雷紅臣，李小華*，劉 輝，何志江

(1.遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山114051；2.中國三冶集團(tuán)有限公司 電氣安裝公司，遼寧 鞍山 114003)

有限時間控制方法能使系統(tǒng)具有更快的收斂速度及更高的魯棒性能, 故產(chǎn)出了大量非線性系統(tǒng)有限時間控制的研究成果.有限時間控制可分為精確有限時間控制和實際有限時間控制.這兩種控制的主要區(qū)別是: 精確有限時間控制能保證系統(tǒng)的所有狀態(tài)在有限時間內(nèi)均收斂至平衡點, 而實際有限時間控制只能保證系統(tǒng)所有狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂至平衡點的鄰域內(nèi).一般地, 精確有限時間控制又被稱為有限時間控制, 實際有限時間控制又稱為有限時間有界.隨著研究的深入, 文獻(xiàn)[7]提出了快速有限時間控制, 這種控制方法能使系統(tǒng)具有更快的收斂速度.

在眾多的非線性控制系統(tǒng)中, 有一類系統(tǒng)的控制方向是未知的.控制方向與數(shù)學(xué)方程中與控制變量相乘的未知參數(shù)的符號相對應(yīng), 控制方向未知即該參數(shù)的符號未知.在實際生活中存在許多控制方向未知的系統(tǒng),如船舶的航向控制、飛行器的姿態(tài)控制及多智能體的編隊控制系統(tǒng)等.解決此類控制問題的方法主要有：Nussbaum增益、切換控制方法.Nussbaum增益方法, 只能使系統(tǒng)收斂至平衡點鄰域內(nèi), 因此該方法不能解決控制方向未知的非線性系統(tǒng)的精確有限時間控制問題.然而，切換控制方法通過切換能找到正確的控制方向, 能實現(xiàn)精確有限時間控制.筆者提出一種新的切換自適應(yīng)全局快速有限時間控制方法, 使閉環(huán)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂至平衡點

x

=0而不是平衡點的鄰域內(nèi), 滿足全局快速有限時間穩(wěn)定條件.

1 系統(tǒng)描述和預(yù)備知識

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下控制方向未知的非線性系統(tǒng)

(1)

(2)

假設(shè)2

虛擬控制系數(shù)

D

(

t

)滿足

D

,min≤|

D

(

t

)|≤

D

,max,

(3)

其中: 未知常數(shù)

D

,min>0,

D

,max是一個已知的函數(shù).

該文的控制目標(biāo)為: 采用backstepping技術(shù)、快速有限時間穩(wěn)定理論以及切換自適應(yīng)技術(shù), 針對系統(tǒng)(1)設(shè)計一個切換自適應(yīng)快速有限時間控制器, 使該閉環(huán)系統(tǒng)全局快速有限時間穩(wěn)定, 其所有狀態(tài)軌跡在有限時間內(nèi)收斂至平衡點.

1.2 預(yù)備知識

為了得到該文主要結(jié)果, 給出如下引理：

引理1

若系統(tǒng)存在一個

C

非線性函數(shù)

V

(

x

(

t

)),

t

∈[

t

,+∞),滿足

(4)

則稱該系統(tǒng)是快速有限時間穩(wěn)定的, 且有

(5)

注1

引理 1可作為系統(tǒng)快速有限時間穩(wěn)定的Lyapunov判據(jù).

(6)

引理3

對于

x

,

j

=1,2,…,

n

和實數(shù)0<

l

≤1, 下面的不等式成立(|

x

|+|

x

|+…+|

x

|)≤|

x

|+|

x

|+…+|

x

|.

(7)

|

x

-

y

|≤21-|

x

-

y

|.

(8)

引理4

對于任意正實數(shù)

c

,

q

,

τ

和任意的連續(xù)函數(shù)

x

,

y

,

κ

≥0, 有

(9)

(10)

2 主要結(jié)果

2.1 控制器設(shè)計

選取坐標(biāo)變換為

?

(11)

第1步 選取Lyapunuov函數(shù)為

(12)

對

V

求導(dǎo)后, 再根據(jù)假設(shè)1可得

(13)

(14)

將式(14)代入(13), 有

(15)

選擇虛擬控制律為

(16)

將該控制律代入式(15), 有

(17)

(18)

第2步 選取Lyapunov函數(shù)為

V

=

V

+

W

,

(19)

其中

(20)

根據(jù)引理3, 可得

(21)

求

W

的偏導(dǎo)數(shù)，得

(22)

(23)

由引理3, 可得

(24)

對

V

求導(dǎo)后, 再根據(jù)式(18)～(20)和(22)，可得

(25)

下面對式(25)中的幾個多項式進(jìn)行處理.

(26)

為了處理式(25)中的其他項, 先引入如下結(jié)論：

(27)

結(jié)論2

存在一個適當(dāng)?shù)?p>C

函數(shù)

C

,≥0, 使下式成立

(28)

結(jié)論1～2的證明見文獻(xiàn)[3]中的推論3～4的證明.

(29)

其中

(30)

將式(26),(29)～(30)代入式(25), 得

(31)

其中:

Ψ

=

G

+

F

+

φ

.

選取虛擬控制律為

(32)

將式(32)代入式(31), 可得

(33)

為了下面第

i

(

i

=3,4,…,

n

-1)步推導(dǎo)的方便, 這里根據(jù)第1, 2步的推導(dǎo), 給出如下推論：

(34)

則有

(35)

證明

在第2步, 由式(19)～(21),(33), 可知式(34)～(35)成立.假設(shè)推論1在第

i

-1步成立, 即有

(36)

(37)

下面利用式(36)～(37)，證明推論1在第

i

步也成立.對第

i

步, 由于

V

=

V

-1+

W

,

(38)

其中

(39)

則有

(40)

(41)

(42)

其中: 1≤

j

≤

i

-1. 結(jié)合式(36),(38),(40), 有

(43)

根據(jù)引理3, 式(42)進(jìn)一步被放縮為

(44)

根據(jù)式(37)～(39),(41), 可得

(45)

下面, 對式(45)中的幾項多項式進(jìn)行處理.

