趙學(xué)遠(yuǎn)，周紹磊，祁亞輝，王帥磊

(中國(guó)人民解放軍海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001)

1 引言

近年來(lái)，隨著無(wú)人機(jī)技術(shù)的發(fā)展和多智能體系統(tǒng)控制廣泛的應(yīng)用前景，使得無(wú)人機(jī)編隊(duì)在軍事和民用領(lǐng)域都早已嶄露頭角，至今已經(jīng)取得了大量的研究成果[1，2]，無(wú)人機(jī)系統(tǒng)隨著工作量的提高和難度的提升，無(wú)人機(jī)數(shù)量逐漸增多，因此對(duì)編隊(duì)的控制提出了更高的要求[3]。目前相對(duì)成熟并運(yùn)用較為廣泛的控制方法有虛擬結(jié)構(gòu)法[4]、leader-follower法[5]、基于行為法[6]。

眾多學(xué)者在多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題方面的研究，為無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制提供了新的解決思路，使得多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)僅僅依靠鄰居無(wú)人機(jī)的信息就能夠形成編隊(duì)。文獻(xiàn)[7]利用了一種基于一致性反饋線性化的方法實(shí)現(xiàn)了多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)快速形成編隊(duì)，并且所形成的編隊(duì)為時(shí)變編隊(duì)。文獻(xiàn)[8]利用一致性控制器解決了異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]通過(guò)設(shè)計(jì)一致性控制器，使得多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)在形成編隊(duì)的同時(shí)，具有一定的防碰撞能力。

設(shè)計(jì)一致性控制器實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制問(wèn)題，首先要關(guān)注的是多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[10]給出了拓?fù)鋱D是連通的是多智能體系統(tǒng)一致收斂的充要條件，文獻(xiàn)[11]證明了有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浯嬖谟邢蛏蓸?shù)，多智能體系統(tǒng)即可實(shí)現(xiàn)一致性。文獻(xiàn)[12，13]研究了切換拓?fù)湎露嘀悄荏w的一致性問(wèn)題。目前基于一致性理論實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制的研究多集中于固定拓?fù)洹Ｎ墨I(xiàn)[14]對(duì)離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一致性控制器，使得離散多智能體系統(tǒng)形成編隊(duì)。文獻(xiàn)[15]研究了在有向通信拓?fù)錀l件下，多智能體系統(tǒng)的時(shí)變編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[16]研究了二階積分系統(tǒng)中利用一致性方法使得系統(tǒng)軌跡與編隊(duì)隊(duì)形一致。也有部分文獻(xiàn)突破了固定拓?fù)鋱D結(jié)構(gòu)的限制，文獻(xiàn)[17]在已知所有可能的拓?fù)浼蠗l件下，設(shè)計(jì)一致性控制器，解決了一階積分模型的多智能體編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[18]的編隊(duì)控制研究過(guò)程對(duì)有向切換拓?fù)涮岢隽藰O為苛刻的限制條件，它要求有向拓?fù)浼蟽?nèi)的所有拓?fù)鋱D是強(qiáng)連通且平衡，顯然所得結(jié)論不具有一般性。設(shè)計(jì)一致性控制器，使得多智能體系統(tǒng)在一般的有向切換拓?fù)錀l件形成編隊(duì)的研究還并不深入。

在實(shí)際的多智能體系統(tǒng)當(dāng)中，往往要建模成非線性系統(tǒng)，作為一種常見(jiàn)的非線性環(huán)節(jié)，Lur’e型非線性，在一致性研究過(guò)程中，文獻(xiàn)[19]研究了包含Lur’e型非線性的系統(tǒng)在固定拓?fù)錀l件下的控制問(wèn)題，文獻(xiàn)[20]研究了具有Lur’e型非線性環(huán)節(jié)的多智能體系統(tǒng)追蹤領(lǐng)導(dǎo)者的一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[21]研究了有向切換拓?fù)錀l件下Lur’e型非線性智能體系統(tǒng)的控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了分布式控制器，使得系統(tǒng)達(dá)成一致。在基于一致性理論解決編隊(duì)控制問(wèn)題時(shí)，將Lur’e型非線性環(huán)節(jié)考慮在內(nèi)的成果還較少。

本文在一致性理論研究基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了分布式控制器，用于解決有向切換拓?fù)錀l件下線性多智能體系統(tǒng)包含Lur’e型非線環(huán)節(jié)時(shí)的編隊(duì)控制問(wèn)題。所研究的拓?fù)鋱D是隨時(shí)間切換的，對(duì)通信要求更具一般性。設(shè)計(jì)的編隊(duì)為時(shí)變編隊(duì)，更具有實(shí)際意義。

