陳嘉穎 余莉

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，其意義在于利用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子等對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象刻畫，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)建模課是以培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)為目標(biāo)的課型，當(dāng)前這一課型越來越受到教師們的重視.不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模表現(xiàn)出濃厚興趣，但也有部分學(xué)生不知如何運(yùn)用建模思維解決實(shí)際問題，教學(xué)中仍然存在著“教師出題，學(xué)生解題”的刻板化教學(xué)行為.

“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法借助“e-數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”平臺(tái)，創(chuàng)設(shè)了“問題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)、目標(biāo)解惑”的教學(xué)路徑，能夠有效突破這一教學(xué)困境.這一教學(xué)法使學(xué)生從知識(shí)的被動(dòng)接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)獲取者，轉(zhuǎn)變?yōu)榛凇皠?chuàng)課導(dǎo)學(xué)”的小組合作學(xué)習(xí)者，轉(zhuǎn)變?yōu)榛谥攸c(diǎn)問題展開的教學(xué)活動(dòng)的積極參與者，充分體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

本文將以“線性相關(guān)與回歸分析”教學(xué)為例，根據(jù)數(shù)學(xué)建模課的“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”策略（如圖1），講解如何運(yùn)用“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法設(shè)計(jì)與實(shí)施數(shù)學(xué)建模課.

一、基于學(xué)情的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)目標(biāo)分析

“線性相關(guān)與回歸分析”是歷年高考數(shù)學(xué)試題中的熱門考點(diǎn).本課教學(xué)內(nèi)容安排在人教A版高中數(shù)學(xué)必修3 “2.3.1 變量間的相關(guān)關(guān)系”之后，為選修2—3第三章“回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用”的第二課時(shí).本課教學(xué)的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)過的散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)、直線回歸方程等知識(shí)進(jìn)行回歸分析，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)與能力.

課前，學(xué)生已系統(tǒng)學(xué)習(xí)了收集、整理、描述和分析等數(shù)據(jù)處理方法，以及回歸分析的基本思想.本課將進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)中存在的不能用函數(shù)模型描述的變量，然后通過體會(huì)樣本、探究變量間的相關(guān)關(guān)系等獲取線性回歸方程，描述、刻畫隨機(jī)現(xiàn)象.這是一種用樣本估計(jì)總體的數(shù)學(xué)思想，是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，能夠有效發(fā)展學(xué)生的建模素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用線性回歸方程解決問題的意識(shí)，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

根據(jù)學(xué)情和本課授課意圖，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：①通過隨機(jī)現(xiàn)象實(shí)例理解生活中存在的變量的相關(guān)關(guān)系，并能判別兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系;②通過探究?jī)蓚€(gè)變量的線性回歸方程，體會(huì)最小二乘法的思想，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);③利用信息技術(shù)求出兩個(gè)變量的線性回歸方程，利用所得線性回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)，發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

目標(biāo)①是目標(biāo)②、目標(biāo)③的基礎(chǔ).設(shè)計(jì)目標(biāo)①的目的，是將隨機(jī)現(xiàn)象與變量的相關(guān)關(guān)系結(jié)合起來，讓學(xué)生在認(rèn)知隨機(jī)現(xiàn)象的過程中體會(huì)變量的相關(guān)關(guān)系.教學(xué)中，教師不僅要給學(xué)生提供或引導(dǎo)學(xué)生尋找理解變量的相關(guān)關(guān)系的實(shí)例，還要?jiǎng)?chuàng)造合適時(shí)機(jī)讓學(xué)生自主辨別變量的相關(guān)關(guān)系，進(jìn)而理解“變量間的關(guān)系并不都是確定的函數(shù)關(guān)系，更多情況下是相關(guān)關(guān)系”這一知識(shí)點(diǎn).

在學(xué)生達(dá)成目標(biāo)①的基礎(chǔ)上，我們?cè)O(shè)計(jì)了目標(biāo)②，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用線性回歸方程近似刻畫變量的相關(guān)關(guān)系.教學(xué)中，教師可利用信息技術(shù)，幫助學(xué)生從圖象中直觀認(rèn)識(shí)“從整體上看，當(dāng)各點(diǎn)與此直線的距離最小時(shí)，用直線方程能最好地表示兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系”，從而較深入地理解最小二乘法思想.

目標(biāo)③的設(shè)計(jì)是為了提高學(xué)生運(yùn)用線性回歸方程進(jìn)行估計(jì)與預(yù)測(cè)的能力，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“用樣本估計(jì)總體”的思想和數(shù)學(xué)建模的過程.教學(xué)時(shí)，教師需要借助信息技術(shù)工具，引導(dǎo)學(xué)生利用從具體實(shí)例中得到的樣本數(shù)據(jù)建立線性回歸方程，然后用線性回歸方程進(jìn)行估計(jì)、預(yù)測(cè).

