宋瑞麗,谷 芳,孟 鴿,李 濤

(1.鄭州經(jīng)貿(mào)學(xué)院 公共教學(xué)部，河南 鄭州 451191; 2.鄭州財經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計與大數(shù)據(jù)學(xué)院，河南 鄭州 450000;3.陸軍炮兵防空兵學(xué)院，河南 鄭州 450000)

在計算機視覺和圖像處理過程中，圖像去噪發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，去噪算法的好壞直接決定了圖像分割和配準(zhǔn)等后續(xù)工作的效果，因此研究圖像去噪問題具有重要的現(xiàn)實意義.在眾多的噪聲問題中, 論文主要關(guān)注椒鹽噪聲去除問題.

椒鹽噪聲是一類常見的脈沖噪聲，往往產(chǎn)生于數(shù)據(jù)存儲或信號傳輸過程中.對于被椒鹽噪聲破壞的圖像，其噪聲像素為動態(tài)范圍內(nèi)的最大值和最小值，人們針對這一特點提出了眾多去除椒鹽噪聲的方法.中值濾波是最早被提出的一種有效的椒鹽噪聲濾除算法，但由于該濾波器是利用局部窗口像素的中值代替中心像素的值，因此在去噪的同時也對無噪聲的像素進(jìn)行了修改，從而導(dǎo)致丟失紋理細(xì)節(jié)和邊緣模糊.為了克服上述缺點，學(xué)者們提出了幾種改進(jìn)中值濾波，如自適應(yīng)中值濾波、基于均勻性信息的中值濾波、加權(quán)中值濾波.這些改進(jìn)模型首先識別出可能的噪聲像素，然后使用中值代替中心像素的值，同時保持非噪聲像素不變，因此在一定程度上克服了中值濾波器的缺陷.然而，上述方法并沒有考慮噪聲的分布特征，因此在噪聲水平較高的情況下不能很好地恢復(fù)圖像邊緣及細(xì)節(jié)信息.隨后，文獻(xiàn)[7]提出基于低秩表示模型來改進(jìn)上述缺陷，其基本原理是將觀測矩陣分解為稀疏矩陣和低秩矩陣，并通過數(shù)值實驗算法顯示其去噪效果優(yōu)于中值濾波.但是，該方法會產(chǎn)生紋理細(xì)節(jié)丟失等問題.

不同于上述方法，近年來基于能量泛函的變分正則化方法已被證明在噪聲消除和邊緣保留之間能取得良好的平衡,其中最成功最基本的正則化模型是由Rudin等提出的ROF(rudin osher fatemt)模型，其針對脈沖噪聲普遍采用TVL1模型，即全變分(total variation，簡稱TV)項加L1范數(shù)項.該模型中的TV項不懲罰圖像中的不連續(xù)性, 而且其對應(yīng)的歐拉方程擴散是沿著邊緣切線進(jìn)行的，因此可以有效保留圖像邊緣.然而，由于TV正則項是基于梯度的L1范數(shù)，過分懲罰稀疏性，經(jīng)常將平滑信號轉(zhuǎn)換為分段常數(shù)，因此產(chǎn)生所謂的“階梯”現(xiàn)象.為解決上述問題，學(xué)者們提出了許多改進(jìn)，如高階全變分模型、廣義全變分模型等.

最近，基于低秩表示和全變分正則化的思想，文獻(xiàn)[14]提出了一種新的去噪模型——全變分和核范數(shù)正則化模型.該模型通過有效地耦合圖像矩陣的低秩性和TV正則項的保邊性來得到較好的去噪效果.然而，通常意義下圖像具有多結(jié)構(gòu)特征，TV正則項中的梯度算子并不能有效耦合圖像的局部特征，為此論文提出一種具有魯棒性的去椒鹽噪聲的新型復(fù)原模型.在提出的模型中，通過將全變分項中的梯度算子加權(quán)以增強其沿圖像邊緣切線方向的擴散能力，并結(jié)合圖像的低秩性，進(jìn)而改進(jìn)文獻(xiàn)[14]中的去噪效果.在數(shù)值算法上，由于所提模型是具有可分性結(jié)構(gòu)的凸優(yōu)化問題，因此采用交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers，簡稱ADMM)求解，并能從理論上保證算法的收斂性.數(shù)值實驗表明，論文所提模型在去噪效果上具有更好的魯棒性.