2 預(yù)備知識(shí)和相關(guān)引理

2.1 圖論

G=(V，E，A)用來(lái)表示多智能體系統(tǒng)的有向通信拓?fù)鋱D，其中V={v1，v2，…，vN}是拓?fù)鋱D的節(jié)點(diǎn)集合，E?V×V為拓?fù)鋱D的邊集合，A=[aij]N×N為拓?fù)鋱D的具有非負(fù)元素aij的鄰接矩，節(jié)點(diǎn)vi和vj之間的連接權(quán)重用aij表示，當(dāng)aij=1時(shí)節(jié)點(diǎn)vi可以接收到節(jié)點(diǎn)vj的信息，當(dāng)aij=0時(shí)則節(jié)點(diǎn)vi不能接收到節(jié)點(diǎn)vj的信息。如果G中存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)vi，從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)沿著有向邊可以到達(dá)圖中的任意其它點(diǎn)，稱圖G包含有一個(gè)有向生成樹(shù)，該節(jié)點(diǎn)vi為根節(jié)點(diǎn)。圖的Laplacian矩陣定義為L(zhǎng)=[Lij]N×N，其中Lii=∑j≠iaijLij=-aij，i≠j。

智能體之間的拓?fù)潢P(guān)系隨時(shí)間變換，Γ={G1，G2，…，Gp}，p≥1為所有可能的有向拓?fù)涞募?，切換信號(hào)σ(t)：[0，+∞)→={1，2，…，p}，切換時(shí)刻表示為0=t0

2.2 相關(guān)引理

引理1[22]：對(duì)于任意給定的x,y∈n，和具有相容維數(shù)的矩陣P>0，D和S，可以得到

2xTDSy≤xTDPDTx+yTSTP-1Sy

根據(jù)文獻(xiàn)[23]可得到類似的引理2。

引理2存在一個(gè)正數(shù)α0和與L1σ(t)同步切換的正定矩陣Qσ(t)使得

其中0<α0

3 問(wèn)題描述

考慮由N個(gè)具有Lur’e型非線性項(xiàng)的無(wú)人機(jī)構(gòu)成的無(wú)人機(jī)系統(tǒng)，每個(gè)無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)模型描述如下

yi(t)=Cxi(t)

(1)

xi(t)∈n，ui(t)∈p，yi=(yi1，…，yiq)T∈q分別是第i個(gè)智能體的狀態(tài)、控制輸入和測(cè)量輸出。ABCD是合適維的系統(tǒng)矩。Lur’e型非線性項(xiàng)由非線性函數(shù)f(yi)描述，其滿足斜率條件[0，Δ]，Δ=diag{δ1，…，δq}即

0≤(fi(b)-fi(a))≤δi(b-a)，

fi(0)=0，?b≠a，i=1，…，q.

4 控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)此類問(wèn)題，基于一致性方法，僅利用鄰居智能體的狀態(tài)信息，將控制器設(shè)計(jì)如下

ui=K1(xi(t)-hi(t))+wi(t)

i=1，2，…，N

(2)

將控制器(2)帶入原系統(tǒng)可得到

+BK1(xi(t)-hi(t))

(3)

因此可以得到

+(L?BK2-IN?BK1)h(t)

+(IN?B)w(t)+(IN?D)f(y)

(4)

令ξi(t)=xi(t)-hi(t)故得到

+(IN?A)h(t)+(I?B)w(t)

(5)

如果上式各狀態(tài)量能夠達(dá)成一致，則多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)能夠形成編隊(duì)。

利用Laplacian矩陣的特殊性質(zhì)，做如下的線性變換，令ηi(t)=ξi(t)-ξi+1(t)

因此可以得到

+(E?A)h(t)+(E?B)w(t)

(6)

基于以上的分析，推導(dǎo)出多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)能夠形成編隊(duì)h(t)的充要條件是

(7)

+(IN-1?D)φ(y)

(8)

是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

根據(jù)系統(tǒng)(1)B為列滿秩矩陣，因此對(duì)(7)兩端同時(shí)乘以(I?)，其中因此可以得到

(9)

(10)

對(duì)于式(7)，可以恰當(dāng)?shù)倪x取輸入w(t)使其成立。欲所設(shè)計(jì)的控制器能夠使得系統(tǒng)形成編隊(duì)，對(duì)編隊(duì)也是有要求的，即編隊(duì)h(t)需滿足式(8)。

定義于隨時(shí)間變化的通信拓?fù)銰σ(t)=0，其在時(shí)間區(qū)間[t0,t)上的平均駐留時(shí)間τa定義為

其中Nδ(t0,t)表示Gσ(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,t)上的切換次數(shù)。

