羅 飛

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331）

1 雙重逆極限空間的定義

以下定義請參考文獻(xiàn)［1］和［2］.

設(shè)X非空緊致度量空間，f：X→X，g：X→X都是連續(xù)映射且滿足f?g＝g?f，記集合顯然（其中Xi，j＝X，?i，j∈Ζ）.以后把X 中的點(diǎn)都簡記為 （xi，j）.在上引入度量：

σf?σg是上的同胚映射，并稱之為由f?g誘導(dǎo)出來的上的移位映射.由于f?g＝g?f，故同樣有σf?σg＝σg?σf.

2 Li－Yorkeτ混沌

設(shè)f，g為X上的連續(xù)映射，且f?g＝g?f，設(shè)τ≥0，存在不可數(shù)集C?X，稱f?g是Li－Yorke τ意義下混沌，如果f?g滿足：

則稱這樣的集C為f?g的混沌集，f?g是Li－Yorkeτ混沌的.

定理1 設(shè)f，g為緊致度量空間上的連續(xù)滿射，且f?g＝g?f，則σf?σg是Li－Yorkeτ意義下混沌的當(dāng)且僅當(dāng)f?g是Li－Yorkeτ意義下混沌的.

證 首先設(shè)f?g是Li－Yorkeτ意義下混沌的，C?X是f?g的一個不可數(shù)混沌集，并且xi，j，yi，j∈C，xi，j≠yi，j，對τ≥0有

對于每一個xi，j∈C取定）中的一個元素記為，令由C 是不可數(shù)集可知T也是不可數(shù)集.

下面證明T為σf?σg的一個混沌集.

又因為

其中M＞0為緊致度量空間X上的直徑.則當(dāng)k，h＞K時

另一方面，假設(shè)σf?σg是Li－Yorkeτ意義下混沌的，T是σf?σg的一個混沌集.

對于 ?xi，j，yi，j∈C，對任意的使

不失一般性可以進(jìn)一步假設(shè)，si＜ni＜si＋1＜ni＋1，ti＜mi＜ti＋1＜mi＋1.對于每一個i＞0，有

（ki，hi）＝ max｛（n，m）：n＜ni，m ＜mi且則有si≤ki＜ni，ti≤hi＜mi.

因此C是f?g的一個混沌集.

［1］顧榮寶.逆極限空間上移位映射的拓?fù)潇嘏c混沌［J］.武漢大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1995，41（1）：22－26.

［2］蔣達(dá)鋒.雙重逆極限空間上的動力性質(zhì)［D］.蘇州大學(xué)，2005.

［3］周作嶺.符號動力系統(tǒng)［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?997.

［4］陳綏陽，褚蕾蕾.動力系統(tǒng)基礎(chǔ)及其方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.

［5］張筑生.微分動力系統(tǒng)原理［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.