安維寬 解天才 熊家昌

摘 要：行程問(wèn)題是小升初考試中的?？寄K。分析清楚題設(shè)情景（過(guò)程）再結(jié)合行程公式及所蘊(yùn)含的比例關(guān)系進(jìn)行求解是一種重要的行程問(wèn)題解題方法。文章以計(jì)劃有變類行程問(wèn)題，包括非同時(shí)出發(fā)行程問(wèn)題、速度變化行程問(wèn)題、有折返行程問(wèn)題等為例談一談行程問(wèn)題公式及比例思想在行程問(wèn)題求解中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：行程問(wèn)題;計(jì)劃有變;公式;突破口;情景分析

中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-624X（2021）37-0084-02

一、深刻理解公式，靈活解題

行程問(wèn)題的特點(diǎn)是題型多、難度較大、方法靈活，其是培養(yǎng)小學(xué)生情景和過(guò)程分析的好素材，練習(xí)該類型問(wèn)題有益于學(xué)生學(xué)科思維習(xí)慣的培養(yǎng)。行程問(wèn)題公式蘊(yùn)含比例思想，比例思想是求解行程問(wèn)題的利器。求解行程問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)公式的深刻理解和靈活應(yīng)用。對(duì)行程問(wèn)題，要注意從效果上分析，靈活運(yùn)用公式求解，否則會(huì)因拘于題述細(xì)節(jié)而造成求解過(guò)程煩瑣。

例1 （相遇一方提前出發(fā)的行程問(wèn)題）每天早上李剛定時(shí)離家上班，張大爺定時(shí)出門(mén)散步，他們每天都相向而行，且準(zhǔn)時(shí)在途中相遇。有一天，李剛因有事提早離家出門(mén)，所以他比平時(shí)早7分鐘與張大爺相遇。已知李剛每分鐘行70米，張大爺每分鐘行40米，那么這一天李剛比平時(shí)早出門(mén)（? ?）分鐘。

A.7? ? ? ? ? ? ?B.9? ? ? ? ? ? ?C.10? ? ? ? ? ? ?D.11

解析：在行程問(wèn)題中，本題是相遇路程不變，相遇時(shí)間（刻）提前7分鐘，相當(dāng)于兩人都提前了7分鐘出發(fā)。在單獨(dú)李剛一人提前的情況下，由李剛和張大爺速度之比為7：4，（7+4）×7=（7+0）×11，可知李剛需要比平時(shí)早出發(fā)11分鐘。本題求解需要準(zhǔn)確理解公式“速度之和乘相遇時(shí)間等于相遇路程”并利用其進(jìn)行求解。

例2（非同時(shí)出發(fā)的行程問(wèn)題）甲、乙兩人騎車(chē)分別從 A、B兩地相向而行，已知甲、乙兩人的速度比是2：3，甲比乙早出發(fā)15分鐘，且經(jīng)過(guò)1小時(shí)45分鐘遇見(jiàn)乙，此時(shí)，甲比乙少走了6千米，求A、B兩地之間的距離？

解析：非同時(shí)出發(fā)的行程問(wèn)題可結(jié)合相遇問(wèn)題公式對(duì)比同時(shí)出發(fā)情況來(lái)分析。據(jù)題意，設(shè)總路程為s， 甲、乙的速度分別為 2x千米/小時(shí)和 3x 千米/小時(shí)。若甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)則經(jīng)過(guò)1小時(shí)36分鐘（130+2×15/5）相遇，s=8x千米，此時(shí)甲比乙少走s/5（即8x/5）。實(shí)際情況是乙比假設(shè)情況少走3x/10千米（乙6分鐘走的路程），所以有s/5-2×3x/10=6， 則x=6，

s=48千米。

鞏固提升題：甲、乙兩車(chē)分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行60千米，乙車(chē)每小時(shí)行48千米。乙車(chē)先出發(fā)1小時(shí)后甲車(chē)出發(fā)，結(jié)果兩車(chē)在距中點(diǎn)6千米處相遇，求A、B兩地之間的路程。

提示：設(shè)A、B兩地之間的路程為s（求什么設(shè)什么）。若兩車(chē)同時(shí)出發(fā)則相遇點(diǎn)在5s/9處，因乙車(chē)先出發(fā)1小時(shí)，實(shí)際相遇點(diǎn)在5（s-48）/9處（對(duì)比同時(shí)出發(fā)情況分析）。根據(jù)題述條件無(wú)法判斷實(shí)際相遇點(diǎn)在（A、B兩地）中點(diǎn)（自然在s/2處）靠近A一側(cè)還是靠近B一側(cè)，所以得方程5（s-48）/9±6=s/2，解得s=588千米或s=372千米。

評(píng)析：本題是一道開(kāi)放性的非同時(shí)出發(fā)行程問(wèn)題。不失為一道鍛煉學(xué)生思維的好題。2021年2月，教育部發(fā)布通知指出，2021年高考要優(yōu)化情境設(shè)計(jì)，強(qiáng)化試題開(kāi)放性、靈活性，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用，引導(dǎo)減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象。這意味著，2021年高考各科的開(kāi)放性試題比例將增加，將更考驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力。高考經(jīng)過(guò)這一改革將更有利于考生的全面發(fā)展。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生全面提升其自身的素養(yǎng)。

