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        求非常規(guī)數(shù)列和的幾個技巧

        2021-11-19 23:15:40鄒彩華
        關(guān)鍵詞:倒序裂項(xiàng)公比

        鄒彩華

        一般情況下,我們常用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式來求等差數(shù)列的和,用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來求等比數(shù)列的和.當(dāng)遇到一些非常規(guī)的數(shù)列求和問題時,我們往往需要采用一些技巧.下面,筆者介紹三種求非常規(guī)數(shù)列的和的技巧,供大家參考.

        一、錯位相減

        錯位相減適用于求由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成的數(shù)列的和.在求和時,需把每一項(xiàng)都乘以等比數(shù)列的公比q,然后將和式向后錯開一位,把同次冪的項(xiàng)相減,使其構(gòu)成等比數(shù)列,以便根據(jù)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)求和公式求出數(shù)列的和.

        例1.

        解:

        數(shù)列是由一個等差數(shù)列{2n -1}和一個等比數(shù)列{3n}的乘積構(gòu)成的,可直接列出和式,然后在和式的左右同乘以公比3,再將兩式錯位相減,即可求得數(shù)列的和.

        二、倒序相加

        如果一個數(shù)列中,與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù) k ,那么就可用倒序相加來求這個數(shù)列的前n 項(xiàng)和.將數(shù)列的和轉(zhuǎn)化為 n 個常數(shù) k 的和,就能快速求得數(shù)列的和.

        例2.

        解:

        在運(yùn)用倒序相加求數(shù)列的和時,要注意仔細(xì)觀察數(shù)列,找出各項(xiàng)之間的規(guī)律,尤其要建立與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)之間的聯(lián)系.

        三、裂項(xiàng)相消

        裂項(xiàng)相消是指把每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)之差的形式, 再進(jìn)行求和.在運(yùn)用裂項(xiàng)相消的技巧求和時,要將數(shù)列中的每項(xiàng)分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的.該技巧常用于求各項(xiàng)為分式的數(shù)列的和.

        例3.

        解析:數(shù)列的各項(xiàng)為分式,且其通項(xiàng)可裂為兩項(xiàng)之差,可直接采用裂項(xiàng)相消的技巧來解題.

        解:

        在求非常規(guī)數(shù)列的和時,同學(xué)們要注意觀察數(shù)列的各項(xiàng),找出其中的規(guī)律,對通項(xiàng)公式進(jìn)行合理的拆分、變形,以便將復(fù)雜的數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的等比、等差數(shù)列問題,或易于求解的常數(shù)問題,這樣能化難為易,化繁為簡,使問題快速得解.

        (作者單位:江西省贛州市第三中學(xué))

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