鐘建萍

【摘要】方程作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它對(duì)豐富學(xué)生解決問題的策略、提高解決問題的能力、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著非常重要的意義，這節(jié)課不僅要真正地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到方程的本質(zhì)，還要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的跨越，幫助學(xué)生穩(wěn)定簡(jiǎn)易方程的模型特征。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);意義;代數(shù)思維;方程價(jià)值;方程模型

一、從以數(shù)狀物到以符狀數(shù)的“跨越”

《方程的意義》這節(jié)課首次引入方程的概念，在教學(xué)中，教師有必要對(duì)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)進(jìn)一步培養(yǎng)，明白符號(hào)引入的合理性和必要性，筆者是這么設(shè)計(jì)的：

首先，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)式子表示天平上相等物體的重量關(guān)系。

師：同學(xué)們，你們會(huì)使用天平來秤物品嗎？

生：會(huì)，一邊放物體，一邊放砝碼，如果天平平衡，砝碼的重量就是物體的重量。

師：從這個(gè)天平中，你知道了什么？

生：我知道了兩個(gè)雞蛋的重量等于那一個(gè)砝碼的重量。

師：說得真好，現(xiàn)在，我標(biāo)出天平上物體的質(zhì)量，你能用數(shù)學(xué)式子來表示出它們的關(guān)系嗎？

生：50+50=100。

在了解天平原理的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用式子表示天平上已知物體的重量情況，使學(xué)生明白天平左邊的物體重量與右邊物體重量相等時(shí)可以用等式表示，明白可以用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示生活中的物體之間的關(guān)系。目的是從學(xué)生熟悉的天平平衡的直觀情境入手，經(jīng)歷從自然語言描述事件到用數(shù)學(xué)語言描述等量關(guān)系的過程，實(shí)現(xiàn)從左右兩邊物體等值到具體數(shù)量等值的轉(zhuǎn)變，發(fā)展“以數(shù)狀物”的抽象意識(shí);體會(huì)等號(hào)左右兩邊的數(shù)或算式表示兩個(gè)相等的量，它們的地位是均等的，突破原有等號(hào)作為表示運(yùn)算結(jié)果時(shí)出現(xiàn)的符號(hào)的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生在具體情境中認(rèn)識(shí)等式，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解等量關(guān)系。接著，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)式子表示天平上不相等的物體的重量關(guān)系。

教學(xué)中，出現(xiàn)天平兩邊物體重量不相等的情況，這不僅是認(rèn)識(shí)方程的一個(gè)必須了解的知識(shí)，更是為了讓學(xué)生明白不僅可以用等式表示物體間的質(zhì)量關(guān)系，還可以用不等式來表示，豐富學(xué)生以數(shù)狀物的意識(shí)。

師：如果我把砝碼換成蘋果，你能用式來子來表示它們之間的關(guān)系嗎？

生：50+50>70。

師：為什么這時(shí)候不用等于號(hào)了呢？

生：因?yàn)樘炱讲黄胶饬耍f明兩邊的質(zhì)量并不相等，左邊往下沉，說明左邊比右邊大，應(yīng)用大于號(hào)。

師：剛才我們知道了空杯子的重量是100克，裝滿水后，現(xiàn)在天平是這樣的，你知道了什么？

生1：我知道了一杯水的質(zhì)量小于300克。

生2：我還知道水的質(zhì)量小于200克。

這里的目的是通過對(duì)不平衡的實(shí)際情境的數(shù)學(xué)化表達(dá)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)語言去表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活情境的能力，同時(shí)，借助情境明確等式和不等式的區(qū)別，并豐富對(duì)數(shù)量之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生“以數(shù)狀物”的抽象意識(shí)，明白用“數(shù)”可以表示物體的質(zhì)量，用“數(shù)與符號(hào)”則可以表示物體之間不同的關(guān)系。最后，讓學(xué)生用帶有符號(hào)或字母的式子去表示天平上物體的重量關(guān)系。

隨著教學(xué)的進(jìn)行，天平上出現(xiàn)的部分物體不再知曉具體的重量，學(xué)生根據(jù)以前所學(xué)的知識(shí)自然而然地想到用符號(hào)或字母來表示未知的量，進(jìn)而獲得方程的基本式子。

