張海濤

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

冪函數(shù)的和函數(shù)的計(jì)算在高等數(shù)學(xué)中是教學(xué)重點(diǎn),也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而且在考研中也是常見的考點(diǎn)。文獻(xiàn)[1?3]總結(jié)了一些簡(jiǎn)單的方法，而課本上關(guān)于和函數(shù)的求法，例題和習(xí)題中的類型較少，因此，學(xué)習(xí)起來(lái)有一定的困難,把和函數(shù)的求法分三類進(jìn)行討論，給出了不同類型的級(jí)數(shù)計(jì)算的方法,希望對(duì)初學(xué)者在此部分的學(xué)習(xí)有引導(dǎo)作用。為了敘述簡(jiǎn)便，在解題過(guò)程中忽略收斂域的問(wèn)題，總假設(shè)所有的計(jì)算都是在收斂域的范圍內(nèi)進(jìn)行。

1 利用和函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算

和函數(shù)的定義是前n項(xiàng)和的極限,這種類型，就是最常見的級(jí)數(shù)和的公式，它的典型特點(diǎn)是n只出現(xiàn)在指數(shù)上。所謂越基礎(chǔ)越重要,值得單獨(dú)列出來(lái)熟練掌握，要熟練到看到就能寫出，舉幾個(gè)例子：

在實(shí)際解題過(guò)程中，要注意符號(hào)的下標(biāo)，否則容易犯錯(cuò)誤。比如:

簡(jiǎn)單的方法就是看冪級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)是什么，一般而言，基本型和式的分子就是第一項(xiàng)。

2 利用冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分的性質(zhì)

冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)有如下性質(zhì)

性質(zhì)1冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上I可積,并有逐項(xiàng)積分公式

逐項(xiàng)積分后所得到的級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑[4]。

性質(zhì)2冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間(?R，R)內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式

逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑[4]。

運(yùn)用此類方法，或者先積分后求導(dǎo)，后者先求導(dǎo)后積分，或者求導(dǎo)求積分多次聯(lián)合并用。這種類型最為常見，主要特征就是含的式子是有理式，若出現(xiàn)在分母中，考慮求導(dǎo),若出現(xiàn)在分子中考慮積分。

3 利用冪級(jí)數(shù)展開式直接求和

常見的五大級(jí)數(shù)展開式

當(dāng)冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)系數(shù)的分母為n的階乘時(shí)，常用此方法，一般是先找出與所給級(jí)數(shù)相近的某個(gè)初等基本函數(shù)的展開式，再進(jìn)行嘗試。這類型的題目常需要特別的技巧，計(jì)算量也較大，要掌握其方法，需要從易到難逐步熟悉。

令x=1，就得到所求結(jié)果為

冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法是級(jí)數(shù)這部分內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在平時(shí)學(xué)習(xí)中要注重練好基本功，對(duì)于常見的方法要熟練掌握。除了文中的方法，還可以由已知冪級(jí)數(shù)建立關(guān)于和函數(shù)的微分方程求解，或者利用冪級(jí)數(shù)的下標(biāo)變換求和函數(shù)。對(duì)于一些求數(shù)列前n項(xiàng)之和的，也可以轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題。這類題目，難度較大，綜合性較強(qiáng)。要通過(guò)勤加練習(xí)，加以鞏固。