這三個(gè)目標(biāo)的設(shè)計(jì)，充分體現(xiàn)了“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法的三大策略：設(shè)計(jì)有層級(jí)、有梯度的問題，以問題為線索推進(jìn)課堂教學(xué)，體現(xiàn)“問題導(dǎo)向”;通過隨機(jī)現(xiàn)象的引入，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究、動(dòng)手實(shí)操的積極性，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中學(xué)習(xí)和理解知識(shí)，體現(xiàn)“實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)”;通過設(shè)計(jì)符合學(xué)生學(xué)情的梯度目標(biāo)，讓學(xué)生在達(dá)成目標(biāo)的過程中逐步解決心中疑惑，體現(xiàn)“目標(biāo)解惑”.

根據(jù)這三個(gè)目標(biāo)，我們應(yīng)用“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法展開了“線性相關(guān)與回歸分析”數(shù)學(xué)建模課教學(xué).

二、教學(xué)實(shí)施過程

（一）問題導(dǎo)向：從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題，從數(shù)學(xué)角度提出問題

數(shù)學(xué)建模課的宗旨，是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想方法和思維方式建立數(shù)學(xué)模型，從數(shù)學(xué)的角度解決有意義的現(xiàn)實(shí)問題.因此，數(shù)學(xué)建模所面對(duì)的問題，應(yīng)該是真實(shí)、具體且能激發(fā)學(xué)生研究興趣的現(xiàn)實(shí)問題.這正是“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法所倡導(dǎo)的，從現(xiàn)實(shí)生活中挖掘教學(xué)素材、發(fā)現(xiàn)問題，然后根據(jù)素材設(shè)計(jì)教學(xué)問題、創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、思考并解決相關(guān)問題的“問題導(dǎo)向”.

2020年，新冠肺炎疫情來襲，社會(huì)正常生活受到很大影響.從這場(chǎng)疫情中，我們發(fā)現(xiàn)了蘊(yùn)藏其中的數(shù)學(xué)教學(xué)資源，并據(jù)此設(shè)計(jì)了“線性相關(guān)與回歸分析”一課的教學(xué).

師：2020年春節(jié)前夕，一場(chǎng)突如其來的新冠肺炎疫情打亂了我們的生活節(jié)奏.在黨和國(guó)家的領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民齊心協(xié)力，社會(huì)生活秩序逐漸恢復(fù)正常，新冠肺炎疫情防控工作從應(yīng)急狀態(tài)轉(zhuǎn)為常態(tài)化.在常態(tài)化抗疫階段，我們應(yīng)該怎樣進(jìn)行自我防護(hù)呢？

生：戴口罩，勤洗手，少聚集，保持安全社交距離.

師：僅僅做到這些還不夠，新冠肺炎疫情在全球范圍內(nèi)的流行還沒有結(jié)束.為了鞏固這來之不易的抗疫成果，最有效的辦法是什么？

生：接種新冠疫苗.

師：對(duì)的，通過科學(xué)有序地接種新冠疫苗，逐步建立人群免疫屏障，才能阻斷新冠肺炎的繼續(xù)傳播.關(guān)于我國(guó)的新冠疫苗接種的問題，大家最關(guān)心的是什么？

生1：我國(guó)新冠疫苗接種的總體情況是怎樣的？

生2：接種劑數(shù)呈現(xiàn)什么樣的變化趨勢(shì)？

生3：我國(guó)疫苗接種劑數(shù)什么時(shí)候能達(dá)到10億？

師：看來同學(xué)們的關(guān)注點(diǎn)都很有現(xiàn)實(shí)意義.我們要怎樣用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來解決大家剛才提出的問題呢？

生：需要收集相關(guān)的數(shù)據(jù)，比如現(xiàn)在全國(guó)接種疫苗的劑數(shù).

師：只需要知道今天接種疫苗的劑數(shù)就夠了嗎？

生：不夠，需要知道一段連續(xù)時(shí)間內(nèi)每一天的接種劑數(shù)，然后求出一個(gè)函數(shù)解析式.

