江蘇省灌南高級(jí)中學(xué) (222500) 唐志林 劉鑫鈞

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)最大的一個(gè)亮點(diǎn)就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出.史寧中教授曾指出新課標(biāo)所設(shè)定的核心素養(yǎng)的本質(zhì)就是抽象、推理、模型[1]，而數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)又居于六大核心素養(yǎng)的首位，因此對(duì)于如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)就顯得尤為重要.然而在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中學(xué)生往往只見“厚”的教學(xué)，卻未見教學(xué)的“薄”，因此需要提高學(xué)生對(duì)問題不斷抽象的水平，從而把握問題本質(zhì).本文擬就在“厚”“薄”數(shù)學(xué)觀下研究如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

一、“厚”“薄”數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

(一)“厚”“薄”數(shù)學(xué)觀

道生一，一生二，二生三，三生萬物，學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于領(lǐng)悟到“道”，而要領(lǐng)悟到“道”就需先得“一”，這個(gè)“一”應(yīng)該是簡(jiǎn)單的，也是最本質(zhì)的.在平常的教學(xué)中，我們總是追求結(jié)論清晰，盡量做到一言以蔽之，就是對(duì)“薄”的追求.同時(shí)我們也總是希望解法簡(jiǎn)潔明了，讓學(xué)生一看就能明白問題的本質(zhì)，亦是對(duì)“薄”的苛求.因此，“薄”就是簡(jiǎn)單、簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)約，就是老子所講的“一”，是我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中的最高追求.然而在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中學(xué)生往往被厚厚的書本和沉甸甸的試卷壓得喘不過氣來，教師不斷的重復(fù)拉網(wǎng)式的講題，使學(xué)生不堪忍受.因此，“厚”體現(xiàn)在多雜、繁雜、亂雜，就是老師所講的“萬物”.平常教學(xué)中的“厚”使得學(xué)生陷入題海而不能自拔，使得學(xué)生只見“萬物”而未得“一”.

(二)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

所謂抽象，是指從一類事物中舍去個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽取共同的、本質(zhì)的屬性的思維過程.抽象的本質(zhì)是對(duì)同類事物的刻畫與構(gòu)造.數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的過程.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.數(shù)學(xué)抽象具有純粹性、層次性、形式化等特征.

一是純粹性.數(shù)學(xué)抽象只考慮數(shù)量關(guān)系與空間形式，譬如我們只見過直的木棍，直的鉛筆，但是誰又曾見過數(shù)學(xué)研究對(duì)象中真正的“直線”.經(jīng)數(shù)學(xué)抽象所得到的概念、命題等是屬于“理性的世界”.譬如，用筆畫出了圓，圓畫好了，但這真的是圓嗎？事實(shí)上線條上的每個(gè)點(diǎn)一定不會(huì)跟圓心有相同的距離，因此是個(gè)不完美的圓，而數(shù)學(xué)定義上的圓，線條不能有寬度，線條上的點(diǎn)到圓心的距離都是相等的.真正的圓是不可畫，也不可見，只能通過思想認(rèn)知，圓是作為一個(gè)理性來認(rèn)知，因而數(shù)學(xué)抽象具有純粹性.

二是層次性.對(duì)于有感性的、現(xiàn)實(shí)的事物或問題上升為數(shù)學(xué)抽象，往往需要經(jīng)歷多個(gè)層次，即可以進(jìn)行多級(jí)抽象.從現(xiàn)實(shí)中的距離感抽象出歐式幾何中的距離，再逐級(jí)抽象到泛函分析中距離的概念：X是任意一非空集合，對(duì)于X中任意三點(diǎn)x,y,z，存在一實(shí)數(shù)d(x,y)滿足d(x,y)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)；d(x,y)=d(y,x)；d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)，則稱d(x,y)為x與y之間的距離.正如徐利治教授所說：數(shù)學(xué)抽象概念的發(fā)展是具有層次性的.抽象層次越高，概括性亦越強(qiáng),其應(yīng)用就更具廣泛性.

三是形式化.數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)思維的重要載體，大量數(shù)學(xué)符號(hào)的使用，才使得對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究轉(zhuǎn)為形式化的分析變得可能，使得數(shù)學(xué)概念、命題及公式等在表述上更加簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)，在思維上更加清晰、有序，在理解上更容易認(rèn)識(shí)本質(zhì)結(jié)構(gòu)及內(nèi)在聯(lián)系.

二、“厚”“薄”數(shù)學(xué)觀下數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的策略

我們認(rèn)為，應(yīng)該從展“形”、變“形”與析“形”，忘“形”，得“一”這五個(gè)過程來闡述在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中如何忘“形”得“一”，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的“厚”向教學(xué)的“薄”的轉(zhuǎn)化.

