趙小文， 寧榮健， 張 莉

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力”[1].從最近的中美貿(mào)易戰(zhàn)、金融戰(zhàn)到科技戰(zhàn)，可以清楚的認(rèn)識(shí)到，中美之間、乃至各國(guó)之間的競(jìng)爭(zhēng)其實(shí)質(zhì)是知識(shí)和科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)新性的競(jìng)爭(zhēng)，而知識(shí)和科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)新性的競(jìng)爭(zhēng)歸根到底是具有創(chuàng)新思維、科研能力的高素質(zhì)人才的競(jìng)爭(zhēng).因此，在全民信息化時(shí)代，一個(gè)人的發(fā)展前途取決于他的創(chuàng)新思維、科研能力的強(qiáng)弱，一個(gè)民族、一個(gè)國(guó)家在國(guó)際中的地位和競(jìng)爭(zhēng)能力取決于其科技實(shí)力和創(chuàng)新力.

目前在我國(guó)，不論是科研單位、國(guó)有企業(yè)，還是民營(yíng)企業(yè)，都極其重視關(guān)鍵科學(xué)技術(shù)和科研能力的掌握與提升，都將“科研能力”作為選人、用人的核心要素.此外，國(guó)內(nèi)外心理學(xué)家對(duì)人的一生的創(chuàng)新性研究表明：人的一生中，大學(xué)階段是創(chuàng)造心理大覺(jué)醒時(shí)期，其創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)造動(dòng)機(jī)強(qiáng)，是培養(yǎng)其創(chuàng)新思維、科研能力的關(guān)鍵時(shí)期[2].而任何理論與科技的突破和發(fā)展，首先需要的是思維的突破，即創(chuàng)新思維；其次是創(chuàng)新思維下的“產(chǎn)出”，即科研能力.高等學(xué)校作為高素質(zhì)人才的培養(yǎng)基地，能否培養(yǎng)出具有創(chuàng)新思維和科研能力的高素質(zhì)大學(xué)生，是我國(guó)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)、可持續(xù)發(fā)展和創(chuàng)新型國(guó)家建設(shè)的關(guān)鍵.因此，學(xué)生的創(chuàng)新思維和科研能力的培養(yǎng)與提高是高等學(xué)校擔(dān)負(fù)的一項(xiàng)重任和職責(zé).

然而，創(chuàng)新思維和科研能力不是天生具有的，需要基于科學(xué)理論知識(shí)體系不斷循循善誘、因勢(shì)利導(dǎo)產(chǎn)生、提高的.愛(ài)因斯坦說(shuō)：“創(chuàng)造性原則寓于數(shù)學(xué)之中”.對(duì)于剛剛踏入大學(xué)的一年級(jí)理工科學(xué)生，高等數(shù)學(xué)課程不僅是“打開(kāi)科學(xué)大門的鑰匙、思維的工具、自然科學(xué)的語(yǔ)言”，更是“工程技術(shù)新時(shí)代下的核心武器”[3].高等數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的理論知識(shí)體系和科學(xué)方法不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程的重要工具和基礎(chǔ)，更是學(xué)生的創(chuàng)新思維和科研能力培養(yǎng)的核心課程與重要途徑.

實(shí)際教學(xué)中，高等數(shù)學(xué)由于知識(shí)點(diǎn)多，課堂教學(xué)基本仍處于讓學(xué)生系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的“滿堂灌”“填鴨式”的接受式格局.與國(guó)外一流大學(xué)相比，我們學(xué)生在創(chuàng)新思維上相對(duì)不足，在科研能力上存在一定差距.因此，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有有效改變學(xué)生養(yǎng)成的應(yīng)試性被動(dòng)學(xué)習(xí)習(xí)慣，實(shí)施啟發(fā)誘導(dǎo)、問(wèn)題探究相結(jié)合的研究式教學(xué)，才能有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，有利于提高學(xué)生的科研能力，有利于促進(jìn)學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決專業(yè)問(wèn)題、實(shí)際問(wèn)題的能力.

