朱世棟,黎秋航,侯吉旋,陳 乾

(東南大學(xué) a.物理學(xué)院;b.交通學(xué)院，江蘇 南京 211189)

2020年國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)的第14賽題為“下落的塔(Falling tower)”：相同的圓盤(pán)，一個(gè)疊在另一個(gè)上面，形成獨(dú)立的塔. 當(dāng)突然施加水平力移除塔底部的圓盤(pán)時(shí)，塔身的其余部分會(huì)掉落到底面上，并且依然保持直立狀態(tài). 研究該現(xiàn)象并確定允許塔保持靜止直立的條件. 這是經(jīng)典的理論力學(xué)問(wèn)題，可以引申到建筑物穩(wěn)定性等實(shí)際問(wèn)題. 針對(duì)圓盤(pán)堆疊的模型，王涵等[1]提出了用倒塌概率判定塔穩(wěn)定性的思路，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析了相關(guān)參量的影響. 但研究因素較少. 舒幼生[2]對(duì)此類(lèi)剛體堆疊問(wèn)題做了理論研究，得出了底部物體抽出過(guò)程中塔的其他部分不會(huì)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的結(jié)論，并提出了不同條件下存在多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可能性.

本文的理論部分分為基礎(chǔ)理論與特殊情況2部分，將對(duì)圓盤(pán)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行深入分析，得到塔是否倒塌的判別條件，并通過(guò)參量分析得到影響塔穩(wěn)定性的因素. 實(shí)驗(yàn)部分將對(duì)理論中得到的結(jié)論進(jìn)行佐證.

1 基礎(chǔ)理論模型及求解

1.1 是否倒塌的判別條件

通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的預(yù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，移除最下方圓盤(pán)會(huì)導(dǎo)致上方圓盤(pán)的錯(cuò)開(kāi)，錯(cuò)開(kāi)的距離決定了塔是否倒塌. 通過(guò)求解落地后圓盤(pán)間的錯(cuò)開(kāi)距離可以得到塔是否倒塌的判別條件. 設(shè)圓盤(pán)數(shù)為N，單個(gè)質(zhì)量為m，半徑為r，厚度為h.地面摩擦系數(shù)設(shè)為μ0，圓盤(pán)間粗糙程度相同，具有相同的摩擦系數(shù)μ1. 底部圓盤(pán)受到突然的水平力后獲得初速度v0. 為方便描述，將圓盤(pán)從下到上編號(hào)1～N，如圖1所示.

圖1 圓盤(pán)塔的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)

以下均假設(shè)圓盤(pán)落地前近似水平. 設(shè)圓盤(pán)質(zhì)量分布均勻，則圓盤(pán)1和2錯(cuò)開(kāi)x時(shí)，上方圓盤(pán)會(huì)開(kāi)始翻覆. 圓盤(pán)1與2只有唯一接觸點(diǎn)，所有的摩擦力與支持力都作用在這個(gè)點(diǎn)上，且

FN=(N-1)mg,f=μ1(N-1)mg.

(1)

取過(guò)質(zhì)心且垂直于底部圓盤(pán)速度方向的轉(zhuǎn)軸，由角動(dòng)量定理[3]：

(2)

其中Ic為上方圓盤(pán)塔的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且

(3)

當(dāng)?shù)撞繄A盤(pán)初速度很大(v02?gr)時(shí)，可近似為勻速抽出，即

x=v0t.

(4)

將式(4)代入式(2)即可得到關(guān)于t的微分方程為

(5)

從0積分到r/v，即可以得到落地時(shí)圓盤(pán)塔的角速度為

(6)

如圖2所示，剛落地的瞬間，各圓盤(pán)還未發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng). 且各圓盤(pán)速度為質(zhì)心速度與相對(duì)質(zhì)心速度的疊加，由于繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，各圓盤(pán)速度并不相同，因而錯(cuò)開(kāi). 相鄰兩圓盤(pán)間速度差恒定：

Δv=ω1h,

(7)

設(shè)圓盤(pán)2～N的質(zhì)心速度為v，可得圓盤(pán)2～N的速度分別為

(8)

圖2 圓盤(pán)的錯(cuò)開(kāi)

只有最下方圓盤(pán)2在減速，加速度a2可由牛頓第二定律算出：

μ0(N-1)mg+μ1(N-2)mg=ma2.

