柯志堅(jiān)

摘 要：數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)素養(yǎng)，是解決數(shù)學(xué)問題的基本途徑?；谌绾我龑?dǎo)學(xué)生在解題過程中提高解題效率和準(zhǔn)確率，文章力求從數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵出發(fā)，嘗試提出六個(gè)解決問題的策略：轉(zhuǎn)化語言明確運(yùn)算對(duì)象;追本溯源理解運(yùn)算對(duì)象;提煉過關(guān)掌握運(yùn)算法則;確定差異尋找聯(lián)系探究運(yùn)算思路;以逸待勞求得運(yùn)算結(jié)果;檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果確保準(zhǔn)確率。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算;核心素養(yǎng);內(nèi)涵;策略

數(shù)學(xué)運(yùn)算是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)運(yùn)算作為最基礎(chǔ)的素養(yǎng)之一，主要指能“在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等?！笔炀氄莆諗?shù)學(xué)運(yùn)算能讓學(xué)生解決基本的數(shù)學(xué)問題，并養(yǎng)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力。

數(shù)學(xué)學(xué)科具有一定抽象性、邏輯性、難度大，再加上課堂容量大，授課速度快等，本就超負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)的高中生是否具備較高的運(yùn)算效率及準(zhǔn)確率等扎實(shí)的運(yùn)算功底就顯得尤為重要。在課堂學(xué)習(xí)中，大部分學(xué)生在運(yùn)算過程中存在運(yùn)算出錯(cuò)或者有思路不敢運(yùn)算的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難。學(xué)生為什么總會(huì)在運(yùn)算上出問題呢？總結(jié)原因就是運(yùn)算的環(huán)節(jié)沒有落實(shí)到位。為了能使學(xué)生的運(yùn)算能力得到有效提升，謹(jǐn)以三道題的運(yùn)算為例，從數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵提出以下六個(gè)策略。

題目1：普通高中教科書人教A版（2019）必修第一冊(cè)P87第13題

（1）求函數(shù)f（x）=x3-3x2圖像的對(duì)稱中心。

解：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱圖形的函數(shù)y=f（x+a）-b為奇函數(shù)。

又y=f（x+a）-b為奇函數(shù)x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3x2圖像的對(duì)稱中心為（a，b）x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b

由f（-x+a）+f（x+a）=2b得：（-x+a）3-3（-x+a）2-[（x+a）3-3（x+a）2]=2b

化簡得到：x∈R，（6a-6）x2+（2a3-6a2）=2b

∴6a-6=02a3-6a2=2b解得：a=1b=-2，∴函數(shù)f（x）圖像的對(duì)稱中心為（1，-2）

題目2：判斷函數(shù)f（x）=log3（9x+1）-x是奇偶性。

依題意知f（x）的定義域?yàn)镽

解法1：f（-x）=log3（9-x+1）+x=log39x+19x+x=log3（9x+1）-log332x+x=f（x）

解法2：f（-x）=log3（9-x+1）+x=log319x+1+2x-x=log39x+19x+log332x-x=log39x+19x+log332x-x=log39x+19x·9x-x=log3（9x+1）-x=f（x）

解法3：f（x）-f（-x）=log3（9x+1）-log39x+19x-2x=log3（9x+1）·9x9x+1-2x=log332x-2x=2x-2x=0

題目3：已知α、β為銳角，sinα=513，cos（α-β）=35，求cosβ。

解法1：“消元法”：因?yàn)棣?、β為銳角，sinα=513，∴cosα=1-sin2α=1213

又cos（α-β）=35由兩角差的余弦公式得：cosαcosβ+sinαsinβ=35，

即1213cosβ+513sinβ=35，將sinβ=3×1325-125cosβ代入cos2β+sin2β=1中，

1352cos2β-2×3×12×1325×5cosβ+（3×13）2-252252=0即1352cos2β-2×3×12×1325×5cosβ-64×14252=0

135cosβ-1625135cosβ-5625=0，解得：cosβ=1613或cosβ=5613

解法2：“構(gòu)角法”：由cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=35cosα+513sin（α-β）

因?yàn)棣?、β為銳角，sinα=513，∴cosα=1-sin2α=1213

∴α-β∈-π2，π2，sin（α-β）=±1-sin2（α-β）=±45

當(dāng)α-β∈-π2，0時(shí)，sin（α-β）=-45，cosβ=35×1213+513×-45=-1665

當(dāng)α-β∈0，π2時(shí)，sin（α-β）=45，cosβ=35×1213+513×45=5665

基于上面三個(gè)例題，提出以下六個(gè)提高運(yùn)算能力的策略。

一、 轉(zhuǎn)化語言明確運(yùn)算對(duì)象

明確運(yùn)算對(duì)象就是指要看清、看準(zhǔn)運(yùn)算對(duì)象，如果對(duì)象看不清楚，后續(xù)的運(yùn)算都是徒勞。為了解決這個(gè)問題，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生審題時(shí)除了標(biāo)記重要的內(nèi)容或數(shù)據(jù)外，爭取充分利用三種不同的語言（文字、符號(hào)、圖形）表達(dá)形式對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行互譯轉(zhuǎn)化，并對(duì)它們之間的關(guān)系所表達(dá)的含義進(jìn)行認(rèn)真分析、反復(fù)思考、仔細(xì)推敲，以求更深入地理解題意、揭示聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)并找到解決問題的最佳途徑，從而使問題變得簡單、易于理解，這就為接下來的數(shù)學(xué)運(yùn)算做好了預(yù)備工作。

如題目1，我們知道，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：

分析：這道題絕大多數(shù)學(xué)生沒有不理解題意，主要是對(duì)題目中的文字語言所表達(dá)的奇函數(shù)的定義和對(duì)稱中心的內(nèi)涵沒理解。這樣一來就談不上數(shù)學(xué)運(yùn)算了，事實(shí)上是學(xué)生可以根據(jù)題目中奇函數(shù)的定義和對(duì)稱中心為P（a，b），分別用圖形語言表示，即用草圖1和草圖2表示y=f（x）

“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）-b為奇函數(shù)?！蓖ㄟ^對(duì)比y=f（x）與y=f（x+a）-b形式，學(xué)生易發(fā)現(xiàn)，將y=f（x）的圖像向左平移a（a>0）個(gè)單位或向右平移|a|（a<0）個(gè)單位，再向下平移|b|（b<0）單位得到y(tǒng)=f（x+a）-b的圖像。即可以發(fā)現(xiàn)圖2就是y=f（x）的圖像，圖1就是y=f（x+a）-b的圖像。因此學(xué)生就可以順暢理解題目中學(xué)生的推廣。這就完成了數(shù)學(xué)運(yùn)算的預(yù)備工作了。但要求函數(shù)f（x）=x3-3x2圖像的對(duì)稱中心學(xué)生還是無從著手。其實(shí)由y=f（x+a）-b為奇函數(shù)，用符號(hào)語言表示得到：x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b，整理得：x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b，這就完成了數(shù)學(xué)運(yùn)算的預(yù)備工作了。