周麗佳 王品 張占美

摘要：本文分析了高等數(shù)學中連續(xù)性的概念，對間斷點的判斷及常見錯誤通過經(jīng)典例題的形式進行了分析。

關鍵詞：連續(xù)性;間斷點

函數(shù)的連續(xù)性是高等數(shù)學中一個非常重要的數(shù)學概念，連續(xù)性反映了自然現(xiàn)象連續(xù)變化的共同特性。古典物理學有一句格言：自然界中一切都是連續(xù)的。高等數(shù)學中所研究的主要對象也是連續(xù)函數(shù)。

一、函數(shù)在一點處連續(xù)的定義

函數(shù)在一點處連續(xù)的定義主要兩種形式。

定義1：設函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，如果趨近于零時，的極限值是0，即，那么，函數(shù)在點處就是連續(xù)的。

定義1刻畫了函數(shù)連續(xù)的本質—自變量的微小變化引起的只能是函數(shù)值的微小變化。連續(xù)的這一定義也解釋了眾多自然現(xiàn)象。例如汽車在行駛過程中，雖然做的是變速運動，但是當時間間隔非常非常短時，速度的變化就會非常小。再例如一天中溫度差異很大，但是如果時間間隔非常短時，溫差就會很小等等。

定義2：設函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，若極限值與函數(shù)值相等，即，則稱函數(shù)在點處連續(xù)的。

這兩個都是函數(shù)在一點處的定義，那這兩個定義有什么關系呢？定義1的關系式中，令，則當趨近于0時，與有什么關系呢？顯然趨近于。那么，關系式如何變形？趨近于0可以換成趨近于，可以換成，于是，我們得到，由于是常數(shù)值，它的極限就是它本身，因此，得到，從而得出。通過分析我們可以看出，定義2其實就是對定義1進行了形式上的改寫。但是，在實際判定函數(shù)的連續(xù)性時，我們通常采用定義2。利用定義2我們可以歸結為要判斷函數(shù)在一點處是否連續(xù)需滿足三個條件。一是看定義，看函數(shù)在該點是否有定義。二是求極限，求函數(shù)在該點的極限值。三是作判斷，判斷函數(shù)在該點的極限值是否等于函數(shù)值。三個條件缺一不可！

二、函數(shù)連續(xù)性的判斷

接下來我們用定義討論一下函數(shù)在處的連續(xù)性。

這是一個分段函數(shù)，用定義2來判定，仍然要參照三個條件。

看定義：在函數(shù)的第一段，因此函數(shù)在處有定義，其實，分段函數(shù)從解析式中就可以看出分段點出是否有定義，所以無需特別討論定義;求極限：分段點處的極限應該如何求解呢？將這一點分別代入它左右兩側的解析式，分別求左右極限。左極限如何代？代入小于0的第二段，極限值是1，而右極則代入大于0的第一段，極限值是0，左右極限雖然都存在，但卻不相等，因此極限不存在，不滿足第二個條件，所以函數(shù)在處不連續(xù)。

數(shù)學講究數(shù)形結合，再從函數(shù)圖像上來看，在小于0的左側，函數(shù)是一條單調(diào)遞增的直線，處及其右側呢？是正弦函數(shù)的一部分，從圖像上明顯看出，函數(shù)在處不連續(xù)。

雖然函數(shù)在處不連續(xù)，但是其實，函數(shù)在處的右極限值是與它的函數(shù)值相等的，此時，我們稱函數(shù)在處右連續(xù)。從中，我們可以總結出右連續(xù)的定義：如果函數(shù)在某一點的右極限存在，且等于該點的函數(shù)值，則稱函數(shù)在這一點右連續(xù)。

那么，這道題的結論，除了不連續(xù)，我們還可以進行更進一步的判定，是什么呢？由于函數(shù)在處的右極限值等于該點的函數(shù)值，因此，函數(shù)在處右連續(xù)。

同樣，如果將函數(shù)圖像稍加改動，讓函數(shù)在處的左極限與該點的函數(shù)值相等，那么我們稱，函數(shù)在處左連續(xù)。對比右連續(xù)，左連續(xù)又該如何定義呢？如果函數(shù)在某一點的左極限存在，且等于該點的函數(shù)值，函數(shù)在這一點左連續(xù)。

回到原來的函數(shù)圖像，如果將函數(shù)圖像的左半部份下移一個單位，此時圖像在處就連續(xù)了，在這種情況下，無論以怎樣的方式趨近于0，它的極限值都等于函數(shù)值。其中，這種情況就是我們剛才所說的左連續(xù)、右連續(xù)，由此，我們得出函數(shù)在某一點連續(xù)的充要條件是：左連續(xù)且右連續(xù)。