結(jié)合平均駐留時(shí)間的定義，控制器設(shè)計(jì)算法如下

算法：

1)設(shè)w1(t)=0，求解方程，得到輔助函數(shù)w(t)

2)根據(jù)編隊(duì)中心軌跡配置(A+BK1)的極點(diǎn)，求解K1

根據(jù)矩陣不等式(11)，求解可行解P

(11)

其中

H1=(A+BK1)TP+P(A+BK1)-2αPBBTP+βP

定理：按照如上算法設(shè)計(jì)的控制器，能夠使得多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)在切換拓?fù)鋾r(shí)即使受到外部擾動(dòng)也能夠形成時(shí)變編隊(duì)。

證明：構(gòu)建Lyapunov函數(shù)

V(t)=ηT(t)(Qσ(t)?P)η(t)

(12)

對(duì)上式沿著系統(tǒng)求導(dǎo)，整理可得

η(t)-ηT(t)(((EM)TQσ(t)+Qσ(t)EM)

?PBBTP)η(t)+2η(t)(Qσ(t)?PD)φ(y)

(13)

由引理1得

2η(t)(Qσ(t)?PD)φ(y)

=2η(t)(I?PD)(Qσ(t)?I)φ(y)

≤ηT(t)(I?PD)(R?I)(I?DTP)ηT(t)

(R-1?I)(Qσ(t)?C)ηT(t)

(14)

其中R>0為維數(shù)相容的特定矩陣，令R=Qσ(t)，則可以得到

(15)

如前所述，當(dāng)t∈[tk，tk+1)時(shí)，V(t)是連續(xù)的，求導(dǎo)可以得到(20)，由(11)可以得到

(16)

考慮到Qσ(t)≤φ1I和Qσ(t)≥φ2I，所以在拓?fù)淝袚Q時(shí)刻tk有

(17)

通過(guò)迭代推導(dǎo)，因此

(18)

由(12)可得

(19)

其中?1=φ1max{λ(P)}，?2=φ2min{λ(P)}

5 仿真驗(yàn)證

考慮多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在如下的有向拓?fù)鋱D中隨機(jī)切換。

系統(tǒng)矩陣描述如下

將智能體狀態(tài)分量理解為無(wú)人機(jī)位置，初始狀態(tài)如下

編隊(duì)定義為

因此編隊(duì)形成后，4架無(wú)人機(jī)將構(gòu)成一個(gè)平行四邊形。

圖1為有限的有向拓?fù)浼希凑請(qǐng)D2的切換拓?fù)溥^(guò)程隨意切換。

圖1 有限的拓?fù)浼?/p>

圖2 拓?fù)淝袚Q過(guò)程

首先將(A+BK1)極點(diǎn)配置在(-1+i，-1-i，-1)，可得到

令α0=0.4求解不等式(12)，得到可行解

所以可得到反饋矩陣

如圖3所示，無(wú)人機(jī)的第一狀態(tài)量與無(wú)人機(jī)編隊(duì)第一狀態(tài)量的誤差曲線，從圖中可以得出無(wú)人機(jī)狀態(tài)和編隊(duì)誤差達(dá)成一致，編隊(duì)即可以形成編隊(duì)。

圖3 無(wú)人機(jī)的第一狀態(tài)量與無(wú)人機(jī)編隊(duì)第一狀態(tài)量的誤差

第二狀態(tài)量與第三狀態(tài)量都與第一狀態(tài)量具有類似的變化規(guī)律。圖3分別為4架無(wú)人機(jī)在1s，4s時(shí)刻的三維狀態(tài)值。

圖4 無(wú)人機(jī)在1s時(shí)刻的三維狀態(tài)值

圖5 無(wú)人機(jī)在4s時(shí)刻的三維狀態(tài)值

可以看出在4s之后，四架無(wú)人機(jī)形成平行四邊形編隊(duì)，且編隊(duì)隊(duì)形處于動(dòng)態(tài)變化中，與預(yù)先設(shè)定的編隊(duì)隊(duì)形一致，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

6 結(jié)論

利用一致性理論知識(shí)，用于解決多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)編隊(duì)控制問(wèn)題，所研究的系統(tǒng)包含lur’e型非線性項(xiàng)，通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為有向切換拓?fù)?。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)是考慮了外部擾動(dòng)的影響，并降低了多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的通信要求，且利用Laplacian矩陣的特殊性質(zhì)將其分解，從而將編隊(duì)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低階系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，利用矩陣不等式求解反饋矩陣，使得設(shè)計(jì)控制器難度降低。