浙江省象山縣第二中學(xué) (315731) 馬燕青

最近，筆者參加了縣教壇新秀的課堂教學(xué)評(píng)比，課題是“曲線與方程”.“曲線與方程”是解析幾何核心思想——“用代數(shù)方法研究幾何問題”的理論依據(jù)，它解釋了曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，展現(xiàn)了“數(shù)與形”、“靜止與運(yùn)動(dòng)”的對(duì)立統(tǒng)一.因此，本節(jié)課在高中數(shù)學(xué)中的教學(xué)地位非常重要.

1 教學(xué)的目標(biāo)定位：“學(xué)生能夠描述定義”

在教材(人教A版)中，本節(jié)課只占區(qū)區(qū)“30余行字”，所有的內(nèi)容都是圍繞著“曲線方程”與“方程曲線”的概念展開，因此，筆者認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)就是讓學(xué)生理解什么是“曲線方程”與“方程曲線”的基礎(chǔ)上能夠?qū)唧w的問題進(jìn)行“純粹性”與“完備性”的證明.主要教學(xué)過程如下：

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題1 已知曲線C：第一、三象限角平分線和三個(gè)方程f(x,y)=0：①x-y=0,②x-y=0(x≥0),③|x|=|y|，試判斷 ：

(1)曲線C上各點(diǎn)的坐標(biāo)是否都是相應(yīng)方程f(x,y)=0的解 ；

(2) 以相應(yīng)f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線C上?

意圖：直接設(shè)問明晰思考方向，適當(dāng)反問誘發(fā)學(xué)生的深入思考，為曲線與方程概念的獲得鋪設(shè)第一步臺(tái)階.

問題2 你能寫出下列圖1，圖2曲線對(duì)應(yīng)的方程嗎？

圖1 圖2

意圖：利用學(xué)生熟悉的曲線寫出其相應(yīng)方程，進(jìn)一步理解曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為曲線與方程概念的獲得鋪設(shè)第二步臺(tái)階.

1.2 自主探究，形成概念

問題3 根據(jù)上述兩個(gè)問題的解答，請(qǐng)回答下面兩個(gè)問題：

(1)對(duì)給定的曲線C，如用一個(gè)方程f(x,y)=0來表示，那么該方程應(yīng)該滿足哪些條件？

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中你認(rèn)為每條曲線C是否只有唯一的方程f(x,y)=0和它對(duì)應(yīng)？反過來呢?

意圖：揭示曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，抽象出“曲線的方程與方程的曲線”的概念.

一般地，在給定的平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.并說明曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系;方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形.

1.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用，深化概念

例1 判斷下列命題是否正確，并說明理由.

(1)到x軸距離等于1的點(diǎn)的軌跡方程為x=1；

(2)△ABC的頂點(diǎn)A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D為BC的中點(diǎn)，則中線AD的方程為x=0；

(3)到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為|xy|=1.

例2 證明：以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于2的圓的方程為x2+y2=4.

意圖：用兩道例題來深化對(duì)“曲線與方程”概念的理解，學(xué)會(huì)用圍繞著曲線的方程與方程的曲線的定義來驗(yàn)證數(shù)與形之間的等價(jià)性.

教學(xué)反思：通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生基本能夠求出曲線對(duì)應(yīng)的方程，但在證明“曲線與方程”的等價(jià)性時(shí)卻出現(xiàn)了問題.學(xué)生看似能夠熟練的“描述”曲線的方程與方程的曲線的等價(jià)性.比如，在例2中，學(xué)生會(huì)說“圓上點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都是方程x2+y2=4的解，反過來以方程x2+y2=4的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上”.隨后，筆者把問題改為“求以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于2的上半圓的方程”，學(xué)生給出的曲線方程是“x2+y2=4(y>0)”，方程顯然正確，但當(dāng)筆者問道“怎么證明所求的方程就是半圓的方程”，學(xué)生給出的理由就是把對(duì)“例2”描述重復(fù)一遍，唯一的差別就是把其中的“圓”替換成了“半圓”，當(dāng)筆者追問“怎么驗(yàn)證半圓上的點(diǎn)都滿足方程x2+y2=4(y>0)” 時(shí)，多數(shù)學(xué)生一臉茫然…，可見，學(xué)生是“知其然而不知其所以然”，對(duì)“方程與曲線”的一致性的證明只是停留在對(duì)概念本身的“描述”階段，而沒有真正的理解其中的數(shù)學(xué)原理，即為什么可以這樣描述？

2 反思：“定義描述”無法替代“邏輯推理”

本節(jié)課的教學(xué)為什么不能取得預(yù)期的教學(xué)效果，主要原因是教學(xué)難點(diǎn)沒有得到真正的突破.表面上看，“曲線的方程與方程的曲線”的概念是本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)，似乎概念能“描述”清楚，教學(xué)目標(biāo)就能夠達(dá)成，從而導(dǎo)致教師過分地關(guān)注對(duì)“曲線的方程與方程的曲線”概念本身的描述，而忽視了對(duì)“曲線與方程”等價(jià)性原理的揭示，其所產(chǎn)生的后果就是學(xué)生對(duì)“曲線與方程”的認(rèn)知只能在記憶與模仿的低級(jí)思維層面徘徊，面對(duì)具體的問題只能是“依樣畫葫蘆”.

