李 偉，梁雯君，史 韜，鄧 勝，楊建平

（井岡山大學電子與信息工程學院，江西,吉安 343009）

0 引言

Lorenz 模型是1963 年由美國氣象學家洛倫茲在研究區(qū)域小氣候時求解出來的一個數(shù)學模型，它是非線性系統(tǒng)研究中常用的一個經(jīng)典例子。目前已有很多Lorenz 系統(tǒng)的動力學特征研究成果，如采用線性穩(wěn)定性分析（局部穩(wěn)定性分析）方法，能分析定點及其鄰域的性質(zhì)，但沒有涉及系統(tǒng)在整個相空間是否一定收斂（有界）的全局穩(wěn)定性問題；用Lyapunov 指數(shù)定量地描述Lorenz 系統(tǒng)相空間相鄰軌道隨時間收斂（或發(fā)散）的平均速率[1]，可得到系統(tǒng)具有全局穩(wěn)定性，最終收縮到捕捉區(qū)內(nèi)，并形成一個不變的集合，即吸引子；另外，在非線性動力學傳統(tǒng)分析方法上有功率譜、重現(xiàn)圖形、Poincare截面圖等，這些方法在分析系統(tǒng)時具有通用性，分析非線性系統(tǒng)無獨特優(yōu)勢。為研究非線性系統(tǒng)演變的準周期性特征[2-3]，多采用非線性系統(tǒng)的分析方法，如近似熵是統(tǒng)計量化的非線性動力學參數(shù)，能夠較好地表達Lorenz 系統(tǒng)復雜特征[4-5]，但沒有將Lorenz 系統(tǒng)的局部特征和整體演變過程結合起來；如文獻[6]采用三次粗?；椒?，運用動態(tài)、粗?；姆蔷€性時間序列分析方法（Lempel-Ziv 復雜度），分析了Lorenz 模型的復雜度演變特征，但粗粒化描述的Lorenz 系統(tǒng)其運動學演變特征缺乏細膩、連貫、精準性。

本研究從時頻分析出發(fā)，應用小波變換在時域和頻域同時具有定位分析信號的能力，突出系統(tǒng)的突變信息，并且將描述系統(tǒng)復雜度的信息熵理論和小波分解結合起來，形成Lorenz 系統(tǒng)測度的小波熵方法，將Lorenz 系統(tǒng)的局部突變和整體演變進行統(tǒng)籌考察，呈現(xiàn)其準周期運動特征。該方法非常適合于分析非平穩(wěn)信號、非線性動力學系統(tǒng)的時間序列，能夠反映多頻率成份信號的混亂程度并提供時間序列的動力學演變特征，已經(jīng)在生物醫(yī)學、機械故障診斷等領域的應用中取得了一定的成果[7-11]，能夠為Lorenz 混沌系統(tǒng)的動態(tài)復雜度計算提供一種時——頻分析手段。

1 時間序列的小波分解

具有多分辨率的小波變換算法是利用正交小波基（或雙正交）將信號分解成不同尺度的多個分量，此過程可理解為循環(huán)使用一對高通濾波器與低通濾波器，逐級對時間信號進行濾波，經(jīng)過高通濾波器獲得信號的高頻細節(jié)分量，通過低通濾波器生成信號的低頻粗略分量。分解后得到的信號分量所占頻帶寬度相同，均占原信號頻帶寬度的二分之一，每一次分解后，將原信號的采樣頻率減少一倍；下一層次的分解是對低頻分量重復上述分解（濾波）過程，最后得到下一層次的兩個分解細節(jié)分量。

2 小波熵的準周期測度

用Shannon 信息熵描述Lorenz 系統(tǒng)運動的不確定性。例如，對于一個僅有有限個樣本值的隨機變量，用X 表示其狀態(tài)特征，樣本值為xi的概率

