蔣 威，瞿 浩，石 蒙，王東攀

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）資源與安全工程學(xué)院，北京 100083；2.天地科技股份有限公司 開采設(shè)計(jì)事業(yè)部，北京 100013；3.伊金霍洛旗呼氏煤炭有限責(zé)任公司 淖爾壕煤礦，內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017200）

組合錨桿支護(hù)技術(shù)在我國(guó)大部分煤礦推廣應(yīng)用，成為現(xiàn)代礦井首選的、安全高效的巷道支護(hù)方式[1-3]。常見組合構(gòu)件有鋼帶和鋼梁，能夠顯著增加錨桿支護(hù)的適應(yīng)性和支護(hù)效果[4-5]。近年來(lái)，為了適應(yīng)深部、復(fù)雜條件開采巷道難支護(hù)的問(wèn)題，在組合支護(hù)的基礎(chǔ)上，康紅普等學(xué)者提出了高預(yù)應(yīng)力強(qiáng)力支護(hù)理論[6-9]，強(qiáng)調(diào)了預(yù)應(yīng)力在巷道支護(hù)中的重要性，工程應(yīng)用效果良好[10-12]。關(guān)于預(yù)應(yīng)力的作用機(jī)理及其與錨桿組合構(gòu)件的作用關(guān)系，國(guó)內(nèi)學(xué)者進(jìn)行了較多研究。李沖，徐金海等人采用理論分析、現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)等研究方法，得到了錨桿桿體軸應(yīng)力、剪應(yīng)力與預(yù)緊力的關(guān)系以及桿體軸應(yīng)力與剪應(yīng)力的分布規(guī)律[13]；康紅普，吳擁政等人分析了組合構(gòu)件在錨桿支護(hù)過(guò)程中的作用，使用有限元數(shù)值模擬計(jì)算了W鋼帶在預(yù)應(yīng)力影響下的應(yīng)力分布和變形特征[14]；對(duì)于預(yù)應(yīng)力的分布特征，康紅普等人通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)比分析了不同支護(hù)形式下錨桿預(yù)應(yīng)力的應(yīng)力場(chǎng)分布，得到了一些規(guī)律[15]。不過(guò)，在組合構(gòu)件影響下，錨桿預(yù)應(yīng)力在圍巖中的分布規(guī)律，國(guó)內(nèi)研究較少。彈性地基梁理論在計(jì)算過(guò)程中同時(shí)考慮了梁和地基的變形，以其較高的計(jì)算精度，在工程領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用[16-18]。在預(yù)應(yīng)力組合錨桿支護(hù)中，組合構(gòu)件起到了地基梁的作用，預(yù)應(yīng)力則通過(guò)組合構(gòu)件傳遞到圍巖（地基）中[19-21]。所以，在計(jì)算預(yù)應(yīng)力分布的問(wèn)題中，彈性地基梁理論較為契合。為此，通過(guò)建立一般錨桿組合構(gòu)件支護(hù)頂板的彈性地基梁模型，求解地基梁的撓曲方程，以得到預(yù)應(yīng)力通過(guò)組合構(gòu)件傳遞到圍巖中的理論分布，并分析其分布規(guī)律的影響因素，對(duì)于巷道支護(hù)構(gòu)件選材、錨桿布置方式具有指導(dǎo)意義。

1 錨桿組合構(gòu)件作用機(jī)理及其彈性地基梁模型

1.1 錨桿組合構(gòu)件作用機(jī)理

在井巷施工中，通常在錨桿與圍巖之間布置鋼帶（平鋼帶、W鋼帶或M鋼帶），形成組合支護(hù)。鋼帶與圍巖接觸面積較大，可以將錨桿的預(yù)應(yīng)力荷載分散的傳遞到圍巖，擴(kuò)大錨桿作用范圍。此外，鋼帶可以將多根錨桿連接在一起，使其協(xié)同作用于圍巖，共同形成組合支護(hù)系統(tǒng)，提高支護(hù)系統(tǒng)的整體剛度與支護(hù)能力[22-23]。

