楊師杰

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

在經(jīng)典力學中，質(zhì)點的狀態(tài)由位置和動量(速度)(q,p)完整地描述，這樣一對物理量被稱作正則共軛量，它滿足哈密頓運動方程：

(1)

其中j=1,2,…,n代表n維空間獨立坐標.對于N質(zhì)點系統(tǒng)，由獨立變量(q,p)張開一個2nN維的相空間，相空間中的一點代表質(zhì)點系的一個完整狀態(tài)，質(zhì)點系的時間演化即為相空間里的一條軌跡.對于孤立系統(tǒng)，這條軌跡被約束在相空間中的等能面上.

量子力學的情況有所不同，由于位置和動量不是好物理量，不能用它們來描述微觀粒子的狀態(tài).我們設想仍然存在一個狀態(tài)量|ψ〉，它完備地描述粒子的全部物理性質(zhì)，那么需要解決下面幾個問題：1) 狀態(tài)量|ψ〉處于什么樣的空間中？2) 狀態(tài)量|ψ〉具有什么基本特性？3) 狀態(tài)量|ψ〉在該空間中隨時間如何演化？相對于經(jīng)典力學的相空間，量子系統(tǒng)所有可能的狀態(tài)集合構(gòu)成一個完備的復內(nèi)積空間，馮·諾依曼稱之為希爾伯特空間[1].所以狀態(tài)量|ψ〉是希爾伯特空間中的一個向量，它滿足線性疊加原理，并且保持歸一化條件：〈ψ|ψ〉≡1. 所有力學量都被視作對量子態(tài)進行線性變換操作的算符，該操作不會導致狀態(tài)量超出原來的希爾伯特空間，為此要求力學量都是自伴算符.

為了得到狀態(tài)量|ψ(t)〉隨時間演化的動力學方程，引入演化算符U(t,t0)，有

|ψ(t)〉=U(t,t0)|ψ(t0)〉

(2)

其中|ψ(t0)〉是t0時刻的狀態(tài)量.由于〈ψ(t)|ψ(t)〉=〈ψ(t0)|ψ(t0)〉=1，可知

U?(t,t0)U(t,t0)=1

(3)

即U(t,t0)必須是幺正算符，可表示為U(t,t0)=eiΛ(t,t0)，其中Λ=Λ?為厄米算符.現(xiàn)在考慮一個具有時間平移不變的系統(tǒng)，狀態(tài)量|ψ(t)〉應該具有什么形式呢？如果系統(tǒng)處于能量本征態(tài)，由于形式上狀態(tài)沒有任何改變，極有可能的情形是

|ψ(t)〉～e-iα(t-t0)|ψ(t0)〉

其中α是常量.經(jīng)典力學中具有時間平移不變的系統(tǒng)必定能量守恒，所以常量α可能與系統(tǒng)的能量E有關(guān).考慮到狀態(tài)向量的線性疊加原理——不同狀態(tài)可能具有不同的能量——常量α應該與系統(tǒng)的哈密頓量H有關(guān).我們可以合理地猜測狀態(tài)演化的一般式為 |ψ(t)〉=e-iH(t-t0)/?|ψ(t0)〉

(4)

普朗克常量?的出現(xiàn)是出于消除量綱的需要，這個常量出現(xiàn)得多么及時！沒有這個常量，時間平移的態(tài)演化幺正性假設就不能成立.如果哈密頓量含時，則一般的態(tài)演化方程應為

(5)

否則將導致關(guān)于時間的非線性演化.

如果上述猜測是正確的，那么很容易得到狀態(tài)量|ψ(t)〉滿足的動力學方程為

(6)

這就是薛定諤方程.至此，我們尚不知道哈密頓量H以及其他力學量算符具有何種形式.值得注意的是，該方程與哈密頓量的具體形式無關(guān)，它既適用于中心力場這類有經(jīng)典對應的力學系統(tǒng)，也適用于自旋這類沒有經(jīng)典對應的純量子系統(tǒng)，尤其是，它對于非相對論情形和相對論情形都同樣適用！

(7)

(8)

哈密頓算符的矩陣表示為

態(tài)演化方程(6)可寫成

所以系數(shù)的演化由矩陣方程描述：

(9)

下面討論表象及表象變換理論.以一維為例，位置算符x的本征方程為x|x〉=x|x〉

由位置基向量表示的空間稱作坐標表象.坐標表象下的量子態(tài)表示為

(10)

投影ψ(x,t)就是通常的波函數(shù).由歸一化條件〈ψ(t)|ψ(t)〉=1，可知

哥本哈根學派將|ψ(x,t)|2解釋為粒子在位置x出現(xiàn)的概率密度.

假設還存在另一個具有連續(xù)譜的算符p，其本征向量為|p〉:

p|p〉=p|p〉

根據(jù)δ函數(shù)的性質(zhì):

(11)

如果將p視作動量，由于px具有作用量的量綱[J·s]，普朗克常量?再一次及時出現(xiàn)，指數(shù)相因子應該除去?，即

(12)

(13)

它與坐標表象的波函數(shù)ψ(x,t)之間恰好構(gòu)成傅里葉變換！根據(jù)傅里葉變換的標度性定理可知，函數(shù)在位形空間的分布寬度與其在動量空間的分布寬度成反比ΔxΔk～1，即

ΔxΔp～?

(14)

所以被視作量子力學核心的不確定性原理，其實是表象變換蘊含的必然結(jié)果，它與量子態(tài)的演化動力學沒有內(nèi)在邏輯關(guān)系.需要特別指出的是，普朗克常量?可視作量子系統(tǒng)作表象變換的不變量，如同光速c被視作力學系統(tǒng)作洛倫茲變換的不變量，以及電荷e被視作電磁系統(tǒng)作規(guī)范變換的不變量.