(一)展“形”——表征圖形中元素位置形態(tài)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017)強(qiáng)調(diào)：對(duì)學(xué)生“直觀想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，培養(yǎng)理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).因此，在解題教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生把試題中元素的位置形態(tài)用圖形語言表示出來.從哪入手呢？

例過點(diǎn)P(-4,0)的直線l與圓C:(x-1)2+y2=5相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，則直線l的方程為.

例題的圖形表征大致如圖1所示，在表征的過程中認(rèn)識(shí)到只有當(dāng)l處于一個(gè)特定位置的時(shí)候，A才可能恰好是線段PB的中點(diǎn)，在畫圖的過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫圖的順序有所不同，有的同學(xué)是先畫直線，后標(biāo)注點(diǎn)A，B，即先產(chǎn)生直線，因此可以先假設(shè)直線斜率k，然后求點(diǎn)；也有同學(xué)先畫點(diǎn)，再連接兩點(diǎn)所在直線，最后出現(xiàn)另一點(diǎn)，這樣就可以設(shè)點(diǎn)來做.利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，在圖形表征過程中實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)的理解問題.

圖1

(二)變“形”——變換圖形中元素及位置關(guān)系

解題教學(xué)不僅要一題多解，更要善于多題歸一，要善于對(duì)問題進(jìn)行變式，通過變式教學(xué)，使數(shù)學(xué)教學(xué)有層次地遞進(jìn)，從而深化對(duì)這類問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

1.改變?cè)?/p>

①由定點(diǎn)變動(dòng)點(diǎn)得到：

變式1 過點(diǎn)E(2,t)作直線l與圓C:x2+y2=1交于M，N兩點(diǎn)，若M點(diǎn)恰好是線段NE的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

②由豎線變斜線得到：

變式2 已知圓C:(x-2)2+y2=1，點(diǎn)P在直線l:x+y+1=0上，若過點(diǎn)P存在直線m與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A為PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0的取值范圍是.

③由定圓變動(dòng)圓得到：

變式3 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為⊙H．對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求⊙C的半徑r的取值范圍.

2.變更條件

①由中點(diǎn)變向量得到：

圖2

②由直線變動(dòng)圓，中點(diǎn)變比例得到：

變式5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1:(x+1)2+(y-6)2=25，圓C2:(x-17)2+(y-30)2=r2．若圓C2上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P可作一條射線與圓C1依次交于點(diǎn)A,B，滿足PA=2AB，則半徑r的取值范圍是.

(三)析“形”——整合相關(guān)圖形

例題及相關(guān)5個(gè)變式的圖形表征如上圖所示，下面需要的就是整合這六個(gè)圖形，即把一些零散的內(nèi)容通過某種方式而彼此銜接，其主要的精髓在于將零散的要素組合在一起,并最終形成有價(jià)值有效率的一個(gè)整體.

(四)忘“形”——抽象基本模型

首先，我們可以看出例1至變式2，定點(diǎn)變動(dòng)點(diǎn)，直線可以是橫線(x軸)亦或是豎線與斜線，其中線段比例關(guān)系為1∶1，圓始終是定圓.因此，這三個(gè)圖形可以抽象為下列一個(gè)基本的模型.

模型一過直線l上一點(diǎn)P作一條直線，交定圓于A，B，其中PA∶AB=1∶1.

(五)得“一”——對(duì)模型本質(zhì)的概括與普適性解法的提煉

在高三的解題教學(xué)之中，如果我們就題講題，那么教師與學(xué)生都將陷于題海之中而不能自拔，如何得其“一”，而忘其形呢？關(guān)鍵的一步就是要對(duì)題型及解法抽象，并實(shí)現(xiàn)歸一.

1.題型的概括抽象

2.解法的提煉與統(tǒng)一

由以上分析我們發(fā)現(xiàn)這些試題本質(zhì)上是一類題型，因此，在教學(xué)過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握這一類題型的普適性解法，而不是一題一題的講解.為便于具體說明，這里以曲線C為直線或圓，C1為圓H:(x-a)2+(y-b)2=r2為例.

三、結(jié)語

教師在平常的解題教學(xué)過程中不僅要讓學(xué)生獲得問題的解決，更應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)一類問題解決的能力，這就需要對(duì)問題不斷的展“形”、變“形”、析“形”將知識(shí)讀厚，通過忘“形”及抽象將知識(shí)、方法不斷讀薄，乃至得“一”，讓學(xué)生不斷經(jīng)歷抽象的過程，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)一類問題模型的識(shí)別與概括能力，讓學(xué)生領(lǐng)悟一類問題解決的具有普適性的思維方法.既要看到樹木，更要看到深林.不僅要鍛煉學(xué)生解決問題的靈活性，更要突出對(duì)解法共相、本質(zhì)上的提煉，從而使數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在課堂上真正落地.