三、間斷點的判斷及常見錯誤分析

不連續(xù)的點我們就稱為間斷點，那什么原因導致了不連續(xù)呢？如果上述的三個條件有一個或一個以上不滿足，其點就是間斷的。換句話說間斷的原因可能有三個。一是無定義，二是無極限，三是極限值和函數(shù)值不等。依據(jù)間斷的原因，函數(shù)的間斷點分為兩大類。

判斷分段函數(shù)間斷點的類型是一個重點，同時也是一大難點。下面通過具體的函數(shù)來進行分析，以便加深學生的理解。

例1：討論函數(shù)分的連續(xù)性

學生在初學連續(xù)性時很容易混淆概念，他們可能注意到函數(shù)在x不等于零時，出現(xiàn)在分母位置上，所以自然以為函數(shù)在x為零這一點是沒有定義，所以不滿足連續(xù)的三個條件，因而函數(shù)在分段點處是間斷的。這一思路錯誤在于對函數(shù)概念不清晰，把分段函數(shù)當成了兩個獨立分開的函數(shù)來看待。

我們來看看該如何求解。首先我們來看一下這個分段函數(shù)的分段點是什么？自然是零點，函數(shù)把不為零的點的函數(shù)都定義為，定義，接下來看零這一點是否滿足連續(xù)的三個條件。第一，函數(shù)在零這一點有定義，且為;第二，函數(shù)的極限值為，第三，極限值等于該點的函數(shù)值。因此，函數(shù)在分段點處是連續(xù)的，而在其他各點函數(shù)都是連續(xù)的。

例2：求函數(shù)的間斷點，并判定間斷點的類型。

解析：這是一個分式函數(shù)，要使表達式有意義，分母需不為零。因此且，故與為間斷點。接下來再考察間斷點的類型。

由于所以是第一類間斷點里的可去間斷點。

由于，所以是第二類間斷點里的無窮間斷點。

是不是求解就算完畢了？沒有！因為還沒有全面的討論其它點。在都連續(xù)，所以間斷點僅有上述的兩個。

例3：求函數(shù)的間斷點，并判定其類型。

解析：這是一個相對復雜的分段函數(shù)，函數(shù)的分段點為，先考察函數(shù)在該點的連續(xù)性情況，由于函數(shù)在分段點兩側的表達式發(fā)生了變化，所以分左右極限來考察。，，可以看出函數(shù)在零左右兩側的極限不相同，故是第一類間斷點里的跳躍間斷點。那該點是不是唯一的間斷點呢？上面的分析只是討論了分斷點，這也是很多同學在求間斷點時很容易遺漏，我們再來考察一下函數(shù)在其它點的情況。

當時，，由于分母不能為零，所以當，即是函數(shù)的間斷點。

當，，同樣因為分母不能為零，所以當，即是函數(shù)的間斷點。又由于不存在，故是第二類間斷點的震蕩間斷點。

例4：判斷函數(shù)的間斷點

很多同學得出的結論是間斷點有兩個，分別為和，這個答案是否正確呢？要解決這個問題，我們需要回到間斷點的定義。在間斷點的定義里有一個前提條件就是如果是函數(shù)的間斷點，那么函數(shù)在的某去心領域內(nèi)是一定有定義的。再來看看很多同學的給出的兩個答案和，同學們之所以認為它們是間斷點是因為兩個點都使得分母為零，但是判斷間斷點我們還得注意間斷點定義中的前提條件。由于分子是，所以函數(shù)在的去心領域是沒有定義的，故而函數(shù)的間斷點只有一個即為，進一步可以得到，所以是第二類間斷點里的無窮間斷點。

在實際的課堂教學過程中，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性和間斷點看似內(nèi)容不算復雜，但是在學生學習過程中會遇到很多困惑，解開謎團的鑰匙其實在于深刻體會函數(shù)連續(xù)性和間斷點的概念所蘊藏的數(shù)學思維和方法，在學習中舉一反三，融會貫通。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學教研室。高等數(shù)學（第七版）[M]（上冊。北京：高等教育出版社，2014）

[2]華東師范大學數(shù)學系。數(shù)學分析（第五版）[M]（上冊。北京：高等教育出版社，2012）

[3]曾大恒。高職數(shù)學可以避繁就簡[J]（數(shù)學學習與研究，2017）

作者簡介：

周麗佳，1979年8月25日出生，女，漢族，江蘇南通人，碩士研究生學歷，副教授職稱，主要研究數(shù)學教育方向，工作于陸軍航空兵學院基礎部。

王品，1973年9月25日出生，男，漢族，貴州畢節(jié)人，大學學歷，教授職稱，主要研究數(shù)學教育方向，工作于陸軍航空兵學院基礎部。

張占美，1982年2月28日出生，女，漢族，河北肅寧人，碩士研究生學歷，副教授職稱，主要研究數(shù)學教育方向，工作于陸軍航空兵學院基礎部。