師：你的想法非常好，可以試一試.老師想提醒大家的是，數(shù)據(jù)來源一定要科學(xué)準(zhǔn)確、具有權(quán)威性.（師組織學(xué)生登錄國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)官網(wǎng)，收集最近75天新冠疫苗接種劑數(shù)的數(shù)據(jù)，輸入Excel表格.）

將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的第一步.教師選擇當(dāng)前社會(huì)熱點(diǎn)新聞作為教學(xué)的切入點(diǎn)，貼近學(xué)生實(shí)際生活，容易引發(fā)共鳴.教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)基于現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)驗(yàn)情境，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度提出新的問題，指導(dǎo)學(xué)生收集資料、整理數(shù)據(jù)，在解決問題過程中感受數(shù)學(xué)建模的意義和學(xué)習(xí)的樂趣，正是“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法之“問題導(dǎo)向”的意義所在.

（二）實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)：用變量思想確定參數(shù)，用建模思維模擬實(shí)驗(yàn)

用貼近生活實(shí)際的問題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的學(xué)習(xí)情境，較好地完成了課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，并且讓學(xué)生形成了問題意識(shí)，為在下一個(gè)教學(xué)階段中有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模打下了基礎(chǔ).

師：觀察Excel表格中的數(shù)據(jù)，你能了解我國(guó)新冠疫苗接種的總體情況嗎？

生：數(shù)據(jù)太多，只看得出接種劑數(shù)每天都在增加，應(yīng)該是累計(jì)接種劑數(shù)隨著累計(jì)接種天數(shù)的增加而遞增.

師：你說得非常棒，老師覺得你已經(jīng)對(duì)這個(gè)規(guī)律性有了猜想.具體是什么呢？請(qǐng)你大膽說出來！

生：也許是一次函數(shù)關(guān)系吧，不太確定.

師：順著你的思路，如果是一次函數(shù)，應(yīng)該怎么設(shè)置變量呢？

生：設(shè)置兩個(gè)變量，累計(jì)接種天數(shù)和累計(jì)接種劑數(shù).

師：回想一下我們學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，應(yīng)該怎樣操作才能直觀感受兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系？

生：繪制散點(diǎn)圖.

師：非常精彩！那我們還等什么！（展示問題一：累計(jì)接種天數(shù)與累計(jì)接種劑數(shù)之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系？如何判斷？）

根據(jù)問題一，學(xué)生進(jìn)行分組合作，分別選取累計(jì)接種15天、30天、45天的數(shù)據(jù)，使用計(jì)算機(jī)Excel軟件繪制散點(diǎn)圖（如圖2），然后進(jìn)行小組討論、展示.

生：3個(gè)圖中的點(diǎn)都是散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，而且大概能連成一條線，所以累計(jì)接種天數(shù)與累計(jì)接種劑數(shù)之間存在線性相關(guān)關(guān)系，為正相關(guān)關(guān)系.

師：能求出線性回歸方程嗎？（展示問題二：如果累計(jì)接種天數(shù)與累計(jì)接種劑數(shù)之間存在線性相關(guān)關(guān)系，如何運(yùn)用線性回歸方程進(jìn)行刻畫？）

學(xué)生運(yùn)用Excel工具，按照“選定散點(diǎn)圖→添加趨勢(shì)線→選定‘線性選項(xiàng)→勾選‘顯示公式”的步驟進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，最終寫出了線性回歸方程式，如圖3.

師根據(jù)學(xué)生作圖和所列線性回歸方程，展示問題三：所建立的線性回歸方程是否有效、可靠？用什么方法判斷？

生借助Excel軟件，在求線性回歸方程的操作步驟中增加勾選“顯示R平方值”，利用樣本相關(guān)系數(shù)來刻畫線性相關(guān)的程度，如圖4.

生：由圖4可以看出，這3個(gè)線性回歸方程的相關(guān)系數(shù)已經(jīng)逼近1，說明累計(jì)接種天數(shù)與累計(jì)接種劑數(shù)之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，也說明我們選擇的線性回歸模型是恰當(dāng)?shù)?

師：解釋得很到位！隨著累計(jì)接種天數(shù)的增加，我們建立的線性回歸方程也在不斷修正.如果將累計(jì)接種天數(shù)增加到60天、75天，累計(jì)接種天數(shù)與累計(jì)接種劑數(shù)之間還存在線性相關(guān)關(guān)系嗎？（展示問題四：如何修正已經(jīng)建立的回歸模型？）

生根據(jù)已建立的線性回歸方程，進(jìn)一步增加觀察天數(shù)，對(duì)原有的線性回歸方程進(jìn)行修正，如圖5.

生1：我們小組通過散點(diǎn)圖對(duì)比，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)與直線擬合的程度沒有那么好了，更像是曲線，像是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)圖象.

生2：也像開口向上的對(duì)稱軸在右側(cè)的二次函數(shù)圖象.

生3：還像冪函數(shù)圖象.