1 相關(guān)工作

1.1 預(yù)備知識

(1)

其中:

s

,

s

分別表示灰度值的最小值和最大值.

=,=diag({

σ

}1≤≤),

(2)

其中:,分別表示

n

×

r

和

n

×

r

的正交矩陣，

σ

表示奇異值.對于任意的

τ

≥0，其奇異值收縮算子為

D

():=(),()=diag({

σ

-

τ

})，其中符號

t

表示取

t

中大于零的部分，即

t

=max(0,

t

).

1.2 全變分去噪模型(TVL1)

Chan等在文獻(xiàn)[19-20]的啟發(fā)下提出了經(jīng)典的TVL1去噪模型

(3)

其中:

f

為觀測圖像，

λ

為正則化參數(shù).

(4)

(5)

盡管TVL1模型可以有效地保留圖像邊緣信息，但由于TV正則化不能區(qū)分跳躍區(qū)域和平滑過渡區(qū)域，因此在去噪過程中會產(chǎn)生“偽邊界”，即階梯現(xiàn)象.

1.3 全變分和核范數(shù)正則化模型(total variation nuclear norm,簡稱TVL1NN)

為了在利用圖像稀疏性的同時能有效刻畫結(jié)構(gòu)特征，文獻(xiàn)[14]提出了全變分和核范數(shù)正則化模型(TVL1NN)

(6)

其中:‖·‖定義為所有奇異值的和.此模型TV項和核范數(shù)項能有效刻畫圖像的結(jié)構(gòu)稀疏性，可以有效去除噪聲.然而由于全變分項中的梯度算子僅能刻畫圖像水平和豎直方向的信息，從而導(dǎo)致在保持圖像局部結(jié)構(gòu)特征時缺乏自適應(yīng)性.

2 改進(jìn)模型與求解算法

2.1 改進(jìn)模型

基于上述模型中存在的問題，論文基于TVL1NN模型提出一種新的去噪模型，即各向異性全變分和核范數(shù)正則化模型(anisotropy total variation nucler norm，簡稱ATVL1NN)

(7)

其中：=diag(

t

,

t

)，

t

，

t

為尺度函數(shù)，其依賴于圖像的局部信息，因此可以用來刻畫圖像的局部特征，即

(8)

2.2 求解算法

在數(shù)值上，ATVL1NN是凸優(yōu)化問題，因此存在全局最優(yōu)解.然而模型的非光滑性，導(dǎo)致直接數(shù)值求解比較困難.一種有效的方法是利用其可分結(jié)構(gòu)通過分離變量的方法求解，即通過引入輔助變量將其轉(zhuǎn)化為下述約束優(yōu)化問題

(9)

為了求解上述問題，在增廣拉格朗日意義下，可將其轉(zhuǎn)化為下面的鞍點問題

(10)

其中:

α

,

α

,

α

,

α

為拉格朗日乘子；

β

,

β

,

β

,

β

為罰參數(shù)；〈·，·〉定義為內(nèi)積.由于該鞍點問題是多變量優(yōu)化問題，因此可以利用交替方法乘子法求解，即通過固定剩余的變量來更新其中的一個變量

(11)

下面考慮各個子問題的具體求解過程：

(1)求解子問題

p

.由于該問題為經(jīng)典的

l

-

l

問題，因此可以利用壓縮閾值法求解，其顯式解為

(12)

(2)求解子問題

q

.為了求解

q

子問題，需要引入下面的定理.