(9)

上方所有圓盤(pán)在以相同的加速度a加速，以上數(shù)第k個(gè)圓盤(pán)為例，由牛頓第二定律有

μ1kmg-μ1(k-1)mg=ma,

整理得

a=μ1g.

(10)

因此，圓盤(pán)2將減速，圓盤(pán)3將加速，最終兩者共速，形成整體(這里不考慮兩者共速后仍有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況)，有

v2-a2t1=v3+at1,

(11)

最終圓盤(pán)2與圓盤(pán)3錯(cuò)開(kāi)的距離可由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式算出：

(12)

聯(lián)立式(8)～(11)，解得：

(13)

之后將圓盤(pán)2和3視為整體，這個(gè)整體在減速，上方圓盤(pán)在以相同的加速度加速. 重復(fù)式(8)～(11)的過(guò)程，可得圓盤(pán)3與圓盤(pán)4的錯(cuò)開(kāi)距離. 類(lèi)似地，可得所有圓盤(pán)的錯(cuò)開(kāi)距離為

(14)

得到了錯(cuò)開(kāi)距離分布，可以算出各質(zhì)心的坐標(biāo). 以第k-1個(gè)圓盤(pán)的右邊緣為原點(diǎn)，上方第k～N個(gè)圓盤(pán)的質(zhì)心坐標(biāo)為

xck=[m(-r+Δxk-1,k)+

m(-r+Δxk-1,k+Δxk,k+1)+…+

m(-r+Δxk-1,k+…+ΔxN-1,N)]·

[(N-K+1)m]-1.

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)，化簡(jiǎn)得：

(16)

故圓盤(pán)塔不倒塌的條件是，k取任何值，xck≤0，即：當(dāng)k在3～N中變化時(shí)，max{xck}≤0. 令d為此最大值：

(17)

d即為表征圓盤(pán)塔是否倒塌的判別條件：當(dāng)d≤0時(shí)，圓盤(pán)塔不倒塌；d>0時(shí)，圓盤(pán)塔倒塌.

1.2 影響圓盤(pán)塔穩(wěn)定性的因素

通過(guò)改變各參量，觀察d的變化趨勢(shì)，即可知道此參量對(duì)圓盤(pán)穩(wěn)定性的影響. 以下逐次探究圓盤(pán)數(shù)量N、初速度v0、半徑r與厚度h、摩擦系數(shù)μ0和μ1的影響.

初始條件：r=0.04 m,h=0.02 m,v0=0.7 m/s,g=9.8 m/s2,μ0=0.2,μ1=0.5.

如圖3所示，固定其他參量的值，改變圓盤(pán)數(shù)量N.當(dāng)圓盤(pán)數(shù)量增加時(shí)，d值增大，說(shuō)明塔逐漸不穩(wěn)定. 故圓盤(pán)個(gè)數(shù)越多，塔越容易倒塌.

圖3 圓盤(pán)數(shù)量對(duì)穩(wěn)定性的影響

如圖4所示，固定其他參量值，改變v0. 當(dāng)v0增加時(shí)，d值減小，說(shuō)明塔越來(lái)越穩(wěn)定. 故底部圓盤(pán)v0越大，塔越不容易倒塌.

圖4 底部圓盤(pán)初速度對(duì)穩(wěn)定性的影響

如圖5所示，圓盤(pán)半徑與厚度對(duì)穩(wěn)定性的影響耦合性較強(qiáng)，且當(dāng)圓盤(pán)尺寸較小時(shí)，塔更穩(wěn)定；圓盤(pán)尺寸較大時(shí)，塔更容易倒塌.

