樓晨煊，周婧琳，鄭雪瑤，劉珂溦，羅丹楠，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

在研究轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí)，剛體的慣性張量是一個(gè)重要的參量. 在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，慣性張量的測(cè)量一般只限于剛體繞某固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 對(duì)于質(zhì)量分布情況未知的剛體，至少需要測(cè)量六個(gè)繞不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才可以得到完整的慣性張量[1].

目前利用手機(jī)傳感器測(cè)定剛體某個(gè)方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已是比較成熟的物理實(shí)驗(yàn)[2,3]. 事實(shí)上，手機(jī)陀螺儀傳感器可以同時(shí)記錄手機(jī)(作為一個(gè)剛體)3個(gè)方向的角速度變化曲線，可利用這個(gè)便利性研究剛體的三維轉(zhuǎn)動(dòng). 本文討論一種測(cè)量手機(jī)慣性張量(相對(duì)值)的測(cè)量方法. 這個(gè)方法只需要以不同初始角速度釋放手機(jī)，利用phyphox軟件記錄手機(jī)在空中下落并自由轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的角速度變化曲線，然后利用質(zhì)心系中的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能守恒與總角動(dòng)量守恒，就可以計(jì)算出手機(jī)慣性張量各矩陣元的相對(duì)大小. 這個(gè)方法的一大優(yōu)點(diǎn)是:由于轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與總角動(dòng)量都是標(biāo)量，在數(shù)據(jù)處理中可以避開繁瑣的坐標(biāo)變換計(jì)算.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 簡(jiǎn)化慣性張量

剛體的慣性張量通常表示為以下的3×3對(duì)陣矩陣，

(1)

因?yàn)槭謾C(jī)幾何對(duì)稱性好，質(zhì)量分布大致均勻，不妨先僅假設(shè)M的非對(duì)角元素為零，即

(2)

這里為方便起見，已將Ixx、Iyy,、Izz分別簡(jiǎn)記為Ix、Iy、Iz.

在自由落體運(yùn)動(dòng)過程中，如果忽略空氣阻力，手機(jī)在質(zhì)心系中滿足轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能守恒與總角動(dòng)量守恒[4]. 設(shè)phyphox軟件在一次自由落體運(yùn)動(dòng)過程中記錄到的角速度矢量為

(3)

其中k=1, 2, 3, … ,N為數(shù)據(jù)點(diǎn)編號(hào). 質(zhì)心系中的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和總角動(dòng)量的平方可以表示為

(4)

(5)

先考慮轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能守恒.可把極小化的目標(biāo)函數(shù)定為

(6)

容易證明，當(dāng)該目標(biāo)函數(shù)取極小值時(shí)，

(7)

這樣目標(biāo)函數(shù)可化簡(jiǎn)為

(Ix,Iy,Iz)A(Ix,Iy,Iz)T

(8)

其中

(9)

(10)

a=x、y、z.類似地,總角動(dòng)量平方守恒對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(11)

(12)

(αe11+βe21)2e31+(αe12+βe22)2e32+

(αe13+βe23)2e33=0

(13)

pγ2+2qγ+w=0

(14)

其中

q=e11e21e31+e12e22e32+e13e23e33,

(15)

γ至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)解. 此外，由于三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平方和為1,如果用到的3個(gè)特征向量已經(jīng)歸一化,則要求α2+β2=1. 考慮到Ix、Iy、Iz>0,上面的方程組至多有兩個(gè)物理上合理的解，容易根據(jù)實(shí)際情況選擇正確的解. 需要指出的是：由于矩陣A的形式并不依賴于轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與總角動(dòng)量的大小,為了減小測(cè)量的隨機(jī)誤差,可以記錄多次落體運(yùn)動(dòng),先計(jì)算每條軌道測(cè)量的A,然后把結(jié)果相加,用所得矩陣進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算.

1.2 完整慣性張量

如果考慮慣性張量的非對(duì)角元，k時(shí)刻手機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和總角動(dòng)量平方可以表示為

(16)

假設(shè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(17)

其中sE、sJ為權(quán)重系數(shù),下面為簡(jiǎn)單起見,取sE=2,sJ=1/2.