用字母和符號(hào)表示數(shù)及其運(yùn)算或關(guān)系是代數(shù)的基本特征。以天平情境為導(dǎo)線，把情境中的數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，并逐步符號(hào)化，引入用含有未知數(shù)的式子表達(dá)等式和不等式，發(fā)展學(xué)生“以符狀數(shù)”的抽象意識(shí)，為建構(gòu)方程概念提供基礎(chǔ)，并初步體會(huì)符號(hào)化思想發(fā)展的歷程及用含有未知數(shù)的式子描述數(shù)量關(guān)系的方程思想。

本節(jié)課中，不僅是對(duì)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，同時(shí)更要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)的抽象發(fā)展為對(duì)量的抽象，讓學(xué)生不僅關(guān)注“數(shù)”本身，更要把眼界放寬，拓展到關(guān)注“量”及“數(shù)量關(guān)系”，只有把握到等量關(guān)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能朝著更好的方向發(fā)展。

二、從逆向思考到正向思考的“跨越”

方程的意義是什么？很多教師都會(huì)從概念“含有末知數(shù)的等式叫方程”入手，緊緊抓住“含有未知數(shù)”和“等式”兩個(gè)關(guān)鍵詞幫助學(xué)生理解掌握概念。遺憾的是，有些教師自身就沒有真正理解“意義”本身的含義，“意義”包含兩層意思：1.語言文字或其它信號(hào)所表示的內(nèi)容;2.價(jià)值;作用。顯然，僅僅從概念入手理解方程的意義，只是解釋清楚了語言文字所表示的內(nèi)容，但并沒有突顯“方程”的價(jià)值——順著題目的意思列式比逆著題目的意思列式更容易。只有讓學(xué)生體會(huì)到這一價(jià)值，才能促進(jìn)學(xué)生從逆向思考到正向思考的思維轉(zhuǎn)變，從而在解決復(fù)雜的問題時(shí)能夠正確解答。

為了更好地讓學(xué)生體會(huì)到方程的價(jià)值，筆者設(shè)計(jì)了難度不同的四道題算式，讓學(xué)生感受方程的價(jià)值。

（1）

（2）

（3）爸爸今年36歲，比小明年齡的4倍少4歲，小明今年多少歲？

（4）把一個(gè)數(shù)先乘0.3，再除以0.2，接著加上1.4再減0.9，結(jié)果是13.7，這個(gè)數(shù)是多少？

前兩小題比較簡(jiǎn)單，很難使學(xué)生體會(huì)到方程的優(yōu)越性。但是，從這兩道簡(jiǎn)單的題目中，可以使學(xué)生知道可以采用列方程的形式解決問題，從中體會(huì)列方程式的一般方法。

對(duì)于第三小題，學(xué)生仍然比較習(xí)慣用算術(shù)方法，題目中給出的條件是“少4”，按一般的經(jīng)驗(yàn)“少4”應(yīng)該是減4，所以，不少學(xué)生的列式是錯(cuò)誤的，此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，借助線段圖幫助理解，爸爸的年齡并不是小明的4倍，所以不能用36除以4，而應(yīng)該加上4后再除以4。但是，這種逆向思維的題目理解起來總是有難度，重點(diǎn)要引導(dǎo)他們順著題目的意思去列方程，經(jīng)過比較，使用學(xué)生初步體會(huì)方程的優(yōu)越性。

最后出示更為復(fù)雜的第四小題時(shí)，有前面的經(jīng)驗(yàn)，大部分學(xué)生直接列方程，又快又準(zhǔn)，此時(shí)，筆者又反問學(xué)生，為什么不用算術(shù)方法解決問題了，學(xué)生有感而發(fā)說出方程的優(yōu)越性，從而達(dá)到教學(xué)目的。

讓學(xué)生從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)表達(dá)思維是橫向數(shù)學(xué)化，在數(shù)學(xué)世界里需要通過縱向數(shù)學(xué)化認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)特征。描述現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的式子有多種，讓學(xué)生從常見的關(guān)系式中明確概念的內(nèi)涵與外延，自主建構(gòu)起對(duì)概念本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，在生活情境中深刻體會(huì)方程能夠順向表達(dá)思維的價(jià)值是筆者這樣設(shè)計(jì)的目的所在。

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展具有一定的階段性，從最初的簡(jiǎn)單順向思維逐步到會(huì)逆向思考，這是學(xué)生的必經(jīng)之路，當(dāng)正常順向思考行不通，逆向思考又出現(xiàn)困難的時(shí)候，視未知的數(shù)為已知量，用符號(hào)或字母來表示，再由逆向思考轉(zhuǎn)向正向思考成了重要的教學(xué)點(diǎn)，本節(jié)課就是要完成這一思維的轉(zhuǎn)變，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