1.2 錨桿組合構(gòu)件的彈性地基梁模型

取矩形巷道中頂板的錨桿組合支護(hù)為例。為方便計(jì)算，錨桿組合構(gòu)件選用平鋼帶，其上組合布置3個(gè)預(yù)應(yīng)力錨桿，并忽略托板等構(gòu)件的影響。假設(shè)頂板符合Winkler地基假設(shè)[24]（地基表面任一點(diǎn)的沉降與該點(diǎn)單位面積上所受壓力成正比），則彈性地基梁模型以頂板為地基，以鋼帶為彈性地基梁，3個(gè)預(yù)應(yīng)力錨桿簡(jiǎn)化為在彈性地基梁不同位置分別作用的3個(gè)集中力。頂板支護(hù)的彈性地基梁模型如圖1。

如圖1，以鋼帶一端為原點(diǎn)O，另一端為x軸正方向，預(yù)應(yīng)力作用下的鋼帶經(jīng)簡(jiǎn)化后可以定性為兩端為自由端，受3個(gè)集中力p（分別與原點(diǎn)距離為a，b，c）作用的彈性地基梁。在集中力作用下，彈性地基梁（鋼帶）與地基（頂板）協(xié)同變形，結(jié)合Winkler地基假設(shè)，則頂板的地基反力pc與鋼帶的鉛垂位移（撓度）z（x）的關(guān)系為：

圖1 頂板支護(hù)的彈性地基梁模型Fig.1 Elastic foundation beam model of roof support

式中：kc為頂板的地基系數(shù)，即使頂板產(chǎn)生單位沉陷所需的壓強(qiáng)；bv為鋼帶的厚度。

頂板的地基反力pc的分布曲線，即為錨桿預(yù)應(yīng)力經(jīng)鋼帶傳遞后在頂板中的分布曲線。為得到該分布曲線的解析解，對(duì)圖1中的彈性地基梁模型展開計(jì)算。

2 模型的計(jì)算

2.1 地基梁類型劃分

考慮到梁的端部效應(yīng)，根據(jù)地基梁特征長(zhǎng)度L的不同，彈性地基梁可分為無(wú)限長(zhǎng)梁、半無(wú)限長(zhǎng)梁以及短梁，3種梁的劃分標(biāo)準(zhǔn)為如下：

1）無(wú)限長(zhǎng)梁。荷載和兩端的距離都大于3L。

2）半無(wú)限長(zhǎng)梁。荷載與一端的距離小于3L，與另一端的距離大于3L。

3）短梁。荷載與兩端的距離都小于3L。

為了提高計(jì)算效率，并保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，在計(jì)算開始之前，應(yīng)根據(jù)特征長(zhǎng)度L值以及荷載的位置，確定地基梁的類型，以決定能否忽略端部效應(yīng)，從而選擇更合理的解析方法。

式中：E為鋼帶的彈性模量；I為鋼帶的慣性矩，I=wbv3/12；w為鋼帶的寬度。

鋼帶的材質(zhì)一般為鑄鋼，鑄鋼彈性模量E為200 GPa左右，普通軟巖（煤）的地基系數(shù)kc為0.06×106～0.12×106，取鋼帶寬度w為250 mm，厚度bv為5 mm，則地基梁特征長(zhǎng)度L的取值范圍為1.365～1.623 m，則3L=4.095～4.869 m。根據(jù)一般工程經(jīng)驗(yàn)，錨桿與鋼帶兩端的距離均小于3L。因此，鋼帶的計(jì)算屬于短梁?jiǎn)栴}，應(yīng)考慮端部效應(yīng)，采用初參數(shù)法進(jìn)行計(jì)算。

2.2 地基梁的撓曲方程建立

初參數(shù)法即使用初始截面O的4個(gè)參數(shù)撓度z0、轉(zhuǎn)角θ0、彎矩M0、剪力Q0來(lái)表示梁的撓度方程。其優(yōu)點(diǎn)是可以使積分常數(shù)具有明確的物理意義，且可以根據(jù)參數(shù)的物理意義尋求簡(jiǎn)化的途徑。