例3 （假設(shè)速度改變的行程問(wèn)題）一戰(zhàn)斗機(jī)從甲機(jī)場(chǎng)勻速開(kāi)往乙機(jī)場(chǎng)，如果速度提高25%，可比原定時(shí)間提前12分鐘到達(dá);如果以原定速度飛行600千米后，再將速度提高1/3，可以提前5分鐘到達(dá)。那么甲、乙兩機(jī)場(chǎng)的距離是多少千米？（? ?）

A.750? ? ? ? ? ? ?B.800? ? ? ? ? ? ?C.900? ? ? ? ? ? ?D.1000

解析：由行程問(wèn)題公式“路程=速度×?xí)r間”可知，路程一定，速度和時(shí)間成反比例關(guān)系。據(jù)此，由“速度提高25%，可比原定時(shí)間提前12分鐘到達(dá)”可知，按原速度1小時(shí)可到達(dá)。同理若全程將速度提高1/3，則可以提前15分鐘到達(dá)。實(shí)際是提前了5分鐘到達(dá)，所以600米占全程的2/3（即只有1/3的路程提速1/3行駛），甲、乙兩機(jī)場(chǎng)的距離是900米。本題充分利用了“路程一定，速度和時(shí)間成反比例關(guān)系”（公式）來(lái)靈活求解。

例4（有折返的行程問(wèn)題） 甲、乙兩人同時(shí)以每小時(shí)4千米的速度從A地出發(fā)到B地辦事，行走2.5千米后，甲返回A地取文件，他以每小時(shí)6千米的速度趕往A地，取到文件后，仍以每小時(shí)6千米的速度回頭追趕乙，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)B地。已知甲取文件在辦公室耽誤了15分鐘，求A、B兩地距離。

解析：設(shè)甲的有效追擊時(shí)間為t，甲的追擊距離S=2×2.5+4×1/4=6千米。注意甲返回過(guò)程也可視為追擊過(guò)程的一部分，且甲取文件耽誤15分鐘期間乙走的路程也是甲追擊距離的一段。因此，由追擊公式有6=（6-4）×t甲，t甲=3小時(shí)，乙行走的時(shí)間t乙=（2.5/4+t甲+1/4）=15.5/4小時(shí)，則A、B兩地距離為15.5千米。本題考查的是對(duì)追問(wèn)題及追擊公式的深刻理解。

二、抓細(xì)節(jié)找突破口，進(jìn)行求解

在行程問(wèn)題中要么題述時(shí)刻（或各運(yùn)動(dòng)對(duì)象相關(guān)聯(lián)狀態(tài)）繁多，要么以多過(guò)程為背景，要么題目告知假設(shè)細(xì)節(jié)，要么題中相關(guān)數(shù)量關(guān)系隱蔽（必要時(shí)可借助行程圖使問(wèn)題明朗化）。解題時(shí)要善于咬文嚼字，尋找解題突破口（進(jìn)行綜合分析、比較，從局部、部分過(guò)程入手來(lái)尋找），注意相關(guān)參量間的關(guān)聯(lián)性，再結(jié)合行程問(wèn)題公式或比例關(guān)系進(jìn)行求解。行程問(wèn)題的求解過(guò)程經(jīng)常是掩卷深思求突破，茅塞頓開(kāi)現(xiàn)妙思。

例5? （速度改變的行程問(wèn)題）長(zhǎng)途汽車(chē)從A站出發(fā)，勻速行駛，1h后突然發(fā)生故障，車(chē)速降低了40%，到終點(diǎn)B站延誤達(dá)3h。若汽車(chē)多跑50km后才發(fā)生故障，堅(jiān)持行駛到B站能少延誤1h20min，那么A、B兩地相距（? ? ）千米。

A.412.5? ? ? ?B.125.5? ? ? ?C.146.5? ? ? D.152.5? ? ? ?E.137.5

解析：從“若汽車(chē)能多跑50km后才發(fā)生故障，堅(jiān)持行駛到B站能少延誤1h20min”可知，按新速度每行駛50km則較原來(lái)（速度）延誤1h20min，據(jù)此，由“到終點(diǎn)B站延誤達(dá)3h”可知該汽車(chē)按新速度跑了50×（3÷4/3）=112.5km，原來(lái)的速度為v=25km/h。所以A、B兩地相距137.5千米。從本題求解可見(jiàn)行程問(wèn)題的求解常需要進(jìn)行邏輯推導(dǎo)，其是鍛煉學(xué)生邏輯思維的好工具。

例6? （有折返的行程問(wèn)題）自行車(chē)隊(duì)出發(fā)90分鐘后，通信員騎摩托車(chē)去追他們，在距出發(fā)點(diǎn)18km的地方追上了自行車(chē)隊(duì)，然后通信員立即返回出發(fā)點(diǎn)，到后又返回去追自行車(chē)隊(duì)，再次追上時(shí)恰好距出發(fā)點(diǎn)27km，試求自行車(chē)和摩托車(chē)的速度。

