徐 蕾，李可妤，鐘 鳴

(南京師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

將鎳鈦合金線圈套在2個(gè)大小不同且相距一定距離的滑輪上，把較小的滑輪浸入熱水中，鎳鈦合金絲能夠帶動(dòng)滑輪轉(zhuǎn)起來(lái)，從而構(gòu)成了簡(jiǎn)易的發(fā)動(dòng)機(jī)[1]. 本文從理論出發(fā)分析這一發(fā)動(dòng)機(jī)的工作原理，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)理論進(jìn)行驗(yàn)證，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究相關(guān)參量對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)性能的影響，并給出相應(yīng)的解釋.

1 模型建立與理論分析

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

簡(jiǎn)易發(fā)動(dòng)機(jī)裝置如圖1(a)所示，將滑輪嵌在亞克力板上并保持一定間距，用鎳鈦合金絲線圈套在2個(gè)滑輪上，構(gòu)成簡(jiǎn)易的發(fā)動(dòng)機(jī). 發(fā)動(dòng)機(jī)用鐵架臺(tái)固定，下方放置裝有熱水的燒杯，用保溫材料包裹燒杯減小散熱. 圖1(b)是這一實(shí)驗(yàn)裝置的簡(jiǎn)化示意圖. 當(dāng)熱水達(dá)到一定溫度時(shí)，施加微小的擾動(dòng)(用手給滑輪非常小的角速度)后，發(fā)動(dòng)機(jī)將持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).

通過(guò)對(duì)金屬絲與滑輪的追蹤分析，發(fā)現(xiàn)在穩(wěn)定勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下，金屬絲與滑輪貼合，無(wú)相對(duì)位移，只有將半徑較小的滑輪浸入熱水中才能使得發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng).

1.2 原理分析

鎳鈦合金是形狀記憶合金，加熱后能消除其在低溫時(shí)的變形，恢復(fù)其原始形狀；在一定溫度區(qū)間內(nèi)，其彈性模量會(huì)隨著溫度增大而增大，且非常明顯[2-5]. 因此，合金線圈浸入熱水中的部分會(huì)變直，并有較大的彈性模量.

(a)實(shí)物照片 (b)示意圖圖1 實(shí)驗(yàn)主體裝置與示意圖

在圖2(a)中，對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)施加微小的擾動(dòng)，假設(shè)此擾動(dòng)使滑輪沿著逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)微小角度，則一部分合金絲將進(jìn)入熱水中受熱，其彈性模量變大，如圖2(b)中黃色部分所示；相應(yīng)的，另一部分合金絲進(jìn)入空氣中冷卻，其彈性模量變小，如圖2(b)中藍(lán)色部分所示. 彈性模量的變化導(dǎo)致了合金絲的彎矩差，其彎矩為正，使滑輪繼續(xù)克服外界阻力并保持逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)[5].

(a) (b) (c)圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程示意圖

(a) (b)圖3 線圈受力與彎矩分析圖

考慮到兩側(cè)的剪切力在法向上有一定的角度差dθ=dl/R，因此兩側(cè)剪切力在切向上的合力為Fsdθ,切向的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

其中，彎矩M可用彈性模量E、合金絲半徑r以及線圈的曲率半徑R表示為

(3)

由于線圈的重力相對(duì)于彎矩力非常小，可以忽略不計(jì)，將式(2)和式(3)代入式(1)中，可以得到微分方程

(4)

∮dT=0.

(5)

由此可得

(6)

這里的∮dfτ就是發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)外輸出的力Fout，而由于合金絲半徑r(約0.4 mm)相對(duì)于線圈曲率半徑(大于小滑輪半徑32 mm)可忽略，因此做進(jìn)一步分析時(shí)可以將式(6)簡(jiǎn)化為

(7)

如圖4所示，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)分為上下2個(gè)部分，上部分處于低溫?zé)嵩?，下部分處于高溫?zé)嵩矗瑢?部分對(duì)外輸出的力分別記為Fout1，F(xiàn)out2，2個(gè)滑輪半徑記為R1，R2，將未貼合在滑輪上的線圈部分的曲率半徑理想化為無(wú)窮大(即為直的). 此時(shí)有：

(8)

圖4 定性分析示意圖

若R10，使得發(fā)動(dòng)機(jī)繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

若R1>R2，則Fout1-Fout2<0，那么此時(shí)彎矩差提供的力成為阻礙發(fā)動(dòng)機(jī)工作的力.

因此，只有當(dāng)半徑較小的滑輪浸入熱水中時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)才能保持工作狀態(tài).

