分?jǐn)?shù)階不確定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)滑模同步的兩種方法
2021-11-17 03:03:06孟曉玲毛北行
孟曉玲，毛北行
(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450046)
復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步，即網(wǎng)絡(luò)之間的節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)通過外部調(diào)控，狀態(tài)逐步接近，最后達(dá)到全同的狀態(tài).網(wǎng)絡(luò)同步是一種非常普遍而且十分重要的非線性現(xiàn)象，因此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的混沌同步已引起了人們的廣泛關(guān)注.在投影同步的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步；通過設(shè)計(jì)合適的控制器，文獻(xiàn)[8]實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)非線性耦合網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步控制；文獻(xiàn)[9]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在脈沖信號(hào)下的網(wǎng)絡(luò)同步問題.而隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)引起了廣大學(xué)者的關(guān)注，并取得了不錯(cuò)的研究成果，但關(guān)于分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)滑模同步方面的研究結(jié)果還是比較少.在上述研究的基礎(chǔ)上，論文研究了分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步特性,在分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了兩種分?jǐn)?shù)階控制器和滑模面，實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的滑模同步.最后，利用MATLAB數(shù)值仿真，說明該方法的有效性.
1 預(yù)備知識(shí)
定義1
連續(xù)函數(shù)x
(t
)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為
引理1
若x
(t
)為連續(xù)可微的向量函數(shù)，則
γ
(‖x
‖)≤V
(t
,x
(t
))≤γ
(‖x
‖);
α
∈(0,1)，‖·‖表示向量范數(shù),則該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.
2 主要結(jié)果
考慮以下節(jié)點(diǎn)為N
個(gè)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)
(1)
以系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)
(2)
其中:Δf
(y
(t
))為不確定項(xiàng)，d
(t
)為外部擾動(dòng)，u
(t
)為控制器.系統(tǒng)(1),(2)的同步誤差為e
(t
)=y
(t
)-x
(t
),則
(3)
假設(shè)1
‖Δf
(y
(t
))‖≤m
,‖d
(t
)‖≤n
,m
>0,n
>0,i
=1,2,…,N.
假設(shè)2
‖Δf
(y
(t
))+d
(t
)‖≤λ
‖e
(t
)‖,λ
>0,i
=1,2,…,N.
定理1
在假設(shè)1,2下，構(gòu)造滑模面為
設(shè)計(jì)控制器為
其中
sgn(s
(t
))=diag{sgn(s
(t
)),sgn(s
(t
)),…,sgn(s
(t
))},|s
(t
)|=(|s
(t
)|,…,|s
(t
)|)，則系統(tǒng)(1)與(2)是滑模同步的.
e
(t
)+e
(t
)+…+e
(t
)=0?e
(t
)+…+e
-1(t
)=-e
(t
).代入控制器，(3)的前N
-1個(gè)方程可寫為
構(gòu)造
由引理1和假設(shè)2知
e
(t
)→0,i
=1,2,…,N
-1.代入控制器，方程(3)的最后一個(gè)方程變?yōu)?/p>
e
(t
)+e
(t
)+…+e
-1(t
)=-e
(t
)，從而
構(gòu)造
則由引理1和假設(shè)2,有
e
(t
)→0.
s
(t
)(-λe
(t
)-λe
(t
)-…-λe
-1(t
)+λ
(e
(t
)+e
(t
)+…+e
-1(t
))-
兩邊積分，得
s
(t
)→0，則e
(t
)→0.假設(shè)3
定理2
在假設(shè)3下，構(gòu)造滑模面為
控制器為
λ
>0為常數(shù)，則系統(tǒng)(1)與(2)是比例積分滑模同步的.
兩邊積分得
s
(t
)→0，則e
(t
)→0.3 MATLAB仿真
不妨取含3個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真
選取分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)為例，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為
響應(yīng)系統(tǒng)為
誤差系統(tǒng)為
α
=0.93,a
=10,b
=28,c
=8/
3時(shí)，出現(xiàn)吸引子.
x
(0),x
(0),x
(0))=(1,2,-1)，步長(zhǎng)選取為0.01 s，誤差曲線如圖1所示.
圖1 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線
Δf
(y
)+d
(t
)=0.1sin(t
)y
+0.1cost
,Δf
(y
)+d
(t
)=-0.1cos(t
)y
+0.1cost
,Δf
(y
)+d
(t
)=-0.1sin(t
)y
+0.1cos(2t
).定理2中取滑模面和控制器為
u
(t
)=-λe
(t
)-ks
(t
)-(m
+n
)sgns
(t
)，(x
(0),x
(0),x
(0))=(1,1,-1).選取步長(zhǎng)為0.01 s，誤差曲線如圖2所示.
圖2 定理2中的系統(tǒng)誤差曲線
由圖1，2可以看出，系統(tǒng)初始時(shí)刻誤差相距較大，但隨著時(shí)間推移，系統(tǒng)誤差逐漸變小，且逐漸趨近于零，這說明系統(tǒng)取得了混沌同步.
4 結(jié)束語
與整數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論相比，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論還不是很成熟，又因?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)本身的復(fù)雜性，讓一些分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論很難得到直接的應(yīng)用，因此進(jìn)一步完善分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理，是值得研究的下一個(gè)課題.