解析：經(jīng)分析可知通信員返回出發(fā)點(diǎn)再次追上自行車(chē)隊(duì)這一過(guò)程經(jīng)過(guò)的路程是45km（18+27=45），同一時(shí)間段內(nèi)自行車(chē)隊(duì)經(jīng)過(guò)的路程為9km（27-18=9），因此通信員和自行車(chē)隊(duì)的速度比是5：1。因而，自行車(chē)隊(duì)前90分鐘所行路程為14.4km，自行車(chē)隊(duì)的速度為9.6km/h，通信員（摩托車(chē)）的速度為48km/h。本題求解需先厘清兩運(yùn)動(dòng)對(duì)象相關(guān)時(shí)刻的行程（即為本題解題突破口），再針對(duì)兩次追及過(guò)程運(yùn)用路程比例關(guān)系進(jìn)而求出速度。

說(shuō)明：本題也可研究通信員返回出發(fā)點(diǎn)后再次追及的過(guò)程。此過(guò)程追及距離為27km，則自行車(chē)隊(duì)先出發(fā)135分鐘，因而通信員之前往返18km用時(shí)45分鐘，即可求出通信員的速度為48km/h。自行車(chē)隊(duì)的速度為18÷（90+22.5）/60=9.6km/h。從本題可看出，行程問(wèn)題的求解有時(shí)研究過(guò)程的選取較靈活。

例7（分段變速的行程問(wèn)題） 某人駕車(chē)從A地趕往B地，前一半路程比計(jì)劃多用了45min，平均速度只有計(jì)劃的80%。若后一半路程的平均速度為120km/h，此人還能按原定時(shí)間到達(dá)B地，則A、B兩地的距離為（? ?）km。

A.450? ? ? B.480? ? ? C.520? ? ? D.540? ? ? E.600

解析：對(duì)前一半路程和后一半路程依次利用“路程一定，速度和時(shí)間成反比例關(guān)系”進(jìn)行綜合分析即可求出全程計(jì)劃的速度及時(shí)間，進(jìn)而求得A、B兩地的距離。具體而言，設(shè)按照計(jì)劃全程的路程、速度及時(shí)間分別為s、v及t。顯然，對(duì)前一半路程，45min為計(jì)劃時(shí)間的1/4（45min為1/8t），t=6h;對(duì)后一半路程，用時(shí)為計(jì)劃時(shí)間的3/4（即3/8t）（因?yàn)閷?duì)全程而言，計(jì)劃和實(shí)際用時(shí)相同），速度為計(jì)劃速度的4/3，為120km/h，則v=90km/h;因此總路程為540km。本題求解主要利用了“路程一定，速度和時(shí)間成反比例關(guān)系”及前、后一半路程之間的時(shí)間聯(lián)系（解題突破口）進(jìn)行求解。本題的求解也體現(xiàn)了行程問(wèn)題求解中要辯證看待“變與不變”，有時(shí) “變與不變”（如變中的不變量）恰是解題線索。

例8（假設(shè)速度改變的行程問(wèn)題）A、B兩地相距200千米。某日，甲、乙兩人同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，勻速相向而行，在C處相遇。若甲速度提高12千米/時(shí)，則兩人在距C處25千米的地方相遇。若乙速度提高12千米/時(shí)，則兩人在距C處15千米的地方相遇。那么甲的速度為多少？

解析：設(shè)甲、乙的速度分別為v甲、v乙，未提速時(shí)的相遇時(shí)間為t。甲、乙在對(duì)方提速情況下（到相遇）所走路程較未提速情況下少走的路程分別為s1和s2，則s1+s2=25+15=40，且s1：s2=15：25=3：5。都未提速時(shí)甲、乙所走的路程之比（同時(shí)也是速度比）也為3：5。所以，提速后的相遇時(shí)間t=40/12=3（1/3）h，v甲=（200-40）÷（10/3）×（3/8）=18km/h。本題的突破口在于，通過(guò)行程圖得出提速后在相遇時(shí)間內(nèi)以12千米/時(shí)的速度可行駛40km。

比例思想在行程問(wèn)題的求解中有著十分重要的地位。通過(guò)以上對(duì)計(jì)劃有變類行程問(wèn)題的求解可以看出，靈活運(yùn)用公式及比例思想求解是一種重要的行程問(wèn)題解題方法。學(xué)好小學(xué)行程問(wèn)題可有效為高中物理學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)打好基礎(chǔ)。教師在教學(xué)中要多示范運(yùn)用比例思想求解行程問(wèn)題，循序漸進(jìn)地提升學(xué)生解題能力，讓學(xué)生掌握這一重要的解題思想、方法和技巧。

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作者簡(jiǎn)介：安維寬（1975— ），男，云南賓川人，中小學(xué)二級(jí)教師，專科，研究方向：中學(xué)物理教學(xué);

解天才（1978— ），男，云南賓川人，中小學(xué)一級(jí)教師，本科，研究方向：中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

通信作者：熊家昌（1979— ），男，云南賓川人，講師，本科，研究方向：中學(xué)物理教學(xué)。