將動量算符p作用在位置基向量上，有

-i?〈x′|x〉+x〈x′|p|x〉,

〈x′|xp|x〉=x′〈x′|p|x〉

→〈x′|xp-px|x〉=i?〈x′|x〉

表明算符x和p的泊松括號具有常數(shù)譜，所以它們滿足正則對易關(guān)系:

[x,p]=i?

(15)

坐標表象下的哈密頓算符為

態(tài)向量的演化方程表示為

即

(16)

這就是坐標表象下的薛定諤波動方程.

在量子力學中，所有的物理可觀測量都是希爾伯特空間中的自伴算符，A=A?.物理量的實驗測量值就是力學量算符在量子態(tài)下的平均值:

(17)

至此，我們已經(jīng)演繹了量子力學的基本框架.現(xiàn)在還剩下一項任務，那就是驗證薛定諤方程的合法性.我們要求由它得到的結(jié)果在?→0時，能夠無縫地過渡到經(jīng)典力學.在經(jīng)典力學中，力學量隨時間的演化滿足哈密頓運動方程：

(18)

其中{,}表示經(jīng)典泊松括號.當力學量算符不含時，其態(tài)平均值隨時間的演化方程為

(19)

(20)

可見力學量的量子運動方程和經(jīng)典運動方程在邏輯上是一致的.

梳理一下量子力學理論的脈絡，有以下兩條基本原理或假設：

1) 粒子的狀態(tài)由希爾伯特空間的歸一化態(tài)向量完備地描述，所有力學量都是作用于該空間的自伴算符；

2) 存在普朗克常量?，量子態(tài)隨時間的演化由|ψ(t)〉=e-iH(t-t0)/?|ψ(t0)〉決定，其中H是描述粒子的哈密頓量.

這兩條假設中的第1條是數(shù)學公理，第2條才是物理公理.量子力學理論的其他假設都可歸結(jié)于對數(shù)學概念與可觀測量之間關(guān)系的物理解釋.

我們再討論量子力學的路徑積分表示.費曼考慮粒子從A出發(fā)的粒子經(jīng)過所有路徑達到B的概率幅，他假設每條路徑貢獻一個與作用量成正比的相位[3]：

其中S[x(t)]為沿任意路徑x(t)的作用量.費曼基于此假設推導出薛定諤波動方程及整個路徑積分框架.我們現(xiàn)在從量子態(tài)的一般演化式(5)出發(fā)推演量子力學的路徑積分理論.將t0到t的時間等分為N段，tk=kΔt(k=1,2,…,N-1)，有

U(tB,tA)=

U(tB,tN-1)U(tN-1,tN-2)…U(tk,tk-1)…U(t1,tA)

則

K(B,A)=〈xB|U(t,t0)|xA〉=

〈xB|U(tB,tN-1)|xN-1〉〈xN-1|…

|xk+1〉〈xk+1|U(tk+1,tk)|xk〉…〈x1|U(t1,t0)|xA〉

當N→∞,Δt→0時，取一階近似

有

〈xk+1|U(tk+1,tk)|xk〉=

(21)

K(B,A)=

(22)

圖1 路徑積分

(23)

粒子傳播到B點的總概率幅是將所有可能時序路徑的概率幅疊加起來，用符號D[x(t)]表示為

(24)

這樣就得到了費曼的假設式(21)，注意此處丟棄了一個異常無窮大的歸一化因子(N→∞,Δt→0).在推導式(24)時，我們利用了高斯積分，它源于哈密頓量中能量與動量成二次函數(shù)關(guān)系，非此則傳播子表示為相空間的路徑積分形式[4]

(25)

假設宏觀粒子的經(jīng)典路徑為xcl(t)，令S[x(t)]=S[xcl(t)]+δS[x(t)]，由于?很小，偏離經(jīng)典路徑的相位δS[x(t)]/?導致概率幅急劇振蕩，不同路徑對概率幅貢獻互相抵消，所以經(jīng)典路徑滿足δS[x(t)]=0，即作用量S[x(t)]取極值的情形，這被稱作最小作用量原理.

(26)

可得相干態(tài)路徑積分的拉格朗日量為

(27)

對于量子自旋系統(tǒng)的路徑積分表示，相干態(tài)之間的內(nèi)積會導致一個幾何相位，通常稱作貝里相，它不是由哈密頓量決定，但可以影響系統(tǒng)的動力學行為.比如自旋-1/2系統(tǒng)H=B·S，取相干態(tài)|n〉=|z〉，采用旋量表示：

(28)

其傳播子為[5]

(29)

其中

(30)

S[n(t)]=-∮BnSdt+

(31)

其中D是閉合路徑對應的球面區(qū)域.

路徑積分方法對于討論多粒子相互作用的系統(tǒng)顯示出極強的實用性，它將不同自由粒子及其相互作用的作用量簡單地加起來即可

Stot=Sfree+Sint+…

(32)

這種形式十分便利于發(fā)展量子場和有限溫度量子統(tǒng)計理論.考慮單粒子配分函數(shù)的路徑積分表示:

(33)

其中β=1/T是溫度的倒數(shù)，其中K(xB,xA,β)≡〈xB|e-βH|xA〉可視做沿著虛時的傳播函數(shù)，按照相似的推導，可得相空間的路徑積分:

K(xB,xA,τ)=

(34)

于是配分函數(shù)為

(35)

其中x(0)=x(β),p(0)=p(β)，即可以把虛時方向看作是閉合的，通過解析延拓可化為實時傳播函數(shù)

K(xB,xA,τ)|τ=it=iK(xB,xA,t)

(36)

致謝：作者感謝郭文安教授的許多討論和評論.