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        立足于數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)基本結(jié)構(gòu)*
        ——以“等比數(shù)列”復(fù)習(xí)課為例

        2021-10-21 10:20:08孫冬梅上海市進(jìn)才中學(xué)200135
        中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2021年10期
        關(guān)鍵詞:等比數(shù)列解構(gòu)意圖

        孫冬梅 (上海市進(jìn)才中學(xué) 200135)

        隨著2017年版(2020年修訂)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布,課堂教學(xué)價值追求開始由單純的知識傳授向素養(yǎng)整體培育轉(zhuǎn)型,以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向、以知識構(gòu)建為基本特征的課堂教學(xué)成為主流.對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言,數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)邏輯中的最基本單元,是核心素養(yǎng)培育的起點,而數(shù)學(xué)核心概念更是數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)的核心和基礎(chǔ).因此,本文基于數(shù)學(xué)核心概念開展數(shù)學(xué)教學(xué)研究,以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育為目標(biāo),探尋概念教學(xué)基本結(jié)構(gòu);以“等比數(shù)列”復(fù)習(xí)課為例,進(jìn)行具體教學(xué)實踐.

        1 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的目標(biāo)定位

        以核心素養(yǎng)為培養(yǎng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué),追求的是學(xué)生能建構(gòu)概念、理解概念和發(fā)展概念.

        (1)概念建構(gòu)有坡度:即指通過數(shù)學(xué)核心概念的獲得,學(xué)生不僅能夠知道概念的表述,更能經(jīng)歷形象感知、建立表象、數(shù)學(xué)抽象等概念建構(gòu)的過程,在概念建構(gòu)中感知數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生過程,夯實數(shù)學(xué)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).

        (2)概念理解有深度:即指通過數(shù)學(xué)核心概念的多層次理解,學(xué)生不僅能夠認(rèn)識知識的表象,更能深刻領(lǐng)會知識的本質(zhì)及蘊含的數(shù)學(xué)思想與方法,在形成數(shù)學(xué)對象過程中運用數(shù)學(xué)方法和思考方式,在解構(gòu)概念的過程中推演數(shù)學(xué)過程,提升數(shù)學(xué)方法素養(yǎng).

        (3)概念發(fā)展有廣度:即指在深度理解的基礎(chǔ)上,學(xué)生能通過對數(shù)學(xué)核心概念的應(yīng)用,從多角度對知識進(jìn)行審視并且合理解釋與應(yīng)用,掌握運用數(shù)學(xué)知識和方法來解決問題的基本途徑和工具,感受數(shù)學(xué)價值,發(fā)展數(shù)學(xué)工具素養(yǎng).

        2 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的基本結(jié)構(gòu)

        對應(yīng)數(shù)學(xué)核心概念的三層教學(xué)目標(biāo)追求,其教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計應(yīng)把握“三個階段十一環(huán)節(jié)”的基本結(jié)構(gòu)(圖1).

        圖1 數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的“三階段十一環(huán)節(jié)”基本結(jié)構(gòu)

        (1)概念建構(gòu):這是數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的基礎(chǔ),它不是簡單的概念同化或順應(yīng),而是通過概念形成,從情境與問題中把握知識及其產(chǎn)生的原因;從共性特征的抽象中概括并建構(gòu)數(shù)學(xué)核心概念.

        (2)概念解構(gòu):這是數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的核心.只有充分解構(gòu)概念,由表及里,通過概念剖析、辨析、明晰、完善和精致,將概念進(jìn)行分解與重組、區(qū)別與聯(lián)系、發(fā)展與提煉,才能準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)核心概念的內(nèi)涵本質(zhì),領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的思想方法.

        (3)概念系統(tǒng):這是數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的價值所在.基于對概念的充分理解,才能進(jìn)一步建立基于數(shù)學(xué)核心概念的框架體系,在這一體系中對概念進(jìn)行知識性應(yīng)用、理解性應(yīng)用,并最終實現(xiàn)創(chuàng)造性應(yīng)用,建立基于數(shù)學(xué)核心概念的概念邏輯發(fā)展序列,把握知識間的多元聯(lián)系,構(gòu)建概念系統(tǒng).

        3 “三階段十一環(huán)節(jié)”教學(xué)實踐——以“等比數(shù)列”復(fù)習(xí)課為例

        基于數(shù)學(xué)核心概念的“三階段十一環(huán)節(jié)”教學(xué)基本結(jié)構(gòu),以“等比數(shù)列”復(fù)習(xí)課為例,進(jìn)行具體教學(xué)實踐探索.

        3.1 概念形成建構(gòu)概念,夯實數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)

        情境:已知數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=2n,bn=3n.

        問題1{an},{bn}是等比數(shù)列嗎?為什么?

        問題2{anbn}是等比數(shù)列嗎?為什么?

        問題3等比數(shù)列是如何定義的?

        設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)問題情境,并通過層次遞進(jìn)的三問,立足具體實例,感知等比數(shù)列概念屬性.雖然作為復(fù)習(xí)課,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過等比數(shù)列的概念,但作為本節(jié)課的核心概念,還是需要創(chuàng)設(shè)情境,通過簡單具體的實例,喚醒學(xué)生對等比數(shù)列概念的回憶及具象認(rèn)知.進(jìn)一步追問“為什么”,達(dá)到對等比數(shù)列概念的進(jìn)一步思考,追究其概念共性特征的認(rèn)知,引導(dǎo)學(xué)生再一次實踐等比數(shù)列的概念建構(gòu)過程.

        3.2 理解內(nèi)化解構(gòu)概念,提升數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)

        問題4剖析并理解定義,如何證明一個數(shù)列是等比數(shù)列?