圖5 圓盤(pán)尺寸對(duì)穩(wěn)定性的影響

如圖6所示，摩擦對(duì)穩(wěn)定性的影響耦合性不強(qiáng)，且地面摩擦越大、圓盤(pán)間摩擦越小，d值越小，圓盤(pán)塔越穩(wěn)定.

圖6 摩擦對(duì)穩(wěn)定性的影響

2 特殊情況分析

2.1 “溜坡”

“溜坡”是指圓盤(pán)落地后翻回水平過(guò)程中上方圓盤(pán)的側(cè)滑. 由實(shí)驗(yàn)可知“溜坡”發(fā)生的條件為：

1)圓盤(pán)厚度較大；

2)地面摩擦較大；

3)圓盤(pán)間摩擦較小.

下面用簡(jiǎn)單模型計(jì)算“溜坡”產(chǎn)生的錯(cuò)開(kāi)距離.

模型假設(shè)：

1)N=3，即落地時(shí)只有2個(gè)圓盤(pán)；

2)地面摩擦無(wú)窮大，即下方圓盤(pán)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；

3)圓盤(pán)間摩擦為0.

如圖7所示，設(shè)圓盤(pán)錯(cuò)開(kāi)的距離為x，與地面的夾角為θ.取下方圓盤(pán)為參考系，引入慣性離心力、切向慣性力和科里奧利力，在圖7中標(biāo)出方向. 設(shè)兩圓盤(pán)間作用力為FN，則FN作用線過(guò)上方圓盤(pán)質(zhì)心(保證上方圓盤(pán)力矩平衡)；再設(shè)幾何參量φ，已在圖中標(biāo)出.

圖7 “溜坡”現(xiàn)象分析圖

對(duì)上方圓盤(pán)進(jìn)行受力分析，垂直盤(pán)面方向受力平衡：

2mωvr+mgcosθ=mβlcosφ+mω2lsinφ+FN,

(18)

上方圓盤(pán)在平行盤(pán)面方向做變加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得

mgsinθ+mβlsinφ-mω2lcosφ=mar.

(19)

選取地面為參考系，對(duì)下方圓盤(pán)進(jìn)行分析. 取與地面接觸點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，由角動(dòng)量定理[1]得

mgcosθ·r+FN(r-x)=Iβ,

(20)

其中圓盤(pán)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為

(21)

最后通過(guò)幾何關(guān)系關(guān)聯(lián)φ，l和x，可得cosφ和sinφ為

(22)

聯(lián)立式(19)～(22)，即可得到關(guān)于t的微分方程組，從而求解出x(t)與θ(t)，如圖8所示.

若要求圓盤(pán)翻回水平時(shí)錯(cuò)開(kāi)的距離，即求θ=0時(shí)x的值. 如圖8所示，可以看出錯(cuò)開(kāi)距離x≈0.03 m，而圓盤(pán)半徑只有0.04 m，故“溜坡”現(xiàn)象導(dǎo)致的額外錯(cuò)開(kāi)距離實(shí)際有重要影響.

圖8 x(t)和θ(t)的求解曲線

2.2 “破碎”

“破碎”現(xiàn)象指抽出最下方圓盤(pán)，上方圓盤(pán)在空中彼此分離的現(xiàn)象. “破碎”現(xiàn)象一般發(fā)生在圓盤(pán)間摩擦較大的情況. 下面用簡(jiǎn)單的模型分析發(fā)生“破碎”現(xiàn)象的原因.

模型假設(shè)：

1)N=3，即空中只有2個(gè)圓盤(pán)；

2)最下方圓盤(pán)勻速抽出，即在慣性系對(duì)空中兩圓盤(pán)進(jìn)行分析；

3)上方兩圓盤(pán)在“破碎”前無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)；

4)兩圓盤(pán)間壓力為0時(shí)發(fā)生“破碎”.