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果討論

2.1 鎳鈦合金絲彈性模量的變化

為驗(yàn)證上述理論，對(duì)實(shí)驗(yàn)中使用的鎳鈦合金絲的彈性模量進(jìn)行測(cè)量[6-7]，設(shè)計(jì)了如圖5所示的實(shí)驗(yàn)裝置，將金屬絲繞過(guò)半徑為R0的滑輪，并且兩端固定. 以右側(cè)金屬絲與滑輪的切點(diǎn)為中心點(diǎn)，由于下端金屬絲被彎曲，因此會(huì)產(chǎn)生力矩使右端整段金屬絲順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，將力傳感器掛鉤垂直鉤住鎳鈦金屬絲，掛鉤將給予金屬絲向左的力以使其達(dá)到平衡. 因此力傳感器的掛鉤將受到這根金屬絲的彎矩帶來(lái)的力F，力傳感器掛鉤的接觸點(diǎn)與金屬絲和滑輪的切點(diǎn)相距為l.

將滑輪下部浸入熱水中，熱水逐漸冷卻，隨著水溫的變化金屬絲的彈性模量也相應(yīng)變化，通過(guò)力傳感器采集相應(yīng)溫度下對(duì)應(yīng)的彎矩力的數(shù)據(jù). 實(shí)驗(yàn)使用的力傳感器可以在1 s內(nèi)采集100次數(shù)據(jù)，對(duì)其取平均值以提高測(cè)量的準(zhǔn)確性.

(a) (b)圖5 測(cè)量彈性模量的裝置圖

彈性模量是溫度T的函數(shù)，即E=E(T). 由力矩平衡得

(9)

由上式可知F∝E(T)，其中E(T)可以用Logistic生長(zhǎng)模型描述，因此F與T的關(guān)系也可以用Logistic生長(zhǎng)模型描述[4]. 傳感器采集完數(shù)據(jù)后用此生長(zhǎng)模型對(duì)F和T進(jìn)行擬合，得到的結(jié)果如圖6所示，實(shí)驗(yàn)擬合效果良好，同時(shí)也與實(shí)際中的鎳鈦合金材料相契合，這種方法具有一定的合理性與準(zhǔn)確度.

由此得到實(shí)驗(yàn)中所用的金屬絲的彈性模量與溫度的關(guān)系：

(10)

當(dāng)溫度在57 ℃左右時(shí)，彈性模量的變化最快，將55～62 ℃稱為彈性模量變化的“敏感期”.

圖6 拉力隨溫度的變化圖象

2.2 發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速

為了探究發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速與相關(guān)參量的關(guān)系[8]，使用轉(zhuǎn)速計(jì)來(lái)測(cè)量滑輪的轉(zhuǎn)速，每個(gè)實(shí)驗(yàn)測(cè)量20組數(shù)據(jù). 另外，將溫度計(jì)插入熱水表面下方，測(cè)量鎳鈦合金絲浸入部分的熱水溫度.

2.2.1 溫度對(duì)轉(zhuǎn)速的影響

熱水從90 ℃逐漸冷卻，每冷卻2 ℃進(jìn)行一次轉(zhuǎn)速測(cè)量，得到結(jié)果如圖7所示.

圖7 轉(zhuǎn)速隨溫度的變化圖

隨著溫度的升高，轉(zhuǎn)速先增大(52～66 ℃)，后減小(66～70 ℃)，逐漸保持在一定范圍內(nèi).

當(dāng)溫度低于一定值時(shí)(實(shí)驗(yàn)中約為50 ℃)，鎳鈦金屬絲無(wú)法達(dá)到相變溫度，或者相變程度非常小，導(dǎo)致彈性模量變化微小，因此發(fā)動(dòng)機(jī)無(wú)法轉(zhuǎn)動(dòng). 溫度逐漸升高，其彈性模量的變化逐漸增大，由式(7)可知，此時(shí)彎矩差提供的力逐漸增大，因此滑輪轉(zhuǎn)速上升.

當(dāng)溫度達(dá)到約66 ℃時(shí)轉(zhuǎn)速最大，進(jìn)一步增大溫度，轉(zhuǎn)速反而下降的主要原因是：在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，熱水的溫度升高會(huì)導(dǎo)致水面上方的溫度升高，所以需要考慮水面上方的金屬絲彈性模量的變化. 對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見(jiàn)，當(dāng)水溫達(dá)到66 ℃后，熱水中的金屬絲已經(jīng)經(jīng)歷了彈性模量變化的“敏感期”. 反觀水面上方的金屬絲，由于溫度低于水溫，金屬絲正在經(jīng)歷“敏感期”，從而導(dǎo)致這一區(qū)域的金屬絲的彈性模量差減小，即彎矩差的減小，導(dǎo)致轉(zhuǎn)速下降.