三、從算術(shù)思維向代數(shù)思維的“跨越”

從算術(shù)思維向代數(shù)思維的跨越，是學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的一次飛躍。吳正憲在講《方程的意義》的時(shí)候就反問過兩個(gè)問題：學(xué)生會(huì)辨別方程的樣子，那就是認(rèn)識(shí)方程了嗎？學(xué)生能很流利說出方程的定義就是理解了方程了嗎？

的確，建立方程的思想需要一個(gè)漫長(zhǎng)的體驗(yàn)、理解的過程。如何幫助學(xué)生建立好這個(gè)數(shù)學(xué)模型？如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)將未知數(shù)和已知數(shù)同等對(duì)待，實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維向代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變？在方程的意義的教學(xué)中，例題和練習(xí)通過“潤(rùn)物細(xì)無聲”的方式將算術(shù)思維引向代數(shù)思維。

算式“50+50=100”可以表示出平天的平衡狀態(tài)，當(dāng)把左邊已知數(shù)換成未知質(zhì)量的杯子時(shí)，天瓶依然保持平衡，學(xué)生很容易能確定杯子的質(zhì)量，并能用語言來表示它們之間的關(guān)系，但此時(shí)，學(xué)生一般還想不到用未知數(shù)來表示杯子的質(zhì)量，所以也無法用一個(gè)式子來表示它們的關(guān)系。當(dāng)在杯中加入適量的水，天平出現(xiàn)了不平衡的狀態(tài)，如何用一個(gè)式子來表示這種狀態(tài)呢？此時(shí)學(xué)生才深刻地體會(huì)到需要有表示“水的質(zhì)量”的事物，學(xué)生自然面然地會(huì)想到用方框、圓圈、三角形等符號(hào)或字母來表示“水的質(zhì)量”，因勢(shì)利導(dǎo)，我們把這個(gè)未知的數(shù)叫做“未知數(shù)”。有了代表未知數(shù)的符號(hào)或字母，學(xué)生很自然地將未知的數(shù)當(dāng)成了已知數(shù)來用，且發(fā)現(xiàn)完全可以用一個(gè)含有未知數(shù)的式子表示出天平的狀態(tài)100+x>100，有了這個(gè)鋪墊作基礎(chǔ)，學(xué)生就有了對(duì)方程認(rèn)知的基礎(chǔ)。

在練習(xí)中，教材很巧妙地把每本書的價(jià)格標(biāo)為x元，大多學(xué)生也就很自然地鉆進(jìn)了設(shè)好的“套”中，列式為3x=2.4，如果在這里，不標(biāo)出書的單價(jià)，學(xué)生也能列式解答，但根據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，他們都會(huì)列出算術(shù)式：2.4÷3=0.8，這樣就達(dá)不到我們培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的目的了。所以，在本節(jié)內(nèi)容中，所有的未知數(shù)都是用了確定的字母或符號(hào)來表示，這樣做的目的就是幫助學(xué)生從算術(shù)思維走向代數(shù)思維。

四、從情境分類到模型穩(wěn)定的“跨越”

對(duì)于小學(xué)五年級(jí)的小學(xué)生來說，他們能清楚地根據(jù)題型情境背景進(jìn)行分類，如在教材中出現(xiàn)過的圖形、文字、線段等各種不同情境的題目，學(xué)生能夠根據(jù)原有的知識(shí)逐一理解，并能用語言進(jìn)行表達(dá)，因?yàn)樗麄冇幸粋€(gè)共同的特點(diǎn)，有兩組可以表示相等關(guān)系的數(shù)量。當(dāng)他們根據(jù)順向思考的順序用式子表達(dá)出來以后，學(xué)生會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，無論情境如何變化，它都能抽象出相同的模型：含有末知數(shù)的等式。通過看一看、說一說、比一比……促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從情境分類到穩(wěn)定模型的跨越。

《方程的意義》這一內(nèi)容，承載了編者很多的意圖，要真正理解方程的意義，不僅要把握概念表述，更要感悟到方程的價(jià)值，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生思考方式的轉(zhuǎn)變，從而穩(wěn)定學(xué)生心中的方程模型。教師只有做到真正讀懂教材中的每一幅圖，理解到編者意圖，才能更好地把握教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)行深入有效的教學(xué)。

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責(zé)任編輯? 溫鐵雄