小波變換具有在時域和頻頻同時局部化能力，將Lorenz 系統(tǒng)時間序列的時頻分支序列與信息熵相結合，可以得到Lorenz 系統(tǒng)時間序列的小波熵值——小波熵測度。設其在m個尺度上的小波能量為：

圖1 為由兩種周期成分仿真構成的一信號，前500 個點為長周期，后500 個點為短周期。對照其相應的小波熵序列圖，從圖中可以看出：周期較大時小波熵趨于零，周期較小時小波熵更大，中間過渡部分小波熵出現(xiàn)最大值，即準周期小波熵復雜度的大小與窗口內(nèi)序列準周期的平均周期一致，可以用運動復雜度來分析Lorenz 系統(tǒng)的準周期的運動特征，刻畫系統(tǒng)長時間的演變特征。

圖1 長、短周期的小波熵序列演變特征Fig.1 Evolution characteristics of wavelet entropy series with long and short periods

3 Lorenz 系統(tǒng)的時間序列及其小波熵測度

3.1 Lorenz 系統(tǒng)的運動特征

采用四階Runge-Kutta法求解該微分方程組，并調(diào)用MATLAB函數(shù)ode45進行計算，時間范圍取0～60s，求得x、y、z三個分序列的各3285點。圖2為x分量的部分時域圖，從圖中可看出該分量圍繞著x軸上的兩點振蕩運動，正方向在x=8附近，為系統(tǒng)的p+吸引子，負方向在x=-10附近，為系統(tǒng)的p-吸引子；圖3所示為其混沌吸引子圖，系統(tǒng)運動過程中局限在相空間中的有限區(qū)域內(nèi)，即繞p+吸引子（或p-吸引子）運動一段時間后變化到繞p-吸引子(或p+吸引子)運動，為非周期的混沌運動，但又有周期性特征，即各階段由類似的、但又不同的準周期運動交替構成。

圖2 Lorenz系統(tǒng)的部分時域圖Fig.2 Partial time domain diagram of Lorenz system

圖3 Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子Fig.3 Chaotic attractor of Lorenz system

3.2 準周期測度的計算

考慮正交小波函數(shù)的多樣性，選用正交性好的db系列小波，利用其緊支撐和多尺度分析的特點，來描述系統(tǒng)的準周期測度。

計算方法：（1）采用db6小波對系統(tǒng)的時間序列進行三層小波分解，分解與重構后得a3、d3、d2、d1等四個分支序列。（2）采用滑動窗口的方法計算小波熵，滑動步長取1（平滑效果好，但計算量偏大），即對四個分序列選取窗口寬度為W，進行長度為W/2的、對稱的、一維擴展，再用一個寬度為W的時間窗從擴展后四個分信號的第1點開始截取長為W的一段，依照小波熵定義可求出此時間窗的小波熵值，并將此小波熵值賦給時間窗內(nèi)的第W/2+1點（對應原Lorenz時間序列的第一個點）；（3）將時間窗向右移動一個點，得到四個分支序列第二窗口的四段數(shù)據(jù)，并求得第二個點的小波熵值；（4）依次循環(huán)下去，可得到整個序列各個點對應的小波熵值，即為所求的小波熵復雜度序列，用來測度準周期的演變特征。

為觀察混沌系統(tǒng)的較長時間內(nèi)演變特征，用Runge-Kutta法計算系統(tǒng)時間序列時取360 s，得到20869點的x、y、z三個序列，分別計算x、y、z三個序列的小波熵序列，三者情形一致。文中以計算x分量的運動復雜度為例，分別取窗口寬度為W=600，W=800和W=1000， 求得Lorenz模型的x分量在各窗口中的運動復雜度序列，如圖4所示，對于不同的窗口寬度時，系統(tǒng)的復雜度特征基本一致，三個小波熵序列運動復雜度的變化特點都呈現(xiàn)了Lorenz系統(tǒng)運動過程中的內(nèi)在特征——小波熵測度的演變特征，鑒于此，下面的分析中均采用W=600進行分析。

