李金泰 韓焱 曹洪 張俊康

【摘要】輔助角公式被廣泛運(yùn)用于工程力學(xué)計(jì)算，但其幾何意義卻鮮為人知.因此，本文采用幾何變換法推證輔助角公式，提供一種在幾何意義上的理解方法.同時(shí)，舉例說(shuō)明輔助角公式在工程實(shí)例中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】輔助角公式;幾何推證;工程實(shí)例

一、引言

輔助角公式是李善蘭先生提出的一種高等三角函數(shù)公式，使用代數(shù)式可表達(dá)為：

asin x+bcos x=a2+b2sin x+arctanba （a>0），

asin x+bcos x=a2+b2cos x-arctanab （b>0）.

雖然該公式已被寫(xiě)入課本，但其幾何意義卻鮮為人知.

本文提供一種輔助角公式的幾何推證方法和在幾何意義上的理解方法，以供廣大學(xué)者、同行們參考.同時(shí)，舉例說(shuō)明輔助角公式在工程實(shí)例中的應(yīng)用.

二、幾何推證及意義

（一）幾何推證

如圖1所示，有兩個(gè)相似的直角三角形△ABC，△DEF，其中A，D重合.

設(shè)∠CBA=∠FED=x，BC=a，EF=b.

則AC=BCsin x=asin x，

DE=EFcos x=bcos x.

先將△DEF以D點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將△DEF沿FD方向平移，使F點(diǎn)與B點(diǎn)重合，得到圖2.

將線段DE向右平移，使D點(diǎn)與A點(diǎn)重合，得到線段AG，再連接CE，EG，就得到新的三角形△CEG，如圖3所示.

易得∠CBE=90°，所以CE=a2+b2.

又DE=AG，所以CG=AC+AG=asin x+bcos x.

由于∠CEB=arctan BCEF=arctan ab，

∠BEG=π2-x.

所以CG=asin x+bcos x=CEsin ∠CEG=a2+b2·sin （∠CEB+∠BEG）

=a2+b2sin? arctanab+π2-x

=a2+b2sin? π2-arctanba+π2-x

=a2+b2sin? π-arctanba-x

=a2+b2sin? x+arctanba，

即asin x+bcos x=a2+b2sin? （x+arctanba）.

又本證明中，BC必然大于0，所以a>0.

即可證明輔助角公式成立.

對(duì)asin x+bcos x=a2+b2cos x-arctanab（b>0）的證明亦然.

（二）幾何意義

在此證明中，asin x+bcos x為一個(gè)斜邊長(zhǎng)為a的直角三角形ABC的∠ABC的對(duì)邊和另外一個(gè)斜邊長(zhǎng)為b的與三角形ABC相似的直角三角形的∠DEF的鄰邊長(zhǎng)度的和.該數(shù)值等于以a和b為直角邊長(zhǎng)的直角三角形的斜邊長(zhǎng)乘sin x+arctan ba，或者等于以a和b為直角邊長(zhǎng)的直角三角形的斜邊長(zhǎng)乘cos x-arctan ab.

在圖3中，△ABC和△DEF是兩個(gè)相似的直角三角形，其斜邊長(zhǎng)分別為a和b，∠ABC=∠DEF=x，則CG=AC+DE，EG=BD-AB，以CG和EG為直角邊，可得到

另一個(gè)直角三角形，該三角形的斜邊長(zhǎng)為a2+b2，進(jìn)

而可得代數(shù)表達(dá)式：（asin x+bcos x）2+（acos x-bsin x）2=a2+b2.

如圖4所示，以將BC和EF為直角邊的直角三角形斜邊的中點(diǎn)為圓心作圓，可以發(fā)現(xiàn)新直角三角形CEG的直角頂點(diǎn)一定位于圓上.

該幾何證明的特殊情況說(shuō)明：

若這兩個(gè)相似直角三角形，在一個(gè)銳角為x的前提下，一個(gè)三角形中該角的一個(gè)對(duì)邊和另外一個(gè)三角形中該角的鄰邊相等，則可得到asin x+bcos x=a2+b2（a，b>0），

即當(dāng)acos x=bsin x時(shí)，

asin x+bcos x=a2+b2（a，b>0）.