那么，哪些知識(shí)內(nèi)容適合采用研究式教學(xué)方式，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和科研能力呢？目前關(guān)于條件極值的教學(xué)主要集中在拉格朗日乘數(shù)法的解題和應(yīng)用方面，對(duì)其理論的推進(jìn)、所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、科研成果打磨等可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和科研意識(shí)方面重視不夠，學(xué)生一般知其然而不知其所以然.作者基于高等數(shù)學(xué)課程實(shí)際教學(xué)體會(huì)和科研經(jīng)歷，針對(duì)該知識(shí)內(nèi)容的理論體系、理論體系推進(jìn)中所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、必要條件的提煉與升華等要素的挖掘，展開(kāi)研究式教學(xué)設(shè)計(jì)，具體為：通過(guò)條件極值理論知識(shí)體系抽絲剝繭式的問(wèn)題陳設(shè)，使學(xué)生學(xué)會(huì)如何基于已知知識(shí)去探究未知科學(xué)；通過(guò)畫(huà)龍點(diǎn)睛的闡述知識(shí)體系每推進(jìn)一點(diǎn)所涉及的科學(xué)方法，讓學(xué)生不僅知其然而知其所以然；通過(guò)突出必要條件在創(chuàng)新思維和科研方法的推進(jìn)下的提煉和升華，以及結(jié)合論文收錄SCI (Science Citation Index，科學(xué)引文索引)的科普，激勵(lì)學(xué)生樹(shù)立做具有創(chuàng)新性大科研的目標(biāo)；通過(guò)精心設(shè)計(jì)知識(shí)內(nèi)容的拓展訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題探究意識(shí).

2 條件極值的教學(xué)安排與設(shè)計(jì)

作為多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用，多元函數(shù)的極值是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.多元函數(shù)的極值有兩類：一類是，目標(biāo)函數(shù)的自變量在其定義域范圍內(nèi)可以自由取值、沒(méi)有任何其他附加條件限制的極值問(wèn)題，稱為無(wú)條件極值；另一類是，在實(shí)際問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)的自變量除了其對(duì)應(yīng)的定義域要求外，還受到某些條件的制約(如材料、經(jīng)費(fèi)的限制等)，這類帶有約束條件的多元函數(shù)極值問(wèn)題稱之為條件極值[4-5].

目前，在條件極值的教學(xué)研究中，有關(guān)于其充分條件與必要條件的探討和推廣[6-7]，有從幾何角度進(jìn)行闡述和說(shuō)明[8]，還有條件極值的應(yīng)用和拓展[9]，等等[10-12].在本文中，基于高等數(shù)學(xué)課程實(shí)際教學(xué)體會(huì)和科研經(jīng)歷，對(duì)條件極值開(kāi)展研究式教學(xué)方式的介紹和探討，以求激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的科研能力.

2.1 實(shí)際問(wèn)題引入

實(shí)例要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為V0的圓柱形水箱，如何做才能使得用料最??？

分析 若設(shè)圓柱體的底圓半徑為r、高為h，則由題設(shè)知其表面積為S=2πrh+2πr2，且要求T:πr2h=V0(定值).因此，該問(wèn)題建模為：目標(biāo)(函數(shù))S在約束條件T下的最小值問(wèn)題.

教學(xué)設(shè)計(jì)(i) 實(shí)際教學(xué)中知道：如何將一個(gè)具體的實(shí)際條件極值問(wèn)題用數(shù)學(xué)刻畫(huà)好，也是教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)；

(ii) 對(duì)實(shí)際問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的描述、刻畫(huà)，本質(zhì)上即為數(shù)學(xué)建模的思想與操作.因此，此處教學(xué)中可以實(shí)時(shí)、高效的點(diǎn)出、導(dǎo)入數(shù)學(xué)建模的思維，增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力；

(iii) 該處的實(shí)例可以根據(jù)所教授學(xué)生專業(yè)情況更改、調(diào)整，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與積極性.

再析 實(shí)際生產(chǎn)生活中，對(duì)于約束限制的一般操作是什么？突破限制！本題如何突破？將約束條件T轉(zhuǎn)化，解出h=V0/πr2，帶入目標(biāo)函數(shù)得S=2V0/r+2πr2，則該問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為S關(guān)于自變量r的一元無(wú)條件極值問(wèn)題，上冊(cè)所學(xué)知識(shí)就能解決.

