注：讀者在提供問題解答時(shí), 請先提供印刷體的版本, 并注明單位、姓名和身份(教師、本科生或研究生等). 解答被選用后需提供word版本.

問題8(供題者： 浙江大學(xué)王夢) 對于x=(x1,x2,…,xn)∈n，定義以及現(xiàn)設(shè)A∈n×n以及M>0滿足：?x∈n成立‖Ax‖∞≤‖x‖∞以及‖Ax‖1≤M‖x‖1.證明：對于任何1≤p<+∞，存在僅與M,p有關(guān)(與n無關(guān)的)常數(shù)Mp使得?x∈n，成立‖Ax‖p≤M‖x‖p.

問題1解答

以下解答由崔世勛(復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2018級本科生)提供. 給出本題正確解答的還有國防科技大學(xué)陳摯.

1 回 顧

盡管最后結(jié)果是正確的，當(dāng)時(shí)Euler給出的過程是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?現(xiàn)在我們借由復(fù)變函數(shù)的知識，參考Euler的這一想法解決此問題.

2 解 答

記g(z)=2020sinz-2021zcosz，這是一個(gè)整函數(shù)，并且是奇函數(shù).證明將分為三步進(jìn)行.

2.1 g(z)只有實(shí)零點(diǎn)

設(shè)z=x+iy是g的零點(diǎn)，其中x,y∈.則計(jì)算可得g(z)=0等價(jià)于：因此實(shí)部與虛部成比例.如果x,y均不為0，則有嚴(yán)格小于嚴(yán)格大于2，因此等號不可能成立.而若y=0，這就表明z是實(shí)數(shù)；而若x=0，g(z)=0就變?yōu)榇朔匠讨挥辛憬?因此斷言2.1成立.

2.2 應(yīng)用Hadamard分解定理

這一核心步驟運(yùn)用了復(fù)變函數(shù)的相關(guān)知識，見文獻(xiàn) [1] 的第五章.相關(guān)定義摘錄如下：

增長階設(shè)f(z)是整函數(shù)，若存在正數(shù)ρ與常數(shù)A,B>0使得|f(z)|≤AeB|z|ρ,?z∈，則稱f(z)有≤ρ的增長階.而f(z)的增長階定義為滿足上式的所有ρ的下確界.

典范因子對非負(fù)整數(shù)k，定義典范因子為E0(z)=1-z,Ek(z)=(1-z)ez+z2/2+…+zk/k,?k≥1.

2.3 結(jié)果