韓潤澤

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

海市蜃樓，又稱蜃景，是光線經(jīng)過不同折射率的介質(zhì)層發(fā)生連續(xù)折射或者發(fā)生全反射時(shí)出現(xiàn)的一種光學(xué)現(xiàn)象.

蜃景成因的主流觀點(diǎn)是光線經(jīng)過多次折射，入射角不斷增大，最后出現(xiàn)全反射改變光路方向[1,2]，也有觀點(diǎn)認(rèn)為上現(xiàn)蜃景是由于掠入射導(dǎo)致的鏡反射引起的[3].人造蜃景的方法主要是利用自由擴(kuò)散法[4-7]，且大多數(shù)文獻(xiàn)只是通過擴(kuò)展光源照射得到蜃景為止，暫無通過激光顯示光路來驗(yàn)證蜃景形成原因的.

蜃景常見的是上現(xiàn)蜃景、下現(xiàn)蜃景和復(fù)雜蜃景.復(fù)雜蜃景是變形的上現(xiàn)、下現(xiàn)蜃景以及一些其他蜃景(如側(cè)向蜃景)的復(fù)雜疊加[8].本文將以上現(xiàn)蜃景為例進(jìn)行理論和實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，得到蜃景形成的一般原理.

1 光在介質(zhì)中傳播基本理論

1.1 光線軌跡理論推導(dǎo)

大氣層分成同心球殼,每一球殼的折射率認(rèn)為相同, 在任意相鄰的兩個(gè)球殼的分界面上, 發(fā)生折射現(xiàn)象.

由菲涅耳定律，設(shè)入射處折射率為n0，入射角為θ0.第i層的折射率為n(y)，入射角為θ(x,y)，有

即有

(1)

以射入點(diǎn)為原點(diǎn)，沿容器向上開口為y軸正方向.在垂直于y軸的平面內(nèi)，沿光線在該平面上的投影的方向?yàn)閤軸建立坐標(biāo)系.如圖1所示.

圖1 光線傳播軌跡示意圖

在y處的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為

代入式(1)得

(2)

通過2.2節(jié)配置溶液的方法，n(y)滿足

(3)

折射率漸變?nèi)芤?其中a、b為溶質(zhì)決定的參數(shù)；M0%為起始溶液的質(zhì)量百分?jǐn)?shù)；S、V為與裝置有關(guān)的常量. 記

(4)

n0sinθ0=E

(5)

(6)

由全反射限制，取E>a積分得

C為積分常量. 條件入射點(diǎn)(0,y0),積分得

稱為光線方程. 式(7)中

(8)

(9)

a、b、β、E由式(3)、(4)、(5)決定.

由反三角函數(shù)定義域, 得

(10)

則y的最大值ym恰為光線發(fā)生全反射時(shí)的y值. 即n(ym)sin90°=n0sinθ0. 代入ym，得到對(duì)應(yīng)的全反射處的x值滿足

(11)

1.2 一種特定折射率漸變?nèi)芤旱某上褚?guī)律

由NaCl溶液折射率n與其質(zhì)量百分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)公式[9]，得到式(3)中的參數(shù)：

a=1.333 1±0.000 5;

b=0.001 85±0.000 03

(12)

并取β=7.955/m,M0=16.

激光以不同入射角從y0=0.03m處射入溶液，光線發(fā)散，所成像為在特定觀察點(diǎn)的光線切線的交點(diǎn)，故為虛像. 用Matlab模擬入射光線在溶液中的光路及物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的成像點(diǎn)，如圖2所示. 盛放配置溶液的容器長1m，物貼在容器一側(cè)的器壁上，人在另一側(cè)觀察.

觀測點(diǎn)的橫坐標(biāo)一定時(shí)，對(duì)于物體的兩端分析，探究成像情況. 由于光射出容器后沿直線傳播，且觀測人眼離容器壁很近，故取觀測點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0=1m，物點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為y0=0.03,0.09m. 箭頭所指的圈中為對(duì)應(yīng)物點(diǎn)的像點(diǎn)位置，如圖2所示.