小結(jié)1上述分析過(guò)程給出了求條件極值的第一類方法—突破條件、代入求解，即代入法.對(duì)于二元目標(biāo)函數(shù)z=f(x，y)，從約束條件φ(x，y)=0中解出一個(gè)變量y=ψ(x)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)z=f(x，ψ(x))的無(wú)條件極值問(wèn)題，我們也稱為直接轉(zhuǎn)化法.

2.2 必要條件探究

問(wèn)題1若無(wú)法從約束條件φ(x，y)=0中解出一個(gè)變量，奈何？

教學(xué)設(shè)計(jì)一般情況下，研究一個(gè)理論問(wèn)題時(shí)，首先討論其必要條件，即在該結(jié)論A成立時(shí)的必要條件B，也即A?B；然后再看看B能否推導(dǎo)回去，即考察充要條件；若推導(dǎo)不回去，則考慮對(duì)條件B做相應(yīng)調(diào)整或改變，得結(jié)論A的充分條件B+，即B+?A.這是科學(xué)研究的基本思路與方法，也是科研能力之一.在教學(xué)中，要將該科研方法與前面的無(wú)條件極值的學(xué)習(xí)結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生懂得我們?yōu)槭裁匆紫瓤疾鞓O值的必要條件，使得學(xué)生在知其然而知其所以然的同時(shí)，掌握基本的科研思維與科研方法.

初探如果在約束條件φ(x，y)=0下目標(biāo)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極值，則(x0，y0)必然滿足φ(x0，y0)=0，即(x0，y0)滿足約束條件.

問(wèn)題2在點(diǎn)(x0，y0)滿足約束條件φ(x，y)=0(也稱約束方程)下，能否延拓到一條曲線滿足約束方程，即約束方程能否確定一個(gè)隱函數(shù)呢？

教學(xué)設(shè)計(jì)此設(shè)計(jì)的目的在于：

(i) 復(fù)習(xí)并誘導(dǎo)出隱函數(shù)存在定理，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注定理?xiàng)l件的意識(shí)，而不是只看重結(jié)論；

(ii) 提醒學(xué)生由點(diǎn)到線、由線到面的延拓方式是一種很好的科學(xué)研究方法，從而潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地向?qū)W生滲透科研思維.

續(xù)探由前面所學(xué)隱函數(shù)存在定理知，若二元函數(shù)φ(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)存在一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且φ′y(x0，y0)≠0，則約束方程必能確定y是x的隱函數(shù)y=y(x)，且

問(wèn)題3若約束條件φ(x，y)=0確定了隱函數(shù)y=y(x)，則在理論上，目標(biāo)函數(shù)z=f(x，y)=f(x，y(x))在點(diǎn)(x0，y0)處有何結(jié)論？

教學(xué)設(shè)計(jì)在分析該問(wèn)題時(shí)，配以簡(jiǎn)單的幾何圖形(如圖1所示)，既形象直觀的給出了答案，也給學(xué)生闡明了數(shù)形結(jié)合的思想，并指出數(shù)形結(jié)合的思想方法對(duì)理解高等數(shù)學(xué)課程中許多知識(shí)內(nèi)容和性質(zhì)具有事半功倍的重要作用.

圖1 條件極值的幾何解釋

基于幾何解釋，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、隱函數(shù)存在定理、一元函數(shù)極值存在的必要條件，綜合給出：若二元函數(shù)f(x，y)、φ(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)均存在一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且φ′y(x0，y0)≠0，則有

即得

(1)

(1)式即為目標(biāo)函數(shù)z=f(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下在點(diǎn)(x0，y0)處取得極值的必要條件.

問(wèn)題4有沒(méi)有比(1)式更簡(jiǎn)捷的表示形式或結(jié)論？

(2)

表明點(diǎn)(x0，y0，λ0)滿足方程組

(3)

教學(xué)設(shè)計(jì)在此處需要強(qiáng)調(diào)，參數(shù)引入法是科學(xué)研究中的另一個(gè)常用的重要方法，激勵(lì)學(xué)生課后進(jìn)一步搜索關(guān)于參數(shù)引入法的應(yīng)用和推廣.