(13)

基于上述定理，子問題

q

的閉形式解為

(14)

(3)求解子問題

w

.該問題類似于求解子問題

p

，即用壓縮閾值法求解，其顯式解為

(15)

(4)求解子問題

v

=(

v

,

v

).該問題為光滑凸優(yōu)化問題，令

α

=(

α

2,

α

2)，

α

=(

α

3,

α

)，則其最優(yōu)化條件為

(16)

上式方程組化簡得

(17)

(5)求解子問題

u

.該問題為光滑凸優(yōu)化問題，其最優(yōu)性條件為

(18)

在周期邊界條件下，可以使用快速傅里葉變換快速求解

(19)

下面可將上述內(nèi)容歸納為用交替方向乘子法求解模型ATVL1NN，具體求解過程如下：

初始化階段：輸入初始圖像

u

=

f

，設(shè)置參數(shù)的初始值：最大迭代步數(shù)maxiter=500，相對誤差

ε

=10，正則化參數(shù)

λ

，

λ

>0，令

k

:=0.迭代階段(重復(fù)

k

次)：(1)

k

:=

k

+1；(2)通過(15)式更新子問題

w

；(3)通過(17)式更新子問題

v

；(4)通過(12)式更新子問題

p

；(5)通過(14)式更新子問題

q

；(6)通過(19)式更新子問題

u

；

終止條件估計:若相對誤差小于10或迭代到達(dá)500步則算法終止；否則，返回迭代階段.

3 仿真實驗與分析

3.1 測試圖像和平臺

為了驗證模型的有效性，將論文模型和兩種不同的去噪模型(TGVL1和TVL1NN)進(jìn)行比較.該節(jié)選取經(jīng)典的256×256 House和Boat灰度圖像以及512×512的Barbara和Mandrill灰度圖像進(jìn)行測試仿真，如圖1所示.

圖1 測試圖像

由于這些測試圖像均含有較多混合細(xì)節(jié)、紋理區(qū)域及分塊光滑區(qū)域，因此可以驗證文中所提模型的有效性.文中實驗在Window7系統(tǒng)MATLAB 2016a上進(jìn)行.此外，當(dāng)連續(xù)兩次迭代的相對誤差滿足‖

u

+1-

u

‖≤

κ

‖

u

+1‖，

κ

=1.0×10或迭代次數(shù)達(dá)到500次時，程序算法迭代終止.為了驗證論文方法在圖像去噪中的效果，采用MATLAB內(nèi)置函數(shù)信噪比(signal to noise ratio，簡稱SNR)和結(jié)構(gòu)相似性(structural similarity，簡稱SSIM)來評判復(fù)原結(jié)果.在通常意義下，SNR和SSIM值越大，表示去噪效果越好.此外，為了標(biāo)準(zhǔn)化圖像，在實驗中首先將初始圖像歸一化，然后使用MATLAB的內(nèi)置函數(shù)“imnoise”分別添加30%，50%，70%的椒鹽噪聲.

3.2 不同模型之間去噪結(jié)果比較

對于圖1中的前兩幅圖像(a)，(b)，分別加入30%,70%的椒鹽噪聲，得到信噪比分別為5.425 6,3.279 9 dB的含噪圖像.表1給出了客觀指標(biāo)對比，列出了不同噪聲水平下去噪圖像的SNR和SSIM值.圖2給出了主觀效果對比，列出了使用3種方法得到的去噪圖像以及局部區(qū)域放大圖.

表1 不同噪聲水平下復(fù)原圖Barbara和Boat的SNR,SSIM值

由表1可知，不管是在高噪聲還是低噪聲的情況下，論文所提模型ATVL1NN的SNR和SSIM值都明顯高于其他去噪模型，其中SNR值可高于其他方法0.34～1.43 dB.