實(shí)際上，“邏輯推理”才是這節(jié)課的核心，從“曲線與方程”概念的生成到判斷證明，無一不需要經(jīng)過邏輯推理.作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的邏輯推理，它是一種基于事實(shí)和命題，并根據(jù)規(guī)則推導(dǎo)出其他命題的素養(yǎng).邏輯推理主要包括兩類推理：一類是從特殊到一般的推理，主要有歸納、類比兩種推理形式；另一類是從一般到特殊的推理，主要就是演繹推理.在本節(jié)課中，一方面，需要通過歸納與類比推理來“驗(yàn)證某個(gè)特殊點(diǎn)在或者不在曲線上”從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“曲線與方程”之間的關(guān)聯(lián)性，獲得“曲線的方程與方程的曲線”的概念；另一方面，需要通過演繹推理從純粹性與完備性兩個(gè)角度來驗(yàn)證“曲線與方程”的等價(jià)關(guān)系，從而使學(xué)生掌握推理的基本形式和規(guī)則，體會(huì)以形描數(shù)，以數(shù)敘形，數(shù)形一統(tǒng)的解析幾何基本思想.但教學(xué)中以“定義描述”來替代“邏輯推理”的不當(dāng)做法淡化了證明的推理屬性，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“曲線與方程”的理解無法觸及本質(zhì).

3 教學(xué)目標(biāo)再定位：“學(xué)生學(xué)會(huì)邏輯推理”

由此可見，學(xué)會(huì)邏輯推理才是“曲線與方程”這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).推理作為不可或缺的思想方法，滲透在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家陳省身說過，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)推理，推理很要緊， 推理不僅在數(shù)學(xué)，在其他學(xué)問里也是要用到的.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》明確指出，培養(yǎng)和提高學(xué)生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成.由于學(xué)生第一次接觸關(guān)于“曲線與方程”關(guān)系的嚴(yán)格論證，缺乏相關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，因此，需要對(duì)推理的過程進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì).

3.1 立足“運(yùn)動(dòng)中的不變性”，明確推理的依據(jù)

對(duì)于“曲線與方程”等價(jià)性的推理主要存在兩大障礙：一是“曲線”呈現(xiàn)出來的是直觀的“形”，而方程反映的是抽象的“數(shù)”，它們分屬于不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，很難進(jìn)行直接對(duì)比；二是曲線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，方程有無數(shù)個(gè)解，從數(shù)量上無法做到逐一對(duì)比.突破這兩大障礙的關(guān)鍵是要找到溝通“曲線”與“方程”的橋梁.那這個(gè)橋梁到底是什么呢？其實(shí)就是曲線所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、幾何屬性，即“運(yùn)動(dòng)中的不變性”.

又比如，證明“第一、三象限角平分線”與方程“y-x=0”的等價(jià)性，關(guān)鍵要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)與方程的解都滿足角平分線的幾何屬性，即“到角兩邊的距離相等.“第一、三象限角平分線”上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x)，顯然到兩坐標(biāo)軸的距離都相等；方程“y-x=0”的任意一組解都滿足|y|=|x|，進(jìn)一步變形為|y-0|=|x-0|，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，方程所表示的就是“到坐標(biāo)軸兩邊距離相等”.不論是“第一、三象限角平分線”，還是方程“y-x=0”，它們都是對(duì)角平分線幾何屬性的刻畫，因此它們是等價(jià)的.

如圖3，在解析幾何中，一方面用方程來表示曲線“運(yùn)動(dòng)中的不變性”，另一方面可以通過分析方程的結(jié)構(gòu)特征來發(fā)掘其所蘊(yùn)含的“運(yùn)動(dòng)中的不變性”，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)形一致性的驗(yàn)證.由此可見，“運(yùn)動(dòng)中的不變性”才是“曲線與方程”等價(jià)性推理的依據(jù)，這個(gè)依據(jù)教材雖然沒有明確指出，但縱觀前面的直線與圓，還是后面的圓錐曲線，都是按照“探索定義——求解方程——等價(jià)性檢驗(yàn)”套路展開的，其中“探索定義”實(shí)質(zhì)上就是研究曲線“運(yùn)動(dòng)中的不變性”，只有定義得到明確方程才能得以求解.因此，在本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中，首先應(yīng)該強(qiáng)調(diào)曲線上點(diǎn)的“運(yùn)動(dòng)中的不變性”，即要把曲線的“定義”凸顯出來，在學(xué)生明白“曲線是怎么來”的基礎(chǔ)上再進(jìn)行等價(jià)性的推理.

圖3

3.2 經(jīng)歷特殊到一般的過程，明確推理的步驟

圖4

數(shù)學(xué)概念一般分為兩類，一類是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象或關(guān)系的直接抽象，這類概念與生活現(xiàn)實(shí)接近，容易理解；另一類是純粹的數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)造，這類概念高度抽象，沒有客觀現(xiàn)實(shí)與之對(duì)應(yīng).“曲線與方程”恰恰屬于后一類，從淺層上看它是對(duì)兩個(gè)概念的抽象表述，但從深層次上看恰恰是對(duì)兩個(gè)概念邏輯關(guān)系的驗(yàn)證.李邦河院士認(rèn)為 “數(shù)學(xué)從根本上玩的是概念”，因此，教師要依據(jù)數(shù)學(xué)概念類型來規(guī)劃教學(xué)流程，在教學(xué)中更是要做到“不惜時(shí),不惜力”.