問(wèn)題5由上可知，(2)式及(3)式比(1)式簡(jiǎn)潔工整.試問(wèn)(3)式有何特點(diǎn)？能否將其再進(jìn)一步提煉？

教學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)提示，讓學(xué)生觀察(3)式中每個(gè)方程左邊的函數(shù)是哪個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)？并由此告訴學(xué)生觀察法是一種難以言表的、美妙的數(shù)學(xué)方法.激勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，要善于觀察，勤于思考.

深探總結(jié)和提煉出(3)式中每個(gè)方程的左邊是函數(shù)

L(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)

(4)

的偏導(dǎo)數(shù)，即

教學(xué)設(shè)計(jì)(i) 此處介紹拉格朗日的主要工作，以及相關(guān)術(shù)語(yǔ)，如拉格朗日乘數(shù)法、拉格朗日函數(shù)、拉格朗日乘數(shù)、拉格朗日駐點(diǎn)等；

(ii) 適當(dāng)摘錄數(shù)學(xué)家拉格朗日的生平事跡介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、愛(ài)數(shù)學(xué)的熱情；

(iii) 基于上述結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的邏輯性和形式美.

小結(jié)2上述分析過(guò)程給出了求條件極值的第二類方法——拉格朗日乘數(shù)法，其本質(zhì)是將目標(biāo)函數(shù)z=f(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)的無(wú)條件極值問(wèn)題，稱之為間接轉(zhuǎn)化法.

教學(xué)設(shè)計(jì)再次帶學(xué)生回顧必要條件的推導(dǎo)歷程：(1)式?(2)式?(3)式?(4)式，讓學(xué)生體會(huì)邏輯的推進(jìn)，思維的創(chuàng)新，結(jié)論的升華；并告誡學(xué)生：認(rèn)真對(duì)待自己寫(xiě)的每點(diǎn)每滴，不斷打磨自己思維的創(chuàng)新性，努力提高自己的科研能力和水平.

問(wèn)題6對(duì)于目標(biāo)函數(shù)是三元函數(shù)、四元函數(shù)乃至一般n元函數(shù)，約束條件有多個(gè)的條件極值問(wèn)題，是否還能將其轉(zhuǎn)化為類似的拉格朗日函數(shù)無(wú)條件極值問(wèn)題呢？

教學(xué)設(shè)計(jì)此時(shí)，讓學(xué)生再次回顧上述分析過(guò)程，看看上述推理過(guò)程中的核心點(diǎn)和創(chuàng)新處在那，能否將其拓展到更多元、更多條件的情形，且搞清楚為什么能拓展.從而讓學(xué)生理清該知識(shí)內(nèi)容的理論體系，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的創(chuàng)新性和科研方法，進(jìn)一步提升學(xué)生的創(chuàng)新思維和科研能力.

小結(jié)3對(duì)于條件極值問(wèn)題，拉格朗日乘數(shù)法可以推廣到含有多個(gè)約束條件的n元目標(biāo)函數(shù)情形，如：對(duì)于目標(biāo)函數(shù)為u=f(x，y，z)、約束條件為φ(x，y，z)=0，ψ(x，y，z)=0的條件極值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為下列拉格朗日函數(shù)

L(x，y，z，λ，μ)=f(x，y，z)+λφ(x，y，z)+μψ(x，y，z)

的無(wú)條件極值問(wèn)題，其中λ、μ為參數(shù).

教學(xué)設(shè)計(jì)此處向?qū)W生科普論文收錄SCI (Science Citation Index，科學(xué)引文索引)及其分區(qū)情況；并基于上述必要條件所得成果，顯然相較于(1)式、(2)式成果，寫(xiě)成(4)式的成果可以發(fā)表一個(gè)分區(qū)很高、級(jí)別很好的SCI期刊論文.因此，通過(guò)思維的突破與科研的打磨，我們完全可以把一個(gè)初步的研究結(jié)論(如(1)式、(2)式)提煉、升華為一個(gè)完美的結(jié)論(如(4)式，拉格朗日乘數(shù)法)，進(jìn)而在學(xué)生心中播撒科學(xué)研究的種子，引導(dǎo)學(xué)生重視創(chuàng)新思維的提升，激勵(lì)學(xué)生樹(shù)立做具有創(chuàng)新性大科研的目標(biāo).