(46)

(47)

其中

(48)

將式(46)～(48)代入式(45), 有

(49)

其中:

Ψ

=

G

+

F

+

φ

.

選取虛擬控制律為

(50)

將式(50)代入式(49), 得

(51)

由式(43),(51), 可知推論1成立.

利用推論1, 可得第

n

步的推導(dǎo)如下：第

n

步 選取Lyapunov函數(shù)為

V

=

V

-1+

W

,

(52)

其中：

V

-1和

W

在式(36)和(39)中已通過

i

=

n

被定義.顯然有

(53)

對(52)式，求導(dǎo)得

(54)

由推論1知

(55)

選取系統(tǒng)控制律為

(56)

由式(55)～(56), 可得

(57)

2.2 切換自適應(yīng)律設(shè)計

為了達(dá)到全局快速有限時間穩(wěn)定的目的, 按照引理1的條件, 對式(57)做進(jìn)一步處理.選取,使式(57)中的最后一項大于零, 則有

(58)

(59)

由式(59)及引理1可知, 系統(tǒng)滿足全局快速有限時間穩(wěn)定的判據(jù).若式(57)中的最后一項小于零, 說明控制方向不對, 需進(jìn)行切換.

(60)

(61)

(62)

按引理1中條件, 設(shè)計切換自適應(yīng)律為

(63)

其中:

μ

是設(shè)計參數(shù)，且

μ

>0;

w

(

t

,

t

,

x

(

t

),

μ

)的表達(dá)式為

(64)

定義切換的時間序列為

t

+1=inf{

t

|

t

>

t

,

V

(

x

(

t

))>

w

(

t

,

t

,

x

(

t

),

μ

)}.

(65)

2.3 全局快速有限時間穩(wěn)定性分析

定理1

對于滿足假設(shè)1～2的系統(tǒng)(1), 若選取系統(tǒng)的控制律為式(16)，(50)，(56), 切換自適應(yīng)律為式(63), 則系統(tǒng)(1)是全局快速有限時間穩(wěn)定的, 且停息時間滿足

(66)

證明

首先證明在切換自適應(yīng)律式(63)的作用下, 下面的不等式成立

(67)

(68)

(69)

可見, 在所設(shè)計的切換自適應(yīng)律作用下, 式(67)總能成立.在此條件下,式(59)成立, 即系統(tǒng)(1)是全局快速有限時間穩(wěn)定的.

由切換自適應(yīng)律的定義可知, 在每個切換區(qū)間均有

V

(

x

(

t

))≤

w

(

t

,

t

,

x

(

t

),

μ

),

(70)

則

V

(

x

(

t

))有界.

根據(jù)引理1, 可知系統(tǒng)的收斂時間是有界的,收斂時間為

(71)

3 仿真實驗

為了驗證該文控制方法的有效性, 這里采用文獻(xiàn)[14]中的仿真系統(tǒng), 其數(shù)學(xué)模型為

(72)

選取控制參數(shù)為:

θ

=

θ

=1,

k

=

k

=1,

R

=

R

=0.55,

V

=

V

=0.3,

F

=0.3；選取設(shè)計參數(shù)及函數(shù)為:

c

=0.6,

h

=1,

μ

=1,

H

(

k

)=0.37×(

k

+3)；選取系統(tǒng)初始狀態(tài)為：=[0.5,-0.5]；選取控制系數(shù)的上界為:

D

=2.5,

D

=2.

根據(jù)定理1, 得到該系統(tǒng)對應(yīng)的控制器, 對系統(tǒng)進(jìn)行仿真實驗.該控制器的仿真結(jié)果如圖1～4所示.圖1～4分別給出該文及文獻(xiàn)[14]的系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入、切換參數(shù)、切換條件函數(shù)值的仿真結(jié)果.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài) 圖2 系統(tǒng)控制輸入

由圖1可知：該文的切換自適應(yīng)律能保證系統(tǒng)的所有狀態(tài)在有限的時間內(nèi)收斂到平衡點；該文狀態(tài)收斂速度比文獻(xiàn)[14]更快.由圖2可知：與文獻(xiàn)[14]相比, 該文不需要更大的控制作用即可滿足快速有限時間的要求.由圖3可知，切換參數(shù)為2時,該文和文獻(xiàn)[14]控制器的控制方向和系統(tǒng)的實際控制方向均相同，但該文切換時間更早.由圖4可知，該文切換條件函數(shù)的收斂速度比文獻(xiàn)[14]更快.上述仿真實驗結(jié)果表明: 該文控制方法具有優(yōu)越性和有效性.

圖3 切換參數(shù) 圖4 切換條件函數(shù)

4 結(jié)束語

該文研究了控制方向未知的非線性系統(tǒng)切換自適應(yīng)全局快速有限時間鎮(zhèn)定問題.將快速有限時間控制與邏輯切換控制相結(jié)合, 提出了新的切換自適應(yīng)全局快速有限時間控制方法.設(shè)計了控制方向未知的非線性系統(tǒng)切換自適應(yīng)全局快速有限時間控制器, 該控制器能保證系統(tǒng)的所有狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂至平衡點, 且有更快的收斂速度.此控制效果是Nussbaum增益方法達(dá)不到的.