圖2 改變物點(diǎn)縱坐標(biāo)模擬成像位置

通過圖2可知，物點(diǎn)越高像點(diǎn)越高，所以不論物的縱坐標(biāo)在何處，只要光線透過溶液且切線的交點(diǎn)近似為一點(diǎn)，得到的都是正立的虛像.

2 光在非均勻介質(zhì)中傳播的實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

改進(jìn)指數(shù)分布法配置溶液裝置示意圖如圖3所示.由四部分組成，分別是水管、混合槽、觀景槽、內(nèi)外雙層開縫塑料管. 水管通入可調(diào)恒定水流，通過調(diào)節(jié)水流流量與混合槽流出水流流量相等來使混合槽水位不變. 混合槽實(shí)驗(yàn)前裝入配置好的已知初始質(zhì)量百分?jǐn)?shù)的溶液，高度適宜.

圖3 配置裝置示意圖

觀景槽實(shí)驗(yàn)前調(diào)平，以保證折射率分界面水平.在實(shí)驗(yàn)開始前，觀景槽內(nèi)放入緩沖板.緩沖板是與觀景槽槽底等大的打孔泡沫板，可以漂浮在水面上，一定程度上使水流相對(duì)平穩(wěn)落入觀景槽.

在混合槽一側(cè)的水龍頭加上內(nèi)外雙層開縫塑料管(剖面圖如圖4所示)，內(nèi)部小口徑塑料管上側(cè)開口，保證其灌滿后再均勻溢出.外部大口徑塑料管下側(cè)開多個(gè)槽使溶液流出. 水龍頭與塑料管的規(guī)格大小為：內(nèi)管外徑和外管內(nèi)徑與水龍頭的內(nèi)外徑恰好相同，避免水的泄漏.實(shí)驗(yàn)開始前，內(nèi)外雙層開縫塑料管的末端需要封住，避免實(shí)驗(yàn)時(shí)溶液外流.

圖4 內(nèi)外雙層開縫塑料管剖面圖

2.2 配置觀景槽溶液的原理及步驟

水管和水龍頭流量相等，記為Φ.混合槽內(nèi)裝入質(zhì)量百分?jǐn)?shù)為M0，體積為V的食鹽水. 設(shè)t時(shí)刻混合槽內(nèi)鹽水質(zhì)量百分?jǐn)?shù)為M(t)，dt時(shí)間內(nèi)槽內(nèi)食鹽的增量為VdM，從混合槽排出的鹽水質(zhì)量百分?jǐn)?shù)也為M(t)，dt時(shí)間內(nèi)從混合槽排出鹽量為Φdt·M.在混合槽內(nèi)食鹽增量就等于該槽食鹽的排出量，因此有

VdM=-Φdt·M

(13)

(14)

(15)

令t時(shí)刻觀景槽鹽水的高度為y，底面積為S，則

(16)

聯(lián)立式(15)、式(16),得

(17)

其中M%為混合槽內(nèi)鹽水質(zhì)量百分?jǐn)?shù)，S為觀景槽的底面積，V是混合槽中液體的體積，M0%為混合槽中溶液初始質(zhì)量百分?jǐn)?shù)，對(duì)于食鹽水一般是10～20%[10].

2.3 實(shí)驗(yàn)步驟

1) 按圖3擺放實(shí)驗(yàn)裝置，保證觀景槽高度適宜觀看.

2) 打開水管和混合槽水龍頭，調(diào)整二者流量使混合槽內(nèi)水位達(dá)到不隨時(shí)間改變.關(guān)閉水管和水龍頭，倒出混合槽內(nèi)的水并擦拭干凈.

3) 在混合槽內(nèi)注入鹽水，質(zhì)量百分?jǐn)?shù)M0=20左右.標(biāo)記混合槽水位，保證配置過程高度不變.

4) 同時(shí)打開水管和混合槽水龍頭.用攪拌棒在混合槽內(nèi)不斷攪拌.目視混合槽標(biāo)記處，保證混合槽水位高度不變.

6) 去掉除觀景槽以外的所有裝置，配置完成.

