蘇燦榮， 周 玲

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

課堂教學(xué)是培養(yǎng)高質(zhì)量人才的主戰(zhàn)場(chǎng),教師如何在課堂培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣,是一線數(shù)學(xué)教師共同面臨的課題.筆者認(rèn)為鼓勵(lì)學(xué)生利用已有的知識(shí)不斷探索一些習(xí)題是提高學(xué)習(xí)積極性的途徑之一.

結(jié)論1設(shè)m為非負(fù)整數(shù),則

(1)

結(jié)論2設(shè)m為正整數(shù),則

(2)

結(jié)論3設(shè)l,m為正整數(shù)，且l

(3)

結(jié)論4設(shè)m為非負(fù)數(shù),l為正整數(shù),則

(4)

文[1]所得的四個(gè)結(jié)論最重要的是結(jié)論一,這是因?yàn)閷?duì)結(jié)論一級(jí)數(shù)通項(xiàng)分母中的字母或乘積項(xiàng)數(shù)的變更或擴(kuò)充,再通過一些運(yùn)算技巧便可得到結(jié)論二、三、四.如果將結(jié)論一中級(jí)數(shù)通項(xiàng)在更廣的范圍考慮,我們將會(huì)得到比結(jié)論一更一般的結(jié)果,由此便可進(jìn)一步對(duì)結(jié)論二、三、四作出推廣.推廣后的結(jié)論如下.

2 主要結(jié)果

推廣1設(shè)a≥0,d>0,l≥0,則

(5)

推廣2設(shè)m為正整數(shù),a≥0,d>0,則

(6)

推廣3設(shè)l,m為正整數(shù),且l0,,則

(7)

推廣4設(shè)m為非負(fù)數(shù),l為正整數(shù),又a≥0,d>0,則

(8)

推廣1的證明所給級(jí)數(shù)的部分和

故級(jí)數(shù)的和

即(5)式成立.

特別在(5)式中取a=m,d=1,l=0，即得(1)，因此(5)為(1)之推廣.

推廣2的證明

利用推廣1的結(jié)果,則有

即(6)式成立.

特別在(6)式中取a=0,d=1,即得(2),因此(6)為(2)之推廣.

推廣3的證明

利用推論2的結(jié)果,則有

即(7)式成立.

特別在(7)式中取a=0,d=1,即得(3),因此(7)為(3)之推廣.

推廣4的證明對(duì)l運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法. 由(5)知

故當(dāng)l=1時(shí)(8)式成立.

設(shè)l時(shí)(8)式成立,則當(dāng)l+1時(shí),

由歸納法假設(shè),

故l+1時(shí)(8)式成立,因此對(duì)任何正整數(shù)l,(8)式成立.

特別在(8)中取a=0,d=1即得(4),因此(8)為(4)之推廣.

最后要說明的是,在本文所得的四個(gè)推廣中對(duì)其中的參數(shù)賦予不同的值,可求得很多級(jí)數(shù)的和,這里不再舉例說明.

3 結(jié) 論

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和是一個(gè)較難的問題,高等數(shù)學(xué)中通常有裂項(xiàng)相消求和;利用已知級(jí)數(shù)求和;通過解方程求和;利用冪級(jí)數(shù)求和等方法.而本文主要是基于裂項(xiàng)相消及恒等變形思想，對(duì)一類級(jí)數(shù)求和推廣的再推廣，一方面為教學(xué)提供有益的素材，另一方面通過推廣形式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.