當(dāng)短梁上除地基反力外，僅受1個(gè)距端點(diǎn)為a的集中力p作用時(shí)，其撓曲方程為：

式中：β為此彈性地基梁的變形協(xié)調(diào)系數(shù)。

準(zhǔn)1（βx）、準(zhǔn)2（βx）、準(zhǔn)3（βx）、準(zhǔn)4（βx）為克雷洛夫函數(shù)[20]，表示如下：

式中：。

由疊加原理可知，當(dāng)在距離原點(diǎn)為b和c 2處再加2個(gè)集中力時(shí)（圖1），僅需在式（3）再加入2個(gè)撓度修正項(xiàng)：

上2式分別為x>b和x>c時(shí)應(yīng)加的修正項(xiàng)。

2.3 邊界條件及求解

在得到地基梁的一般方程后，應(yīng)根據(jù)其邊界條件進(jìn)一步確定4個(gè)初參數(shù)z0、θ0、M0、Q0的值。

由梁的兩端為自由端可得：

彎矩M和剪力Q的方程式可通過(guò)下式求得：

結(jié)合式（5）和式（7）即可得到彎矩M和剪力Q的方程式，再將式（6）代入其中即可求得4個(gè)初參數(shù)的值。省略計(jì)算過(guò)程，結(jié)果如下：

式中：準(zhǔn)1*、準(zhǔn)2*為中間轉(zhuǎn)換變量。

準(zhǔn)1*=準(zhǔn)1（β（l－a））＋準(zhǔn)1（β（l－b））＋準(zhǔn)1（β（l－c））

準(zhǔn)2*=準(zhǔn)2（β（l－a））＋準(zhǔn)2（β（l－b））＋準(zhǔn)2（β（l－c））

2.4 撓曲方程的演繹

由上面的計(jì)算過(guò)程可知，在其他參數(shù)不變的條件下，集中力的增加僅會(huì)造成撓曲方程中相應(yīng)撓度修正項(xiàng)的增加以及準(zhǔn)1*和準(zhǔn)2*的改變。因此，假設(shè)鋼帶上有n個(gè)預(yù)應(yīng)力錨桿，作用力均為p，錨桿的位置分別對(duì)應(yīng)x1、x2、…、xn，此時(shí)鋼帶的彈性地基梁撓曲方程為：

式中：準(zhǔn)n1*、準(zhǔn)n2*為中間轉(zhuǎn)換變量。

準(zhǔn)n1*=準(zhǔn)1（β（l－x1））＋準(zhǔn)1（β（l－x2））＋…＋準(zhǔn)1（β（l－xn））

準(zhǔn)n2*=準(zhǔn)2（β（l－x1））＋準(zhǔn)2（β（l－x2））＋…＋準(zhǔn)2（β（l－xn））

3 頂板地基反力分布特征

3.1 地基反力影響因素

在確定鋼帶的撓曲方程之后，結(jié)合式（1）、式（4）和式（9），即可得到受n個(gè)不同位置集中力作用時(shí)地基反力的分布方程，亦即n個(gè)不同位置預(yù)應(yīng)力錨桿作用在鋼帶上時(shí)，頂板的地基反力pc分布方程。

3.1.1 變形協(xié)調(diào)系數(shù)β

由式（10）可以看出，變形協(xié)調(diào)系數(shù)β是影響頂板地基反力分布的重要參數(shù)。而且，β可以表征鋼帶的抗彎剛度EI以及頂板的地基系數(shù)kc等參數(shù)對(duì)地基反力分布的影響，具有較大意義。

結(jié)合前文中的一般工程參數(shù)，由式（4）計(jì)算可得β的一般值約為0.7。為分析變形協(xié)調(diào)系數(shù)β對(duì)頂板受力分布特征的影響，分別計(jì)算β=0.7、1.4以及2.1時(shí)鋼帶中部受單根錨桿作用的頂板的地基反力pc1、pc2、pc3分布。計(jì)算結(jié)果為：

如此得到的不同變形協(xié)調(diào)系數(shù)條件下頂板的地基反力分布如圖2。

圖2 不同變形協(xié)調(diào)系數(shù)時(shí)頂板地基反力分布圖Fig.2 Distribution of the roof reaction force with different deformation coordination coefficients