2.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提取方法

配置完溶液后，激光如圖5方式斜入射，之后用Tracker軟件提取照片中光路的數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析. 提取數(shù)據(jù)點(diǎn)具體方法如下.

1) 用win10電腦自帶的圖片轉(zhuǎn)視頻功能，將一張如圖5的光路照片轉(zhuǎn)為時(shí)長約為30 s的MP4文件.

圖5 激光筆斜上入射

2) 打開Tracker，導(dǎo)入轉(zhuǎn)換好的MP4文件.

3) 建立坐標(biāo)系，設(shè)定定標(biāo)尺和質(zhì)點(diǎn). 把原點(diǎn)設(shè)置在視頻中長方體容器左下角，坐標(biāo)系x軸與容器底邊重合. 利用定標(biāo)尺，把容器長度定為1 m. 點(diǎn)擊工具欄中的創(chuàng)建質(zhì)點(diǎn)，按住Shift鍵出現(xiàn)一個(gè)小方框，將方框中心置于y軸上的光線入射點(diǎn). 點(diǎn)擊之后就將質(zhì)點(diǎn)A創(chuàng)建在了方框正中心.

4) 手動(dòng)逐幀在光線上標(biāo)定質(zhì)點(diǎn)，每點(diǎn)一次鼠標(biāo)就會(huì)標(biāo)定一幀，每幀質(zhì)點(diǎn)都在上一幀基礎(chǔ)上右移3 mm左右，直到把整個(gè)光線標(biāo)定出來.

5) 將提取的x,y坐標(biāo)導(dǎo)入Excel，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.

如圖6所示，將提取的數(shù)據(jù)點(diǎn)還原光路，與理論計(jì)算光路對(duì)比可初步判斷理論的可靠性.其中誤差棒表示的是每一點(diǎn)測量的不確定度，可以看到誤差棒的數(shù)量級(jí)為1 mm.

圖6 一次實(shí)驗(yàn)的理論與實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)照?qǐng)D

圖7為物點(diǎn)縱坐標(biāo)為y0=0，觀測點(diǎn)橫坐標(biāo)x0=0.3 m，即與圖6實(shí)驗(yàn)參數(shù)吻合情況下理論模擬的不同入射角的光線和成像位置. 箭頭所指的圈為像點(diǎn)位置.該處成像原理并不是全反射，而是光線的過度折射.

圖7 在真實(shí)實(shí)驗(yàn)參數(shù)下的光線和成像圖

2.5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

B=PA

(18)

記A、B正比關(guān)系擬合的斜率為k，則

(19)

選用斜率k作為對(duì)照理論值與實(shí)驗(yàn)值的依據(jù).

(20)

的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，同時(shí)設(shè)置截距為0.

這個(gè)限制嚴(yán)格來說會(huì)導(dǎo)致全反射之后的光線無法與文中理論直接對(duì)照，但是由于光路的對(duì)稱性，只考慮全反射之前的理論實(shí)驗(yàn)對(duì)照依然是可行的.

實(shí)驗(yàn)中靠上層的溶液與計(jì)算得到的溶液質(zhì)量百分?jǐn)?shù)符合度較低，主要原因是溶液越靠上，相鄰層的變化越小，擴(kuò)散作用會(huì)導(dǎo)致上層幾乎變?yōu)榫鶆蛉芤?，折射率沒有變化，故而光線進(jìn)入該區(qū)域后不再向下彎折.

2.6 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

條件為：β=8.594/m,y0=0,x0=1 m,a=1.333 1,b=0.001 85,M0=16,ρ=1.116 g/cm3[11]，改變?nèi)肷浣沁M(jìn)行實(shí)驗(yàn). 斜率k的理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)照見表1，圖8為入射角θ0=85.64°條件下B-A圖. 可以看出，各次實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差都是比較小的.

表1 改變?nèi)肷浣铅?時(shí)斜率k的理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)照

圖8 θ0=85.64°條件下B-A正比關(guān)系擬合圖

2.7 誤差分析

實(shí)驗(yàn)中直接測量的物理量為：觀景槽的長p，觀景槽的寬q，射入點(diǎn)縱坐標(biāo)y0，配置食鹽水的食鹽質(zhì)量mNaCl，水的體積Vwater，構(gòu)成射入角的短邊h，長邊d，標(biāo)定點(diǎn)的坐標(biāo)x、y.