如圖9所示，設(shè)圓盤(pán)1對(duì)2的支持力為FN，摩擦力為μ1FN. 設(shè)圓盤(pán)轉(zhuǎn)角為θ，圓盤(pán)2和3的質(zhì)心C距離支點(diǎn)的水平距離為x，豎直距離為y.

圖9 “破碎”現(xiàn)象分析圖(整體)

對(duì)整體進(jìn)行受力分析，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理[3]得

(23)

由整體的角動(dòng)量定理可得

(24)

其中上方兩圓盤(pán)對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為

(25)

并有幾何關(guān)系：

(26)

對(duì)最上方圓盤(pán)做隔離分析. 設(shè)其所受摩擦力為f，支持為F，等效作用點(diǎn)為A點(diǎn)(位置無(wú)需討論)，如圖10所示.

圖10 “破碎”現(xiàn)象分析圖(最上方圓盤(pán))

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：

(27)

聯(lián)立(23)～(27)，得到x，y，θ，F(xiàn)關(guān)于t的微分方程組，從而解出F(t)曲線，如圖11所示.

圖11 不同μ1下的F(t)解

可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)(t)呈下降趨勢(shì)，當(dāng)F下降到0時(shí)，即發(fā)生“破碎”現(xiàn)象. 當(dāng)μ1逐漸增大時(shí)，可以看到F下降加快，說(shuō)明圓盤(pán)間摩擦越大，越容易發(fā)生“破碎”現(xiàn)象. 圓盤(pán)在空中分離后便不再有相互作用，因此落地時(shí)的速度就是分離時(shí)的速度.

2.3 “彈跳”與“夭折”

“彈跳”現(xiàn)象指落地后上方圓盤(pán)又彈起的現(xiàn)象，它發(fā)生在圓盤(pán)的彈性(恢復(fù)系數(shù))較大、圓盤(pán)厚度較大時(shí). 由于圓盤(pán)彈起后不再有摩擦力的作用，因此最終錯(cuò)開(kāi)的距離主要取決于恢復(fù)系數(shù)及彈起后各自的水平速度.

“夭折”現(xiàn)象指圓盤(pán)塔在最下方圓盤(pán)尚未被抽出時(shí)即倒塌，它發(fā)生在最下方圓盤(pán)初速度較小(即突然施加的水平力較小)及圓盤(pán)間摩擦較大時(shí). 此情況下塔直接倒塌，不需計(jì)算錯(cuò)開(kāi)距離.

以上2種情況較為簡(jiǎn)單，本文不做定量研究.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)裝置如圖12所示，其中A為圓盤(pán)，B為光電門(mén)，C為定滑輪，D為500 g砝碼，E為細(xì)繩，F(xiàn)為擋光片. 通過(guò)從一定高度釋放砝碼來(lái)給予最下方圓盤(pán)突然的水平力，通過(guò)光電門(mén)來(lái)測(cè)量最下方圓盤(pán)的初速度.

圖12 實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)圖

為實(shí)現(xiàn)題目要求，做了如下規(guī)定：

1)繩伸直時(shí)砝碼要接近地面，保證力的瞬時(shí)作用；

2)從一定高度釋放砝碼，保證足夠大的沖量將圓盤(pán)抽出；

3)光電門(mén)與擋光片的距離等于砝碼距離地面的高度，保證光電門(mén)所測(cè)為最下方圓盤(pán)的初速度.

實(shí)驗(yàn)裝置的優(yōu)點(diǎn)在于，它能保證相同條件下實(shí)驗(yàn)的可重復(fù)性：通過(guò)在相同高度釋放砝碼，可以使得最下方圓盤(pán)的初速度近似不變.

3.1 圓盤(pán)數(shù)量的影響

取直徑為50 mm、厚度為10 mm、表面磨砂的圓盤(pán)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，保證最下方圓盤(pán)初速度v0≈(2.00±0.05) m/s，觀察當(dāng)N=3，4，5，6，7，8時(shí)圓盤(pán)是否倒塌. 每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)5次，計(jì)算圓盤(pán)倒塌的概率P.