        設(shè)計意圖明確等比數(shù)列的數(shù)學(xué)表征方式,通過數(shù)學(xué)表征剖析概念,概念定義進(jìn)一步數(shù)學(xué)化.

        問題5如何證明一個數(shù)列不是等比數(shù)列?

        設(shè)計意圖基于不同概念的比較,辨晰概念.通過不是等比數(shù)列的證明,進(jìn)一步認(rèn)識等比數(shù)列定義中的“任意性”,明確對“任意性”的否定是舉反例,尋找“存在”不成立情況的數(shù)學(xué)思維方式.

        問題6聯(lián)系等差數(shù)列,思考等比數(shù)列與等差數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別.

        設(shè)計意圖基于同類概念的對比聯(lián)系,明晰概念,突出概念的特有屬性.即將等比數(shù)列與等差數(shù)列進(jìn)行比較,兩者定義相近,都是用運算定義數(shù)列;但兩者的運算不同,前者是作比,后者是作差.在理解的過程中,就可以對數(shù)列概念進(jìn)行深入理解——基于初等運算定義數(shù)列.

        問題7類比等差數(shù)列,對等比數(shù)列還有哪些認(rèn)識?

        設(shè)計意圖發(fā)展概念性質(zhì)等,完善概念.完善概念的方式一般可借助同類概念的發(fā)展方式,如對概念的分類、性質(zhì)、運算律等開展探討.等比數(shù)列這一概念的完善,可借助等差數(shù)列的研究方式,對其運算性質(zhì)進(jìn)一步探索,為之后概念本質(zhì)的挖掘奠定基礎(chǔ).

        (1)數(shù)列內(nèi)部的運算性質(zhì)探究:例如,若m+n=p+q,則aman=apaq;若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則{can}(c為非零常數(shù)),{an+an+1}為等比數(shù)列等.

        (2)數(shù)列之間的運算性質(zhì)探究:例如,數(shù)列{an},{bn}為等比數(shù)列,則{anbn}為等比數(shù)列等.

        問題8請歸納總結(jié)等比數(shù)列性質(zhì)研究的一般方法.

        設(shè)計意圖挖掘概念本質(zhì),精致概念.在對等比數(shù)列性質(zhì)的分類、歸納中發(fā)現(xiàn):等比數(shù)列概念的發(fā)展無非是在數(shù)列內(nèi)部或數(shù)列之間進(jìn)行加、減、乘、除等初等運算去研究數(shù)列的“運算”特征,明確數(shù)列是以項數(shù)為自變量的離散函數(shù)本質(zhì).

        3.3 應(yīng)用實踐概念系統(tǒng),發(fā)展工具素養(yǎng)

        問題9已知數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=2n,bn=3n,{an+bn}是等比數(shù)列嗎?為什么?

        設(shè)計意圖概念的知識性應(yīng)用.

        問題10已知數(shù)列{cn},其中cn=2n+3n,是否存在常數(shù)p,使得{cn+1+pcn}是等比數(shù)列?若存在,求常數(shù)p.

        設(shè)計意圖概念的理解性應(yīng)用,即基于概念背后的技能、方法的靈活應(yīng)用.本題發(fā)展于問題9的進(jìn)一步探索,深化概念,形成思維路徑.

        問題12能否由此結(jié)論進(jìn)一步探索斐波那契數(shù)列的通項公式?

        設(shè)計意圖概念的創(chuàng)造性應(yīng)用.以學(xué)生熟知的斐波那契數(shù)列為背景,喚起研究興趣;以問題11搭建研究中間環(huán)節(jié),并利用化歸思想和等比數(shù)列求通項的方法,得到斐波那契數(shù)列通項公式.問題11這一中間環(huán)節(jié)的搭建與問題9、10具有同樣的研究路徑,可由教師搭建,更可由學(xué)生自行提出.這一組問題提供了(等比)數(shù)列研究方式在實際問題解決中的一般路徑與方法,發(fā)展了學(xué)生解決問題的能力和素養(yǎng).

        問題13回顧等比數(shù)列學(xué)習(xí)過程,總結(jié)數(shù)列研究的一般路徑與方法.

        問題14思考面對一個陌生數(shù)列如何開展數(shù)列研究的一般方法.

        設(shè)計意圖總結(jié)思考,形成概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng).回顧反思數(shù)列學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律,把握數(shù)列概念作為研究基礎(chǔ)的重要性;明確數(shù)列研究的一般方法——基于代數(shù)運算的研究,構(gòu)建數(shù)列概念系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

        4 小結(jié)

        基于數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)基本結(jié)構(gòu)研究,旨在以數(shù)學(xué)核心概念建構(gòu)為起點,梳理數(shù)學(xué)知識邏輯發(fā)展的結(jié)構(gòu),并探索概念發(fā)展與運用的一般規(guī)律和方法.

        概念的認(rèn)識與理解是一個長期的、不斷螺旋上升的過程,需要經(jīng)歷“事實—原理—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用—觀念”幾個過程.本文在開展以上環(huán)節(jié)的實施過程中,高度重視核心概念原理解構(gòu)中概念邏輯發(fā)展的結(jié)構(gòu):從概念剖析出發(fā),通過不同概念比較辨析、同類概念聯(lián)系明晰、發(fā)展概念性質(zhì)完善概念,并在理解基礎(chǔ)上精致概念.

        基于數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)價值,在于其可不斷生長發(fā)展的生命力.而概念生長發(fā)展的程度,也是評價概念解構(gòu)過程是否充分完整的重要指標(biāo).

        當(dāng)然,基于數(shù)學(xué)核心概念的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)建構(gòu)不是一蹴而成的,需要始終堅持基于數(shù)學(xué)核心概念的新課教學(xué)和復(fù)習(xí)課整合,在循環(huán)往復(fù)中動態(tài)建構(gòu).

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