由圖2可以得出，地基反力pc在預(yù)應(yīng)力作用點(diǎn)（x=2）達(dá)到峰值，在作用點(diǎn)兩邊對(duì)稱分布且隨著遠(yuǎn)離作用點(diǎn)逐漸減小。隨著變形協(xié)調(diào)系數(shù)β值的增大，地基反力的峰值逐漸增加，作用點(diǎn)兩邊地基反力的衰減幅度也相應(yīng)增加。在鋼帶兩邊地基反力小于0表示鋼帶在中部受力的情況下，兩端翹起，脫離頂板。綜合來(lái)看，變形協(xié)調(diào)系數(shù)β值越小，地基反力分布越均勻。

結(jié)合式（4）來(lái)看，變形協(xié)調(diào)系數(shù)β與地基系數(shù)kc正相關(guān)，與鋼帶抗彎剛度EI負(fù)相關(guān)。巖層越軟（地基系數(shù)越小），預(yù)應(yīng)力傳遞越均勻，故預(yù)應(yīng)力錨桿在軟巖支護(hù)中更能發(fā)揮效力；提高鋼帶的抗彎剛度可以促進(jìn)預(yù)應(yīng)力均勻傳遞，加強(qiáng)支護(hù)效果。

3.1.2 端部效應(yīng)

前文提到，鋼帶的計(jì)算屬于短梁?jiǎn)栴}。因此，鋼帶的端部效應(yīng)，對(duì)地基反力的分布亦有較大影響。省略計(jì)算過(guò)程，單根錨桿作用在4 m長(zhǎng)鋼帶時(shí)，隨著錨桿作用位置由鋼帶端部移向鋼帶中部，頂板的地基反力分布曲線如圖3。由如圖3可知，當(dāng)錨桿預(yù)應(yīng)力作用點(diǎn)x=100 mm時(shí)，在鋼帶近端端點(diǎn)引起的地基反力最大pcmax=1.32p，隨著靠近遠(yuǎn)端，該預(yù)應(yīng)力引起的地基反力不斷降低，在遠(yuǎn)端端點(diǎn)引起的地基反力最小pcmin=-0.21p；隨著預(yù)應(yīng)力作用點(diǎn)不斷內(nèi)移，地基反力分布曲線逐漸由上凹變?yōu)橄掳迹划?dāng)錨桿力作用在鋼帶中部x=2 000 mm時(shí)，地基反力在作用點(diǎn)兩邊對(duì)稱分布，最大地基反力為0.38p；此外，作用點(diǎn)約位于1 100 mm以內(nèi)時(shí)，地基反力最大處均為近端端點(diǎn)處，這是端部效應(yīng)的明顯特征。

圖3 地基反力的端部效應(yīng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of end effect of reaction force

3.1.3 疊加效應(yīng)

由前文分析可知，不同作用位置的預(yù)應(yīng)力對(duì)鋼帶的作用符合疊加原理，鋼帶上任一點(diǎn)所受的地基反力等于各錨桿在該點(diǎn)處引起的地基反力的疊加總和。由圖3可以看出，不同作用位置的預(yù)應(yīng)力在鋼帶中部引起的地基反力數(shù)值適中且較為均勻，當(dāng)端部效應(yīng)不明顯時(shí)，相互疊加之下鋼帶中部地基反力總值會(huì)高于鋼帶兩端，此即疊加效應(yīng)。

3.2 案例分析

根據(jù)疊加原理，錨桿預(yù)應(yīng)力作用數(shù)目n值越大，則地基反力越大，支護(hù)效果越好，但是考慮到支護(hù)的經(jīng)濟(jì)性，錨桿數(shù)目往往受到限制。因此，在一定數(shù)目的錨桿作用下，通過(guò)控制變形協(xié)調(diào)系數(shù)β和錨桿預(yù)應(yīng)力的作用位置x，使錨桿預(yù)應(yīng)力經(jīng)由鋼帶更均勻的傳遞到頂板，從而提高支護(hù)效果，是本計(jì)算的目的所在。