當(dāng)水溫達(dá)到70 ℃后，則這一區(qū)域的金屬絲都已經(jīng)歷“敏感期”，彈性模量隨溫度的變化較小，產(chǎn)生的彎矩差達(dá)到極限. 因此，轉(zhuǎn)速基本平穩(wěn).

2.2.2 浸水深度對(duì)轉(zhuǎn)速的影響

保持其他參量不變，改變下方滑輪浸入熱水的深度，以研究浸水深度對(duì)轉(zhuǎn)速的影響，如圖8所示，隨著浸水深度逐漸增加，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速先增大后減小.

圖8 轉(zhuǎn)速隨浸水深度的變化圖

對(duì)比圖9(a)與圖9(b)可知，更長(zhǎng)的鎳鈦金屬絲產(chǎn)生的彎矩差會(huì)導(dǎo)致更大的驅(qū)動(dòng)力，而更進(jìn)一步增加金屬絲浸水深度. 對(duì)比圖9(b)與圖9(c)，彈性模量發(fā)生變化的金屬絲的曲率半徑變大，根據(jù)式(7)可得，其產(chǎn)生的彎矩差減小，驅(qū)動(dòng)力下降，發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速相應(yīng)減小.

(a) (b) (c)圖9 浸水深度的原理分析圖

2.3 發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率

設(shè)計(jì)如圖10(a)所示的裝置研究發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率[8]. 在大滑輪上固定纏繞著魚(yú)線的輕質(zhì)圓盤(pán)，使得圓盤(pán)與大滑輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，魚(yú)線另一端固定小盒，如圖10(b)所示，通過(guò)改變盒中的珠子數(shù)量來(lái)改變負(fù)載的重量. 每顆珠子重約0.7 g. 魚(yú)線繞過(guò)光滑桿連接圓盤(pán)與小盒以減少摩擦力.

(a) (b)圖10 裝配負(fù)載示意圖

當(dāng)負(fù)載勻速上升過(guò)程中，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)外輸出功率為

Pout=mgv0,

(11)

其中，負(fù)載上升速度v0與滑輪轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為

v0=2πr0n,

(12)

其中r0為圓盤(pán)的半徑.

2.3.1 溫度對(duì)輸出功率的影響

保持其他參量不變，改變水溫，研究水溫對(duì)輸出功率的影響，如圖11所示.

圖11 輸出功率隨溫度的變化

由圖11可知，隨著溫度升高，輸出功率先增大后減少，并逐漸趨于穩(wěn)定，最大輸出功率在溫度為66 ℃左右. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)2.2.1可以解釋此現(xiàn)象.

2.3.2 負(fù)載對(duì)輸出功率的影響

保持其他參量不變，改變盒內(nèi)珠子數(shù)量，以研究負(fù)載對(duì)輸出功率的影響，如圖12所示.

由圖12可知，隨著負(fù)載的增加，輸出功率先上升后下降. 輸出功率受滑輪轉(zhuǎn)速和負(fù)載的綜合影響. 隨著負(fù)載的增加，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)受到的阻力也相應(yīng)增加，因此轉(zhuǎn)速下降. 在初期，負(fù)載影響占據(jù)主導(dǎo)地位，因此，隨著負(fù)載增加，發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率也相應(yīng)增加;而到了后期，轉(zhuǎn)速影響占據(jù)主導(dǎo)地位，因此，發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率下降.

圖12 輸出功率隨負(fù)載的變化

3 結(jié)束語(yǔ)

從實(shí)驗(yàn)可以得出，鎳鈦合金發(fā)動(dòng)機(jī)浸在熱水中可以轉(zhuǎn)動(dòng)的根本原因是其彈性模量隨溫度的變化產(chǎn)生的彎矩差提供了轉(zhuǎn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力[1]. 本文建立理想化的模型，從鎳鈦合金絲材料的性質(zhì)對(duì)鎳鈦合金發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行分析. 結(jié)合實(shí)驗(yàn)，一方面，探究了鎳鈦合金絲彈性模量的變化規(guī)律，以驗(yàn)證其轉(zhuǎn)動(dòng)的原因，發(fā)現(xiàn)其彈性模量的變化存在“敏感期”. 另一方面，探究了這種發(fā)動(dòng)機(jī)的性能[8]，并通過(guò)已經(jīng)建立的理想化模型對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了合理的分析解釋.