王 琪，周志進，馮林安

(貴陽學院 數(shù)學與信息科學學院，貴州 貴陽 550005)

對歐氏空間中子流形以及超曲面的研究，是微分幾何學的重要任務之一.關于用

i

-平均曲率來刻畫歐氏空間中超曲面的全臍性，文獻[1]曾給出下列定理1.論文研究(

n

+

p

)維歐氏空間

R

+中

n

維等距浸入緊致無邊子流形

M

.首先，定義了

M

的全擬臍性質，其為超曲面的全臍性質的推廣.然后，利用文獻[3]最近給出的一個積分公式，得到定理2，推廣了定理1的結果.

定理1

令

M

為(

n

+1)-維歐氏空間

R

+1中定向的等距浸入緊致無邊超曲面且連通，如果存在一個整數(shù)

r

(1≤

r

≤

n

-1),使得

i

-平均曲率

H

+1處處非零而且比值

H

/H

+1為常數(shù)，則

M

必全臍.

定理2

設

R

+為(

n

+

p

)維歐氏空間，而

M

為

R

+中

n

維定向的等距浸入緊致無邊子流形且連通.用

ξ

表示

M

的單位平均曲率向量場，

H

表示

M

沿

ξ

方向的

i

-平均曲率.如果存在一個整數(shù)

r

(1≤

r

≤

n

-1),使得

H

+1處處非零且比值

H

/H

+1為常數(shù)，則

M

必全擬臍.

1 預備知識和引理

令

R

+為(

n

+

p

)維歐氏空間，

M

=(

M

,

g

)為

n

維光滑黎曼流形.令

φ

:

M

→

R

+為光滑浸入映照，如果方程

g

=

φ

(〈,〉)處處成立，則

M

稱為一個等距浸入子流形，其中:

φ

為

φ

的拉回映照，〈,〉為

R

+中的歐氏內積.令

ξ

為

M

的單位平均曲率向量場(參見文獻[3]).記

α

,

α

,…,

α

為

M

沿

ξ

方向的主曲率函數(shù)，則

M

沿

ξ

方向的

i

-平均曲率定義為

定義1

(全擬臍子流形) 設

φ

:

M

→

R

+為一個

n

維等距浸入子流形，

ξ

為

M

的單位平均曲率向量場, 又

α

,

α

,…,

α

為

M

沿

ξ

方向的主曲率函數(shù)，如果

α

=

α

=…=

α

在點

x

∈

M

成立，則點

x

∈

M

稱為一個擬臍點.如果

M

的每一點都是擬臍點，則

M

稱為全擬臍子流形.

引理1

設

φ

:

M

→

R

+為一個

n

維定向的等距浸入緊致無邊子流形，

ξ

為

M

的單位平均曲率向量場，而

H

為

M

沿

ξ

方向的

i

-平均曲率，則

其中：〈,〉為

R

+中的歐氏內積，d

M

為

M

的

n

維黎曼體積形式.

2 定理2的證明

由引理1，有

(1)

因為

H

/H

+1為常數(shù)，由(1)式有

(2)

又由引理1，有

(3)

由(2)，(3)式，有

(4)

由文獻[1-2,4-10]，有

(5)

假設

H

+1在

M

上處處非零，而且

M

是連通的，故在

M

上：或者恒有

H

+1>0，或者恒有

H

+1<0.如果在

M

上，恒有

H

+1>0，由(5)式，有

(6)

如果在

M

上，恒有

H

+1<0，由(5)式，有

(7)

則無論是(6)或是(7)式的情況，由(4)式，有

(8)

即

(9)

最后，注意到不等式(5)在且僅在

M

的擬臍點處取到等號(參見文獻[1-2,4-10])，再由(9)式，即完成定理2的證明.