為了更好地說明論文所提模型去噪效果的顯著性，圖2給出了視覺效果的主觀評定，其中第一行展示了復(fù)原圖像的去噪效果圖，第二行展示了復(fù)原圖像局部區(qū)域放大對比圖.由復(fù)原圖像可以明顯看出：經(jīng)TVL1去噪后的復(fù)原圖像雖能很好地去除噪聲，但卻將局部細(xì)節(jié)信息過于平滑，從對應(yīng)的局部放大區(qū)域能看到明顯的“階梯現(xiàn)象”，如Barbara的臉部以及Boat的桅桿過于模糊，紋理細(xì)節(jié)丟失嚴(yán)重；較TVL1相比，經(jīng)TVL1NN去噪后的復(fù)原圖像去噪效果有一定的改進(jìn)，這是因為用以控制噪聲稀疏性的L1正則項增強了核范數(shù)降維抗噪聲的性能，但還不能很好地刻畫細(xì)節(jié)信息，如局部放大圖桌布的紋理信息和桅桿的截斷現(xiàn)象.論文所提模型去噪效果是最好的，從局部區(qū)域放大圖可以明顯看出該模型充分保持了圖像紋理細(xì)節(jié)信息，如明顯看到桌布的斜條紋以及桅桿的方向信息.

圖2 Barbara和Boat圖像的主觀效果對比圖

對于圖1所剩兩幅圖像(c)～(d)，僅考慮加入50%椒鹽噪聲的去除問題，分別得到信噪比為4.568 1,4.802 5 dB的含噪圖像.表2給出了客觀指標(biāo)對比，列出了不同噪聲水平下去噪圖像的SNR和SSIM值.圖3給出了主觀效果對比，列出了使用3種方法得到的復(fù)原圖像以及原始圖像和復(fù)原圖像之間局部區(qū)域殘差圖.

表2 不同噪聲水平下House和Mandrill的SNR和SSIM值

由表2可知，論文所提方法在SNR和SSIM值上有明顯優(yōu)勢，SNR值高于其他方法0.3～0.5 dB.圖3為原始圖像和復(fù)原圖像之間的殘差圖.圖3的第一行表示所有對比模型的復(fù)原圖像，圖3(a)和(a1)顯示的圖像出現(xiàn)了“油畫”的視覺感受，這正是因為該模型中的梯度范數(shù)在圖像光滑漸變區(qū)域懲罰較小躍遷信息時導(dǎo)致的,圖3(b)～(c)，(b1)～(c1)整體視覺效果相差不大.下面將從殘差圖對其去噪效果進(jìn)一步說明.

對于殘差圖像而言，較亮的區(qū)域代表較大的誤差，較暗的區(qū)域代表較小的誤差.圖3的第二行表示所有對比模型復(fù)原圖像與原始圖像的殘差圖，與其他3種模型所示殘差圖相比，論文所提模型ATVL1NN顯示最暗的殘差圖，表明論文所提模型具有最好的去噪性能.

圖3 原始圖像和復(fù)原圖像之間的殘差圖

不管從客觀的數(shù)值結(jié)果還是主觀的視覺感受，論文所提模型都顯示了最好的去噪效果：不僅將大部分噪聲從圖像中去除，同時也很好地保留了圖像的紋理細(xì)節(jié)信息.

4 結(jié)束語

通過分析TV和低秩表示模型，針對它們的不足提出一種去椒鹽噪聲的新型圖像復(fù)原模型.該模型具有TV去噪模型的優(yōu)點，即可以更好地保持圖像邊緣信息，同時具有低秩表示模型的優(yōu)點，而低秩性能更好地刻畫圖像細(xì)節(jié)信息.同時該模型在梯度算子中引入不同的權(quán)重參數(shù)懲罰

x

與

y

方向上的微分，因此在復(fù)原圖像的過程中可以有效地保持圖像結(jié)構(gòu)特征.仿真實驗結(jié)果表明，論文所提模型的去噪效果明顯優(yōu)于其他幾個經(jīng)典的去噪模型，在去噪的同時保留更多的圖像細(xì)節(jié)與邊緣信息.