擴散距離增加而增大，且在同一位置處，壓力損失與漿液流變系數(shù)呈正相關(guān)，隨流變系數(shù)增加而增大，這與式（36）表達的變化關(guān)系一致。

2）當n從0.7增大到0.9時，漿液壓力損失變化不大；當n從0.9增大到1.1時，漿液壓力損失有較大的增長。分析原因可能是當n＞1時，漿液表現(xiàn)為剪切稀化，當剪切速度增大時，漿液黏性增大，漿液壓力減小，壓力損失增大。

3）模擬中漿液壓力損失隨擴散距離的變化趨勢與計算結(jié)果基本一致。在同一位置處，壓力損失計算值比模擬值略小，且在注漿孔口處兩者差值較小，隨擴散距離增大而逐漸增大，但差值都在可接受范圍內(nèi)，可能是因為理論計算中未考慮裂隙表面的摩擦性，即未考慮裂隙壁對漿液流動的阻力造成的壓力損失；且計算中未考慮漿液流動的慣性，即認為漿液完全是在漿液壓力的驅(qū)動下流動。

4 工程借鑒

根據(jù)以上研究，為減少實際裂隙注漿工程中漿液壓力的損失，增大漿液的擴散范圍，確保較好的注漿加固效果，提出以下建議：

1）當漿液水灰比較大（W/C≥0.8），且漿液流量、漿液黏度、漿液屈服應力越大、裂隙開度越小時，漿液壓力損失就越大，因此，在注漿時可適當?shù)販p小注漿速率，并通過添加外加劑等方式適當減小漿液黏度和漿液屈服應力。

2）當漿液水灰比較?。╓/C≤0.7），且漿液流量、漿液稠度系數(shù)、漿液流變系數(shù)越大，裂隙開度越小時，漿液壓力損失就越大，因此，在注漿時可適當?shù)販p小注漿速率，并通過添加外加劑等方式適當減小漿液稠度系數(shù)和漿液流變系數(shù)。

3）當裂隙開度較小時，應合理地控制以上參數(shù)。

5 結(jié)論

1）將水泥漿液分別視為牛頓流體、賓漢姆流體和冪律流體這3類流型的流體，并基于不同流體的本構(gòu)方程與運動方程，用漿液壓力損失作為分析漿液擴散情況的標準，推導出不同流型漿液的擴散方程。

2）牛頓流體漿液壓力損失與流量q、黏度μ呈正比，與裂隙開度b的立方呈反比；賓漢姆流體漿液壓力損失與流量q、黏度μ、屈服應力τ0呈正相關(guān)，與裂隙開度b呈負相關(guān)；冪律流體的漿液壓力損失與流量q、稠度系數(shù)K、流變系數(shù)n呈正相關(guān)，與裂隙開度b呈負相關(guān)。

3）運用數(shù)值模擬軟件，建立單一裂隙注漿模型，并通過定義不同流體，對不同流型漿液在裂隙中的擴散進行模擬研究?；趩我蛔兞吭瓌t，建立不同工況，分析漿液壓力與注漿參數(shù)的相關(guān)關(guān)系。

4）數(shù)值模擬和理論計算結(jié)果顯示壓力損失隨漿液擴散距離的變化趨勢基本一致。表明本文建立的漿液擴散方程和數(shù)值模擬模型能夠很好地表述不同流型漿液在裂隙中擴散時漿液壓力的分布及變化規(guī)律。

5）在實際注漿時，為減少漿液壓力的損失，增大漿液的擴散范圍，可適當減小注漿速率，并添加一定的外加劑，以便獲得較好的注漿加固效果。