表 2018-2019學(xué)年第二學(xué)期評(píng)教系統(tǒng)中學(xué)生對(duì)教學(xué)的反饋信息

2.3 條件極值的判定與應(yīng)用

問(wèn)題7由上述必要條件的探究知，已經(jīng)將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題，那么如何判斷拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？

實(shí)際問(wèn)題判定若根據(jù)實(shí)際情況對(duì)應(yīng)條件極值必定存在，且相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)即為所求條件極值點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為所求極值.

應(yīng)用針對(duì)前面的實(shí)例，分別運(yùn)用上述介紹的兩種方法對(duì)其求解.

解法2(間接轉(zhuǎn)化或拉格朗日乘數(shù)法) 作拉格朗日函數(shù)

L(r，h，λ)=2πrh+2πr2+λ(πr2h-V0)，

教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)于條件極值充分性的相關(guān)理論，教學(xué)中一般不作要求介紹.因此，為了理論體系的完整性，通過(guò)一些拓展問(wèn)題，倡導(dǎo)學(xué)生課后通過(guò)查閱資料，自學(xué)完成相應(yīng)拓展內(nèi)容.

拓展1條件極值的必要條件、充分條件還有哪些，試給出一兩個(gè)你認(rèn)為比較漂亮的結(jié)論，并總結(jié)、歸納每個(gè)條件演繹下的思維創(chuàng)新和科學(xué)方法；

拓展2能否給出一兩個(gè)條件極值的必要或充分條件的幾何意義，并給出其中蘊(yùn)含了哪些數(shù)與形的刻畫(huà)與描述；

拓展3請(qǐng)學(xué)生思考：有沒(méi)有通過(guò)拉格朗日乘數(shù)法漏掉若干個(gè)極值點(diǎn)？穩(wěn)定點(diǎn)是不是所有可能的極值點(diǎn)？

拓展4條件極值在你所學(xué)專業(yè)中有哪些應(yīng)用，試總結(jié)歸納幾個(gè)典型應(yīng)用.

教學(xué)設(shè)計(jì)目前，各個(gè)高校都在開(kāi)展智慧課堂，提供了各種各樣的APP等交流平臺(tái).因此，每個(gè)拓展訓(xùn)練可以向?qū)W生適當(dāng)推薦1-2篇閱讀文獻(xiàn)或資料鏈接，讓學(xué)有余力的同學(xué)將自學(xué)的拓展內(nèi)容總結(jié)好，分享到對(duì)應(yīng)的交流平臺(tái).一是讓一部分學(xué)習(xí)自覺(jué)性、積極性差的同學(xué)感覺(jué)到差距和壓力；二是形成一個(gè)比較好的、良性競(jìng)爭(zhēng)互學(xué)的氛圍；三是通過(guò)平臺(tái)交流，激發(fā)學(xué)生的自主性、創(chuàng)新思維和科研意識(shí).

3 教學(xué)實(shí)效

本知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)方案已經(jīng)分別在2018-2019學(xué)年第二學(xué)期、2019-2020學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)中開(kāi)展了教學(xué)實(shí)踐，具體情況如下.

上表給出的是2018-2019學(xué)年第二學(xué)期評(píng)教系統(tǒng)中學(xué)生對(duì)教學(xué)的評(píng)語(yǔ)，將其歸類，大致包括上述六類.從中可以看出：學(xué)生認(rèn)為教學(xué)是喜歡的、“生動(dòng)形象”，對(duì)于層層設(shè)問(wèn)的課堂互動(dòng)、考核方式是“有趣”、“清晰”的；此外，學(xué)生也覺(jué)得課堂中的拓展是“很有意思”的，對(duì)高等數(shù)學(xué)這一學(xué)期教學(xué)的整個(gè)評(píng)教是積極的、很好的.當(dāng)然，由于是一百多人的大班教學(xué)，也存在學(xué)生不能完全清晰的看到幻燈片等問(wèn)題.

