陳博，楊健，閆恒，趙琳

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

0 引言

伴隨著現(xiàn)代工業(yè)自動化水平的不斷提高，機(jī)器人在批量化生產(chǎn)中逐步發(fā)揮著不可替代的作用[1]。工業(yè)機(jī)器人主要由機(jī)身主體、驅(qū)動系統(tǒng)和控制系統(tǒng)3部分組成[2]。機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)分析是機(jī)器人學(xué)的一個重要組成部分，可為機(jī)器人的動力學(xué)仿真分析、軌跡規(guī)劃和運(yùn)動控制提供重要依據(jù)[3]。運(yùn)動學(xué)分析主要包括機(jī)器人的正逆運(yùn)動學(xué)。當(dāng)已知所有的關(guān)節(jié)變量時，可以用正運(yùn)動學(xué)來確定機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿。如果要使機(jī)器人末端執(zhí)行器放在特定點上并且具有特定的姿態(tài)，可用逆運(yùn)動學(xué)來計算出每一關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量[4]。國內(nèi)機(jī)器人的研發(fā)相對于國外起步較晚，總體相對落后。近些年來，國內(nèi)涌現(xiàn)出一批優(yōu)秀的機(jī)器人研發(fā)公司，例如沈陽新松、南京埃斯頓、廣州數(shù)控、埃夫特和深圳匯川等等。2013年以來，中國連續(xù)六年成為全球最大的機(jī)器人市場，并且前五年的市場增速一直位居全球第一[5]。IRS-300是一款應(yīng)用于裝配領(lǐng)域的垂直多關(guān)節(jié)串聯(lián)結(jié)構(gòu)六自由度工業(yè)機(jī)器人，該機(jī)器人本體質(zhì)量35kg,末端最大負(fù)載3kg，最大運(yùn)動半徑638mm，重復(fù)定位精度±0.02mm。

1 IRS-300的運(yùn)動學(xué)分析

機(jī)器人是由一系列連桿通過關(guān)節(jié)連接起來的鏈?zhǔn)竭\(yùn)動機(jī)構(gòu)[6]。機(jī)器人運(yùn)動學(xué)僅研究各桿件之間的運(yùn)動關(guān)系，不考慮桿件之間相互作用力的影響。根據(jù)相鄰關(guān)節(jié)和桿件之間的關(guān)節(jié)角θi、橫距di、桿件長度ai和扭轉(zhuǎn)角αi確定齊次矩陣，并最終得到末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，從而確定末端執(zhí)行器相對于基座處于何種姿態(tài)，以便完成作業(yè)。

1.1 機(jī)器人坐標(biāo)系的建立

圖1是IRS-300六軸機(jī)器人的三維模型，觀察機(jī)器人各桿件與關(guān)節(jié)之間的聯(lián)系，運(yùn)用經(jīng)典D-H法對機(jī)器人進(jìn)行建模，可以更加直觀地觀察各個桿件之間的位姿關(guān)系。6個關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系如圖2所示。

圖1 IRS-300六軸機(jī)器人

圖2 六軸機(jī)器人坐標(biāo)系

圖2中，‘●’表示z軸垂直于紙面，方向向外。各個坐標(biāo)系的建立均要符合右手定則。

根據(jù)圖2中各個關(guān)節(jié)之間關(guān)系，結(jié)合機(jī)器人實際結(jié)構(gòu)尺寸，可以得到表1中IRS-300六軸機(jī)器人的D-H參數(shù)，由于該機(jī)器人的6個關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，故其關(guān)節(jié)角θi為變量，桿件長度ai、扭轉(zhuǎn)角αi和橫距di均為固定值。

表1 IRS-300六軸機(jī)器人D-H參數(shù)

1.2 運(yùn)動學(xué)正解

根據(jù)相鄰桿件之間的坐標(biāo)變換矩陣，可以得到末端坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的變換矩陣：

(1)

結(jié)合表1中機(jī)器人D-H參數(shù)求解可得IRS-300機(jī)器人的正運(yùn)動學(xué)方程為：

nx=[c5(s1s4+c1c4c23)-s5c1s23]

ox=-c6(c4s1-s4c1c23)-s6[c5(s1s4+c4c1c23)-s5c1s23]

ax=-s5(s1s4+c4c1c23)-c5c1s23

ny=s6(c1c3+s4s1c23)-c6[c5(c1s4-c4s1c23)]+s5s1s23

卸下妝容的卓別林，連京劇大師梅蘭芳都沒認(rèn)出來！二十世紀(jì)三十年代，梅蘭芳前往美國演出，電影名城洛杉磯的劇場工作人員特意為他準(zhǔn)備了歡迎酒會。酒會上一位個子不高的紳士熱情地與梅蘭芳握手，梅蘭芳第一眼看他只覺得眼熟，但竟然沒看出來這位就是大名鼎鼎的卓別林。要知道，早在二十世紀(jì)二十年代，卓別林的電影就已經(jīng)風(fēng)靡中國了。

oy=c6(c1c4+s4s1c23)+s6[c5(c1s4-c4s1c23)+s5s1s23]

ay=s5(s1s4-c4s1c23)-c5s1s23

nz=c6[c23s5+s23c4c5]+s23s4s6

(2)