如圖13所示，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)呈上升趨勢(shì)，說(shuō)明圓盤(pán)數(shù)量越多，圓盤(pán)塔越容易倒塌. 這與理論分析的結(jié)果相符合.

圖13 圓盤(pán)數(shù)量與倒塌概率實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2 圓盤(pán)直徑的影響

取厚度為10 mm直徑分別為40，50，60，70，80 mm的圓盤(pán)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，保證最下方圓盤(pán)初速度v0≈ (2.00±0.05) m/s，觀察當(dāng)N=6時(shí)圓盤(pán)是否倒塌. 每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)5次，計(jì)算圓盤(pán)塔倒塌的概率P.

如圖14所示，數(shù)據(jù)呈下降趨勢(shì)，說(shuō)明直徑越大，塔越穩(wěn)定，與理論求得曲面圖5中h=0.01 m對(duì)應(yīng)曲線的結(jié)論相同.

圖14 圓盤(pán)直徑與倒塌概率實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.3 最下方圓盤(pán)初速度的影響

取直徑為50 mm，厚度為10 mm，表面磨砂的圓盤(pán)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，堆疊數(shù)N=6. 由于實(shí)驗(yàn)無(wú)法保證每次初速度嚴(yán)格相同，故設(shè)置一系列速度區(qū)間來(lái)探究最下方圓盤(pán)初速度的影響趨勢(shì). 每個(gè)速度區(qū)間重復(fù)實(shí)驗(yàn)5次，計(jì)算圓盤(pán)塔倒塌的概率P.

速度為1.2～2.8 m/s，區(qū)間間隔0.2 m/s，共8個(gè)區(qū)間，由小到大分別編號(hào)為1～8，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖15所示. 由數(shù)據(jù)的下降趨勢(shì)可知，最下方圓盤(pán)初速度越大，圓盤(pán)塔倒塌概率越低，說(shuō)明塔越穩(wěn)定. 這與理論分析結(jié)論相符合.

圖15 圓盤(pán)初速度與倒塌概率實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.4 圓盤(pán)表面摩擦系數(shù)的影響

為保證其他條件不變，采取表面處理的方式改變圓盤(pán)表面的摩擦系數(shù). 表面處理方式包括：粘貼防滑膜、不處理、輕度打磨、重度打磨. 經(jīng)測(cè)量[4]，4種圓盤(pán)的摩擦系數(shù)μ1分別為0.66，0.56，0.50，0.42. 多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，不同摩擦系數(shù)圓盤(pán)的倒塌概率無(wú)法呈現(xiàn)明顯的規(guī)律. 這可能是由于摩擦系數(shù)不同導(dǎo)致的穩(wěn)定性改變小于隨機(jī)因素導(dǎo)致的穩(wěn)定性波動(dòng)范圍，因而其倒塌概率無(wú)法產(chǎn)生顯著的變化趨勢(shì). 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖16所示.

圖16 圓盤(pán)表面摩擦系數(shù)與倒塌概率實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)抽出圓盤(pán)塔最下方圓盤(pán)后，塔是否倒塌的條件做了探究，并對(duì)影響塔穩(wěn)定性的因素進(jìn)行了分析. 此外，本文對(duì)圓盤(pán)抽出過(guò)程中的4種特殊情況做出了探究. 實(shí)際上，圓盤(pán)抽出過(guò)程還會(huì)出現(xiàn)反向錯(cuò)開(kāi)等情況，此類(lèi)情況的發(fā)生可能有多種原因(如“彈跳”現(xiàn)象或圓盤(pán)間摩擦過(guò)小)，為避免復(fù)雜的分類(lèi)討論，本文暫未對(duì)這類(lèi)情況進(jìn)行深入研究.