從支護(hù)材料特性來(lái)看，可以通過(guò)提高鋼帶的抗彎剛度來(lái)降低變形協(xié)調(diào)系數(shù)β值（式4），從而使錨桿預(yù)應(yīng)力更均勻擴(kuò)散；從支護(hù)設(shè)計(jì)來(lái)看，則需要考慮地基反力的端部效應(yīng)以及疊加效應(yīng)來(lái)合理布置錨桿的作用位置x。為了更直觀的說(shuō)明變形協(xié)調(diào)系數(shù)β、端部效應(yīng)和疊加效應(yīng)對(duì)頂板地基反力分布的影響，分別對(duì)3種錨桿布置方案的地基反力分布進(jìn)行計(jì)算，并繪出不同特征參數(shù)條件下3種中心對(duì)稱支護(hù)方案的地基反力分布曲線。

方案1：鋼帶全長(zhǎng)l=4 200 mm，6根錨桿，排距800 mm，兩端各留100 mm。

方案2：鋼帶全長(zhǎng)l=4 200 mm，6根錨桿，排距700 mm，兩端各留350 mm。

方案3：鋼帶全長(zhǎng)l=4 200 mm，6根錨桿，排距600 mm，兩端各留600 mm。

3種方案的地基反力分布曲線如圖4。

圖4 不同錨桿布置時(shí)頂板地基反力分布圖Fig.4 Distribution of roof reaction force with different bolts arrangement

1）錨桿布置方式相同時(shí)，變形協(xié)調(diào)系數(shù)β值越小，地基反力分布越均勻。

2）當(dāng)錨桿布置靠近鋼帶端部時(shí)（方案1），會(huì)受到較大的端部效應(yīng)影響，地基反力分布曲線明顯上凹，結(jié)合圖3可知，僅位于100 mm處的錨桿在端點(diǎn)處引起的地基反力（1.32p）就超過(guò)了6根錨桿在鋼帶中點(diǎn)引起的地基反力總和（1.27p）。

3）當(dāng)錨桿布置靠近鋼帶中部時(shí)（方案3），端部效應(yīng)已不明顯，此時(shí)疊加效應(yīng)成為主導(dǎo)，在疊加影響之下中部地基反力偏大，曲線呈下凹狀。

4）方案2中端部效應(yīng)和疊加效應(yīng)對(duì)鋼帶的影響近乎達(dá)到了平衡，頂板的地基反力分布曲線近乎平直，故3個(gè)方案中方案2最優(yōu)。

綜上，為提高支護(hù)效果，應(yīng)使變形協(xié)調(diào)系數(shù)β越小越好。同時(shí)，錨桿布置時(shí)應(yīng)同時(shí)考慮端部效應(yīng)和疊加效應(yīng)，均衡二者的關(guān)系，從而得到最優(yōu)錨桿布置方案。

4 結(jié)語(yǔ)

1）建立了錨桿組合構(gòu)件支護(hù)頂板的彈性地基梁模型，使用初參數(shù)法，求得了3根錨桿作用時(shí)地基梁的撓曲方程，經(jīng)過(guò)演繹得出n根錨桿作用時(shí)鋼帶的撓曲方程，并進(jìn)一步推得n根錨桿作用時(shí)頂板的地基反力分布方程。

2）變形協(xié)調(diào)系數(shù)β是影響錨桿預(yù)應(yīng)力傳遞的重要參數(shù)，β值越小，則傳遞到頂板上的錨桿預(yù)應(yīng)力越均勻。從圍巖特性來(lái)看，巖層越軟（地基系數(shù)kc越?。?，預(yù)應(yīng)力傳遞越均勻，故預(yù)應(yīng)力錨桿在軟巖支護(hù)中更能發(fā)揮效力；從支護(hù)材料特性來(lái)看，可以通過(guò)提高鋼帶的抗彎剛度來(lái)降低變形協(xié)調(diào)系數(shù)β值，從而提高支護(hù)效果。

3）選擇錨桿在鋼帶上的布置方式時(shí)應(yīng)同時(shí)考慮地基反力分布的端部效應(yīng)和疊加效應(yīng)，端部效應(yīng)影響下，鋼帶端部地基反力偏高，疊加效應(yīng)影響下，鋼帶中部地基反力偏高，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)錨桿間距和邊距，可以均衡端部效應(yīng)和疊加效應(yīng)，從而得到最佳錨桿布置方案。