類似前面的推導(dǎo)，先對(duì)E和J2求極值，目標(biāo)函數(shù)可以表示為

(18)

其中

(19)

(20)

除了對(duì)稱性MT=M，可要求M滿足Tr(M2)=1. 注意現(xiàn)在可以把不同軌道的數(shù)據(jù)合并,得到更全面的目標(biāo)函數(shù)，即每條軌道的數(shù)據(jù)獨(dú)立計(jì)算出一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，再把所有結(jié)果相加.為簡(jiǎn)單起見，下面的公式略去了對(duì)不同軌道的求和.目標(biāo)函數(shù)的梯度可以表示為

(21)

為使得Tr(M2)=1, 梯度方向應(yīng)修正為

(22)

2 實(shí)驗(yàn)方法

2.1 坐標(biāo)軸的確定

打開phyphox軟件,將手機(jī)分別繞長(zhǎng)寬高轉(zhuǎn)動(dòng)，監(jiān)視陀螺儀角速度數(shù)據(jù). 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)手機(jī)繞短邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，y軸有明顯的數(shù)據(jù)變化，另外兩個(gè)方向數(shù)據(jù)幾乎為0，因此判斷手機(jī)長(zhǎng)邊的方向?qū)?yīng)y軸. 類似地可確定x軸和z軸，結(jié)果如圖1所示.

圖1 phyphox與質(zhì)心系坐標(biāo)

2.2 角速度測(cè)量

打開phyphox軟件中的陀螺儀模塊，設(shè)置定時(shí)運(yùn)行，0.5 s后開始測(cè)量. 運(yùn)行后將手機(jī)從高處釋放，使其自由下落到柔軟的平面上. 為豐富測(cè)量數(shù)據(jù),每次盡可能給手機(jī)一個(gè)不同的初始角速度. 最后截取出手機(jī)在空中自由轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的數(shù)據(jù)用于后面的分析.

2.3 阻尼修正

圖2 修正前后的能量，角動(dòng)量平方隨時(shí)間變化圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 簡(jiǎn)化的慣性張量

表1 慣量矩陣對(duì)角元素相對(duì)值

3.2 計(jì)算完整慣性張量

將記錄的18條角速度曲線進(jìn)行阻尼修正，按照2.2中的方法，在Matlab中編寫程序進(jìn)行計(jì)算.可以將上一步中計(jì)算得到的對(duì)角元作為初始值,以加快收斂.

18組數(shù)據(jù)得出的慣性張量結(jié)果為

為評(píng)估各個(gè)矩陣元的誤差大小，將這18組數(shù)據(jù)分為三組，分別利用相同方法求解出相對(duì)慣量矩陣，結(jié)果如下.

基于這3次結(jié)果,估計(jì)各個(gè)矩陣元的不確定度，結(jié)果為

3.3 結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性，可以將手機(jī)近似認(rèn)為質(zhì)量均勻分布的長(zhǎng)方體剛體，根據(jù)測(cè)量得到的長(zhǎng)度參數(shù)，計(jì)算三個(gè)對(duì)角元的相對(duì)值. 手機(jī)的長(zhǎng)寬高分別為155.3 mm，75.0 mm，7.5 mm，根據(jù)

計(jì)算得到

結(jié)果均和前文測(cè)量結(jié)果吻合較好.

在上述測(cè)量、計(jì)算方法過程中，將角動(dòng)量的平方作為一個(gè)守恒量. 事實(shí)上，角動(dòng)量本身也是一個(gè)守恒量，而歐拉動(dòng)力學(xué)則描述了這個(gè)過程:

(23)

注意角加速度只與慣性矩陣的相對(duì)大小有關(guān). 將測(cè)量的慣性矩陣代入歐拉動(dòng)力學(xué)方程的三個(gè)分量式中，計(jì)算出角加速度曲線. 同時(shí),對(duì)測(cè)得的角速度-時(shí)間曲線，取相鄰的5個(gè)點(diǎn)進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，求得中間點(diǎn)的斜率作為此時(shí)的角加速度,得到實(shí)測(cè)角加速度曲線. 圖3和圖4給出在兩條軌道上得到的兩種角加速度結(jié)果. 圖中‘×’表示實(shí)測(cè)的角加速度值，實(shí)線為由歐拉方程計(jì)算得到的角加速度. 可以看到，兩種方法計(jì)算得到的三個(gè)方向上的角加速度基本一致，這進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法所得慣性張量的可靠性.

圖3 角加速度-時(shí)間曲線1

圖4 角加速度-時(shí)間曲線2

4 總結(jié)

本文利用質(zhì)心系中的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能守恒和角動(dòng)量守恒,從一條或多條剛體自由下落軌道的角速度曲線計(jì)算了剛體的慣性矩陣. 目前利用了手機(jī)陀螺儀和phyphox軟件測(cè)量了手機(jī)的慣性矩陣. 原則上,使用無線陀螺儀模塊,也可以對(duì)其它剛體進(jìn)行測(cè)量. 這種方法利用較多的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律和數(shù)據(jù)處理方法,對(duì)剛體動(dòng)力學(xué)和物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)都有一定的參考意義.