oz=s23c6s4-s6(c23s5+s23c4c5)

az=c23c5-s23c4s5

px=c1(a3c23+d4s23+a2c2)

pz=d1-d4c23+a3s23+a2s2

其中：s23=sin(θ2+θ3)；c23=cos(θ2+θ3)；si=sinθi；ci=cosθi。

1.3 運(yùn)動學(xué)逆解

在已知末端執(zhí)行器中心點的位姿矩陣的基礎(chǔ)上計算各關(guān)節(jié)需要轉(zhuǎn)動的角度θi(i=1～6)，解決運(yùn)動學(xué)逆向問題[7]，簡稱逆運(yùn)動學(xué)。采用雙變量正切函數(shù)來表示關(guān)節(jié)變量，可以避免出現(xiàn)解丟失的現(xiàn)象，得到的各個關(guān)節(jié)角如下：

θ1=arctan2(py,px)

A=ρsinφ,B=ρcosφ,C=ρsin(φ+θ2)

arctan2(pz-d1,pxc1-pys1)-θ2

(3)

θ4=arctan2(axs1-zyc1,azc1+axc1c23+zys1c23)

azc23-axc1s23-zts1s23)

θ6=arctan2(-ozc23+oxc1s23+oys1s23,

n2c23-nxs23-nys1s23)

由式(3)可以看出θ2、θ3和θ5各存在兩個值，故一共有8組解。由于機(jī)器人存在工作空間的限制，某些解可能處于機(jī)器人無法到達(dá)的工作空間。所以，要根據(jù)實際工作情況來確定運(yùn)動學(xué)的逆解。

2 IRS-300運(yùn)動學(xué)仿真

運(yùn)動學(xué)仿真是運(yùn)用數(shù)值模擬的方法計算運(yùn)動學(xué)方程，仿真內(nèi)容包含位置、位移、速度和加速度等，該過程可以更加直觀地觀察機(jī)器人各關(guān)節(jié)的變化情況。借助MATLAB中的Robotic Toolbox插件，結(jié)合link函數(shù)建立各個桿件參數(shù)，利用robot函數(shù)將各個桿件連接起來，組成機(jī)器人對象。根據(jù)表1中的D-H系數(shù)，建立的機(jī)器人模型如圖3所示。

圖3 IRS-300六軸機(jī)器人三維模型

2.1 正運(yùn)動學(xué)仿真

已知該機(jī)器人各關(guān)節(jié)的初始角度TS和終止角度TF：

利用Robotics Toolbox中的的fkine()函數(shù)和plot()函數(shù)得到機(jī)器人末端初始和終止位置位姿的奇次變換矩陣，用plot3()函數(shù)畫出機(jī)器人末端執(zhí)行器的軌跡，如圖4所示。

圖4 機(jī)器人末端移動軌跡

2.2 逆運(yùn)動學(xué)仿真

根據(jù)2.1中初始角度TS和終止角度TF，可分別得到機(jī)器人末端位姿TS和TF：

得到的執(zhí)行器末端移動軌跡如圖5所示。

圖5 機(jī)器人末端移動軌跡

對比圖4和圖5可以看出，兩次仿真結(jié)果雖然起始點和終止點相同，但中間的運(yùn)動過程卻是不同的，說明了在求解機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解問題時的解是不唯一的，驗證了1.3結(jié)論中的逆解不唯一性。

2.3 各關(guān)節(jié)運(yùn)動情況

利用plot()函數(shù)畫出機(jī)器人末端自初始角度TS至終止角度TF過程中各關(guān)節(jié)角度、速度和角加速度的變化情況，如圖6-圖8所示。

圖6 各關(guān)節(jié)角度變化

圖7 各關(guān)節(jié)速度變化

圖8 各關(guān)節(jié)角加速度變化

從圖6-圖8中可以看出，在機(jī)器人末端執(zhí)行器自起始位置至終止位置這一過程中，各個關(guān)節(jié)隨時間的變化都是光滑的曲線，沒有突變區(qū)域，表明該機(jī)器人的各個關(guān)節(jié)均可以正常地運(yùn)行，能夠安全穩(wěn)定地達(dá)到所期望的位姿，表明該機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計合理。

3 結(jié)語

針對推導(dǎo)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)過程時涉及復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算、計算繁瑣這一問題，本文以IRS-300六自由度工業(yè)機(jī)器人為算例，運(yùn)用MATLAB及其Robotics Toolbox作為分析工具，進(jìn)行了機(jī)器人的三維建模和運(yùn)動學(xué)仿真。仿真結(jié)果表明：1)可大大提高進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析時的工作效率，生成的仿真圖形便于直觀地了解機(jī)器人的運(yùn)動形態(tài)和工作空間，有良好的應(yīng)用前景。2)驗證了求解正逆問題中逆解不唯一的結(jié)論，得到了各個關(guān)節(jié)在機(jī)器人運(yùn)動過程中角度、角速度、角加速度的變化曲線，通過觀察變化曲線表明該機(jī)器人各關(guān)節(jié)可以平穩(wěn)地運(yùn)行，驗證了機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計合理，可以達(dá)到期望的位姿，對機(jī)器人軌跡規(guī)劃具有實際指導(dǎo)意義。