亦為tan x=ab時(shí)，asin x+bcos x=a2+b2（a，b>0）.

三、工程實(shí)例應(yīng)用

（一）實(shí)例

計(jì)算汽車吊吊裝時(shí)，在支腿最大反力計(jì)算部分會(huì)用到本輔助角公式.

當(dāng)汽車吊被用在工程結(jié)構(gòu)，如地下室頂板上拆卸塔式起重機(jī)時(shí)，需要考慮最不利的情況的結(jié)構(gòu)安全，即將支腿最大反力和結(jié)構(gòu)的安全承載力進(jìn)行比較.其最大反力計(jì)算如下.

汽車吊在工作時(shí)，其計(jì)算模型可簡(jiǎn)化為圖5、圖6.

計(jì)算模型中，F(xiàn)=吊重，G=汽車吊自重+吊重，M=F×L，L=汽車吊的起重臂工作幅度，A為左、右支腿間距，B為前、后支腿間距，汽車吊回轉(zhuǎn)中心位于4個(gè)支腿交叉連線的交點(diǎn)處.

各個(gè)支腿的反力分別為N1，N2，N3，N4，每個(gè)支腿的反力均由兩部分組成，一是G[]4，二是各支腿平衡彎矩M在x，y軸的兩個(gè)分量所產(chǎn)生的支反力.

當(dāng)起重臂位于圖5所示的位置時(shí)，起重臂與x軸的夾角為a，吊重F在x軸方向上的彎矩分量為M×cos? a，分別由支腿1，2產(chǎn)生的支反力平衡;在y軸方向上的彎矩分量為M×sin? a，分別由支腿2，3產(chǎn)生的支反力平衡.

又易知0≤a≤π，可得支腿2的支反力最大.

N2=G4+M×sin a2×A+M×cos a2×B，

故支腿最大反力即為N2取最大值的情況.

根據(jù)輔助角公式，asin x+bcos x=a2+b2·sin x+arctanba（a>0），

sinx+arctanba的最大值為1，則可得到

N2max=G4+M×sin a2×A+M×cos a2×B

=G4+M12×A2+12×B2.

這樣就得到了最大的支腿反力.

然而，在實(shí)際操作中，不少的工程師會(huì)對(duì)N2max的取值產(chǎn)生迷惑.

（二）錯(cuò)誤舉例

在實(shí)際運(yùn)用中容易出現(xiàn)“當(dāng)a=45°時(shí)，可得N2max”這種經(jīng)驗(yàn)取值.

錯(cuò)誤分析：實(shí)際上，只有當(dāng)左右支腿間距和前后支腿間距相等的時(shí)候，即A=B時(shí)，才會(huì)有a=45°時(shí)，N2取最大值.盡管多數(shù)汽車吊，左右支腿間距和前后支腿間距較為接近，但依舊很少有相等的情況，例如QY25K汽車吊，其前后支腿間距為5140 mm，而左右支腿間距為6000 mm.

盡管多數(shù)汽車吊左右支腿間距和前后支腿間距較為接近，這樣當(dāng)a=45°時(shí)，其支腿反力和最大支腿反力相近.但倘若，場(chǎng)地受限，汽車吊僅能半伸支腿而不能全伸支腿時(shí)，使用45°取值就會(huì)出現(xiàn)較大誤差.

四、總結(jié)

輔助角公式其幾何意義如下：

asin x+bcos x為一個(gè)斜邊長(zhǎng)為a的直角三角形的x度銳角的對(duì)邊和另外一個(gè)斜邊長(zhǎng)為b的與之相似的三角形的x度角的鄰邊長(zhǎng)度的和.該數(shù)值等于以a和b為直角邊長(zhǎng)的直角三角形的斜邊長(zhǎng)乘sin x+arctanba，或者等于以a和b為直角邊長(zhǎng)的直角三角形的斜邊長(zhǎng)乘cos x-arctanab.

輔助角公式在工程中的應(yīng)用眾多，汽車吊吊裝時(shí)最大支腿反力的計(jì)算便可使用該公式分析，然而部分工程師并未深刻理解該公式，從而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.

【參考文獻(xiàn)】

[1]盛登，胡小平.三角函數(shù)中輔助角公式的新證法及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（33）：44-46.