直尺測量物理量為p、q、y0、h、d，不確定度為

(21)

(22)

代入數(shù)據(jù)計(jì)算得u(θ)的數(shù)量級(jí)為10-3rad，故記u(θ)=0.001 rad；mNaCl由機(jī)械天平測量且除食鹽外含有0.2%雜質(zhì)(如KCl，I等)，故記不確定度u(mNaCl)=5g，Vwater由量筒測量，不確定度u(Vwater)=5ml.

用2.4節(jié)提取數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法，x、y數(shù)據(jù)精度主要受Tracker內(nèi)置算法，手動(dòng)標(biāo)點(diǎn)誤差以及照片視差的影響. 查閱Tracker參考手冊得到信息：當(dāng)照片像素高時(shí)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)誤差很小，雖然沒有給出具體數(shù)據(jù)，但由Tracker可以適用于測量單縫衍射[12]，有理由估算上述三種誤差帶來的極限誤差和不超過1 mm.故u(x)=u(y)=1 mm.

由式(12),得u(a)=0.000 5,u(b)=0.000 03，將上述所有不確定度合成，代入不確定度計(jì)算公式

(23)

其中

(24)

(25)

(α=p,q,y0,a,b,mNaCl,Vwater,θ), 得到的不確定度如下表.

表2 改變?nèi)肷浣铅?的斜率k實(shí)驗(yàn)不確定度

由于理論計(jì)算得到的值基本上在實(shí)驗(yàn)值的2σ區(qū)間內(nèi)，所以實(shí)驗(yàn)結(jié)果是比較可靠的.

溶液從內(nèi)外雙層開縫塑料管落入觀景槽時(shí)不可避免會(huì)對(duì)配制溶液產(chǎn)生擾動(dòng)，得到的溶液與理論計(jì)算有差異.這個(gè)差異是不可控的，而且是主要誤差來源.

3 討論

首先討論激光熱效應(yīng)的影響. 通過估算，在實(shí)驗(yàn)時(shí)間內(nèi)水升高的溫度小于ΔT=0.36℃，在這個(gè)溫度變化范圍內(nèi)，折射率的變化為10-5數(shù)量級(jí)[13]，而配制溶液折射率精度為10-3，故激光熱效應(yīng)帶來的影響可以忽略不計(jì).

其次討論配置溶液的穩(wěn)定性和溶液的橫向折射率對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響. 由于食鹽溶液的折射率不易無接觸測量，而溶液的穩(wěn)定性與溶質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)有關(guān)，考慮到食鹽和葡萄糖的擴(kuò)散系數(shù)均為10-9數(shù)量級(jí)，我選擇利用葡萄糖的旋光性測量相同折射率漸變葡萄糖溶液的折射率.

一是在5處豎直方向坐標(biāo)不同的位置用消光法多次測定濃度(如圖9)，二是在同一高度測量多處濃度. 偏振片A不動(dòng)的情況下，消光偏振片B角度變化小于1°. 由葡萄糖溶液濃度和折射率經(jīng)驗(yàn)公式得到[14,15]，折射率變化量為1.4*10-5(20 ℃)，配置溶液折射率精度為10-3，故在實(shí)驗(yàn)過程中自由擴(kuò)散影響和橫向折射率的影響均可忽略不計(jì).

圖9 旋光法測溶液濃度示意圖

4 總結(jié)

用激光照射有折射率漸變流體，光路為

對(duì)于折射率n與高度y滿足式(3)的溶液，從(0,y0)入射，光路方程為

其中P、Q、a、β、E由式(8)、(9)、(12)、(4)、(5)決定.

由于負(fù)指數(shù)梯度的折射率變化與大氣類似[16]，所以通過溶液成像的模擬和實(shí)驗(yàn)可以歸納上現(xiàn)蜃景的總體規(guī)律：上現(xiàn)蜃景物和像大小關(guān)系不能確定，且大部分為正立虛像，