圖4 x分量不同窗口寬度的小波熵復雜度Fig.4 Wavelet entropy complexity of x component with different window width

在圖4中，小波熵運動復雜度序列包括很多極大值、極小值，這些極大值、極小值的出現(xiàn)與系統(tǒng)繞p+吸引子或p-吸引子的振蕩有關，一個振蕩來回為一個準周期。（1）根據(jù)圖1長、短周期的演變特征可知這些極大值、極小值的出現(xiàn)與準周期的長短有關；（2）小波熵序列的波形為大小不一、形狀相似、山峰狀的循環(huán)窗口組成，也具有準周期性。

3.3 運動復雜度的周期性描述

圖5為x分量的360 s時域圖及W=600時的小波熵復雜度序列，圖中的最小值點序號為7818，小波熵值為0.0033，最大值點序號為13757，小波熵值為0.0081，為探討最小、最大小波熵值點的準周期動力學特征，將最小、最大小波熵值所對應窗口的時域圖分別于圖6、圖7中畫出。

圖5 小波熵測度的最小、最大值（w=600，點數(shù)為20869）Fig.5 Minimum and maximum values of wavelet entropy measure(w=600,number of points is 20869)

圖6中最小小波熵值對應x分量的時域窗口為［7518 8118],圖7中最大小波熵值對應x分量的時域窗口為[13457 14057]。對照長、短周期的小波熵序列演變特征分析lorenz系統(tǒng)的準周期特性。最小小波熵值的系統(tǒng)特征：（1）最小值所對應窗口的平均準周期最長；（2）最小值點兩邊lorenz系統(tǒng)的平均準周期無突變，兩邊有非常對稱的準周期運動特性；最大小波熵值的系統(tǒng)特征：（1）最大值所對應窗口的前半個窗口表現(xiàn)為多次繞p+吸引子或p-吸引子振蕩一次便轉(zhuǎn)為繞p-吸引子或p+吸引子的振蕩，即平均準周期最短；（2）最大值兩邊Lorenz運動的準周期發(fā)生突變；左邊為短平均準周期，右邊為長平均準周期。因而，lorenz系統(tǒng)的平均準周期的演變過程總是伴隨著小波熵序列的由極小值變化到極大值、由極大值變化到極小值，是準周期長短、對稱的演變過程，包括準周期的緩慢演變、準周期的突變等過程。

圖6 x 分量最小小波熵值與時域運動特征對照Fig.6 Comparison of minimum wavelet entropy of x-component and motion characteristics in time domain

圖7 x 分量的最大小波熵值與時域運動特征對照Fig.7 Comparison between maximum wavelet entropy of x component and time domain motion characteristics

4 結論

本研究利用Runge-Kutta法求解Lorenz系統(tǒng)的微分方程得到其時間序列，運用小波熵復雜度算法，計算并分析了其時間序列的小波熵測度，計算的復雜度序列反映了Lorenz系統(tǒng)的演化特征，x，y，z三個分量的復雜度序列均具有混沌性質(zhì)，是由許多大小不一、形狀相似的循環(huán)窗口組成，反映了Lorenz系統(tǒng)內(nèi)在的準周期特性；研究小結：（1）各分量長時間連續(xù)圍繞p+吸引子振蕩時及頻繁在p-吸引子和p+吸引子之間來回振蕩時，小波熵測度出現(xiàn)極大值；（2）各分量長時間連續(xù)圍繞p+或p-吸引子振蕩時，小波熵測度出現(xiàn)極小值；（3）小波熵值在極大值和極小值之間上下振蕩，變化過程表征著Lorenz系統(tǒng)準周期的演變特征，因此系統(tǒng)的演化可以通過時間序列的復雜度特性來揭示其動力學結構特征，此方法可以應用到觀測數(shù)據(jù)的動力學分析，通過計算數(shù)據(jù)的小波熵復雜度反演系統(tǒng)的演變特性。