師：大家的猜想都很有意思，這種數(shù)學(xué)直覺特別珍貴！數(shù)學(xué)是一門理性的科學(xué)，猜想只是起點(diǎn)，還需要用我們已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去驗(yàn)證.星星之火能否熊熊燃燒，就看你們的了！

生利用Excel軟件操作繪圖，驗(yàn)證猜想，如圖6.

生：當(dāng)累計(jì)接種天數(shù)為75天，擬合成線性回歸模型時(shí)，相關(guān)系數(shù)是0.906 3，說明線性相關(guān)關(guān)系仍然很強(qiáng);擬合成指數(shù)模型、多項(xiàng)式模型時(shí)，相關(guān)系數(shù)分別是0.995 4、0.991，說明這兩個(gè)模型比線性回歸模型更符合實(shí)際情況;擬合成冪函數(shù)模型時(shí)，相關(guān)系數(shù)是0.822 3，也超過了0.75，但與實(shí)際有所偏離.

師：分析得很全面！除了建立線性回歸模型，我們還可以建立其他類型的回歸模型，并通過這些模型的相關(guān)系數(shù)來比較孰優(yōu)孰劣.

數(shù)學(xué)建模的順利完成離不開信息技術(shù)的支持，信息技術(shù)與課堂教學(xué)的深度融合提升了課堂教學(xué)效果.因此，教師必須熟練掌握GeoGebra、幾何畫板、Excel等軟件的操作，才可以在建?；顒?dòng)中適時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行應(yīng)用指導(dǎo).在本課教學(xué)中，我們通過設(shè)計(jì)4個(gè)有梯度的問題，引導(dǎo)學(xué)生利用Excel軟件完成觀察、猜想、操作、對(duì)比、推理、修正的建模過程，提高了學(xué)生的建模意識(shí)和能力.

在“實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)”過程中，教師通過有效的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多樣化實(shí)驗(yàn)，并在實(shí)驗(yàn)過程中不斷改進(jìn)、提升.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷了上述數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的全過程，且能夠在“做中學(xué)”、在“學(xué)中會(huì)”，發(fā)展了學(xué)生的合作意識(shí)、創(chuàng)新能力.

（三）目標(biāo)解惑：借量化思想計(jì)算求解，借檢驗(yàn)結(jié)果梳理思路

建模的最終目的是發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，提高其解決實(shí)際問題的能力.為此，我們對(duì)本課進(jìn)行了適當(dāng)延伸.

師：你們會(huì)選擇哪種線性回歸模型來預(yù)測(cè)我國(guó)疫苗累計(jì)接種劑數(shù)什么時(shí)候能達(dá)到10億？（展示問題五：如何利用模型幫助我們做出預(yù)測(cè)？）

生根據(jù)此前建立的線性回歸方程進(jìn)一步進(jìn)行預(yù)測(cè)、驗(yàn)證，如圖7.

生：在Excel軟件里，先選定累計(jì)接種75天的散點(diǎn)圖，然后在菜單中選定“設(shè)置趨勢(shì)線格式”選項(xiàng)，接著選定“指數(shù)”選項(xiàng)，在“趨勢(shì)線預(yù)測(cè)”標(biāo)簽下，將“前推”周期分別設(shè)置為10、11、12、13.通過觀察比較，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)周期值為12時(shí)，縱軸的取值約為10億.按照線性回歸模型預(yù)估，在6月17日，全國(guó)疫苗累計(jì)接種劑數(shù)有望達(dá)到10億.

師：非常棒！你能夠很好地利用線性回歸方程和Excel對(duì)問題做出合理的預(yù)測(cè).除了上面的問題，老師還有一些問題需要同學(xué)們?cè)谡n后解決.

師課件呈現(xiàn)問題：①相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)別與聯(lián)系？②在什么情況下用線性回歸方程刻畫兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系可以獲得較好結(jié)果？③用線性回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)的基本步驟是什么？④你現(xiàn)在會(huì)如何判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度了嗎？

本節(jié)基于“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”的數(shù)學(xué)建模課，按照“問題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)、目標(biāo)解惑”的教學(xué)策略組織教學(xué)，體現(xiàn)了3個(gè)層次的設(shè)計(jì)意圖：一是用實(shí)際問題導(dǎo)入，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣;二是設(shè)計(jì)有層次的問題，采用實(shí)際案例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)建模過程，學(xué)習(xí)建模方法，增強(qiáng)其分析和解決問題的能力;三是小組合作探究解決問題，提高合作意識(shí)和探究能力，培養(yǎng)開放包容、敢于創(chuàng)新的精神.（題圖左為作者余莉，右為作者陳嘉穎）

（責(zé)編 蒙秀溪）