于 洋
(江蘇省南京師范大學附屬中學 210003)
在解決高中數(shù)學圓錐曲線問題的過程中,學生經(jīng)常會遇到一類問題,將問題表征為數(shù)學代數(shù)結構式之后,利用韋達定理不能直接代入,從而導致學生無法解決此問題.本文以下面問題為例,總結了五種解決圓錐曲線非對稱問題的策略.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設P(0,1),A,B為橢圓的左、右頂點,過A作斜率為k1的直線交橢圓于點E,連接EP并延長交橢圓于點F,記直線BF的斜率為k2,若k1=3k2,求直線EF的方程.
又因為y1=kx1+1,y2=kx2+1,
所以(kx1+1)(x2-2)=3(kx2+1)(x1+2).
化簡,得2kx1x2+(2k+3)x1+(6k-1)x2+8=0.
①
此時,許多同學面對①式束手無策,因為由韋達定理得到x1+x2,x1x2無法直接代入①式.如果x1前面的系數(shù)和x2前面的系數(shù)相等,則能夠順利代入韋達定理,問題迎刃而解,所以我們把這類x1前面的系數(shù)和x2前面的系數(shù)不相等的情況稱之為圓錐曲線的“非對稱問題”.
角度1 借助求根公式,突破運算障礙.
所以直線EF的方程為y=x+1.
角度2 發(fā)掘對象關系,降低運算難度.
角度3 結合二級結論,構造對稱結構.
即6(kx1+1)(kx2+1)=-(x1-2)(x2-2).
化簡,得(6k2+1)x1x2+(6k-2)(x1+x2)+10=0.
角度4 利用曲線方程,突破思維定式.
②
因為E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2)在橢圓上,
③
所以直線EF的方程為y=x+1.
反思在解決直線與橢圓的位置關系中,我們往往借助直線方程進行消元,忽視了橢圓方程也可以起到消元的作用.通過化簡發(fā)現(xiàn)這種方法也實現(xiàn)了將非對稱結構轉化為對稱結構,從而能夠使用韋達定理快速求解,突破了學生固有的解題認知.
角度5 算思深度融合,做實解題過程.
在問題的解決過程中,我們要重視學生的思路,順勢而為,在學生的最近發(fā)展區(qū)幫助學生進一步思考與運算,破解圓錐曲線的非對稱問題.