對(duì)于2019-2020學(xué)年第二學(xué)期中條件極值的教學(xué)情況，做了一個(gè)相應(yīng)的問(wèn)卷調(diào)查.針對(duì)開(kāi)展的研究式教學(xué)情況，設(shè)計(jì)了六個(gè)問(wèn)題，通過(guò)班級(jí)QQ群(235人)進(jìn)行在線問(wèn)卷調(diào)查，共收回196份完整、有效的答卷，詳見(jiàn)圖2.由于學(xué)生在手機(jī)上答題時(shí)，按照順序答完前一題后才能看到后一題，因此圖2中的調(diào)查結(jié)果越來(lái)越清晰的反映出研究式教學(xué)對(duì)于學(xué)生的創(chuàng)新思維、科研意識(shí)有很大啟發(fā)和促進(jìn).此外，第四題數(shù)據(jù)說(shuō)明研究式教學(xué)對(duì)于學(xué)生的自學(xué)能力也有很好的提升，第五題調(diào)查數(shù)據(jù)表明研究式教學(xué)對(duì)于線上教學(xué)的開(kāi)展有很好的幫助.當(dāng)然，通過(guò)數(shù)據(jù)和學(xué)生訪談發(fā)現(xiàn)，也有個(gè)別少數(shù)基礎(chǔ)很薄弱的同學(xué)對(duì)于層層設(shè)問(wèn)、循循善誘的研究式教學(xué)還不能很好適應(yīng)，這也是我們后期教學(xué)中需要關(guān)注、改進(jìn)和研究的.

圖2 2019-2020學(xué)年第二學(xué)期關(guān)于條件極值教學(xué)情況的問(wèn)卷調(diào)查及其統(tǒng)計(jì)圖

綜上教學(xué)系統(tǒng)中學(xué)生的評(píng)教、問(wèn)卷調(diào)查反饋的信息，以及學(xué)生課堂中的表現(xiàn)，可以清晰的發(fā)現(xiàn)：實(shí)施啟發(fā)誘導(dǎo)、問(wèn)題探究相結(jié)合的研究式教學(xué)，能夠很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性，極大地激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學(xué)生的科研意識(shí)和能力.

4 結(jié) 論

本文在條件極值的研究式教學(xué)設(shè)計(jì)中，始終基于三個(gè)主線展開(kāi)：

一是，通過(guò)條件極值理論知識(shí)體系抽絲剝繭式的問(wèn)題陳設(shè)，循循善誘，使學(xué)生學(xué)會(huì)如何基于已知知識(shí)去探究未知科學(xué)，不斷磨煉、突破學(xué)生的創(chuàng)新思維；

二是，通過(guò)畫(huà)龍點(diǎn)睛的闡述知識(shí)體系每推進(jìn)一點(diǎn)所涉及的科學(xué)方法，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，使學(xué)生深刻地感悟如何將所學(xué)理論知識(shí)以及衍生的科學(xué)方法運(yùn)用于分析、解決新問(wèn)題之中，不斷強(qiáng)化學(xué)生的科研意識(shí)和能力；

三是，通過(guò)精心設(shè)計(jì)知識(shí)內(nèi)容的拓展訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題探究意識(shí)，產(chǎn)生鏈?zhǔn)叫?yīng)，著力提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的科研創(chuàng)新能力.

從條件極值研究式的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，高等數(shù)學(xué)課程中還有許多知識(shí)點(diǎn)可以在教學(xué)過(guò)程中適時(shí)地、合理地引入研究式教學(xué)，重新構(gòu)建、創(chuàng)設(shè)研究式教學(xué)情境，不僅豐富、深化了教學(xué)內(nèi)容，極大地激發(fā)了同學(xué)們的自主性和問(wèn)題探究意識(shí)，進(jìn)而提高了高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，而且培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和科研能力.因此，教師要始終堅(jiān)持把培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和科研意識(shí)作為研究式教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，將創(chuàng)設(shè)富有啟發(fā)思維、科學(xué)探究的研究式教學(xué)情境作為落腳點(diǎn)，科學(xué)、合理地將研究式教學(xué)方法與其它優(yōu)秀的教學(xué)法不斷協(xié)調(diào)與融合，為教育教學(xué)的優(yōu)化和改革添磚加瓦，不斷貢獻(xiàn)自己的力量.

致謝作者非常感謝審稿人提出的建設(shè)性意見(jiàn)，特別感謝唐爍老師對(duì)本文所給的寶貴指導(dǎo)，極大地提高、豐富了本文的內(nèi)容.感謝合肥工業(yè)大學(xué)2019-2020學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)(下)28、29教學(xué)班同學(xué)對(duì)于教學(xué)和問(wèn)卷調(diào)查的配合和支持.