袁琴芳

摘 要：蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)文化背景的試題是從數(shù)學(xué)本源上考察學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，其中包含著數(shù)學(xué)抽象的思考、數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，教學(xué)必須確實(shí)的從知識(shí)、思想、精神上助力學(xué)生，才能讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地生根。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)文化題

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中建議數(shù)學(xué)高考的命題需：“聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性;注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧，融入數(shù)學(xué)文化”;而數(shù)學(xué)文化是指“數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)?！彪S著我國教育改革的推進(jìn)，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)文化背景的試題（以下簡稱數(shù)學(xué)文化題）成為了高考試題中一道不可或缺的亮麗的風(fēng)景，它不僅能從數(shù)學(xué)理性的角度來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)程度，更能夠?qū)⑷祟惙睒s和發(fā)展的人文氣息與科技脈絡(luò)融入學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)。故以此文與大家共享對(duì)數(shù)學(xué)文化題的再認(rèn)知。

二、解題的研究

例1（2021年八省市高考適應(yīng)性考第20題）

北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用。刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容。用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和。例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為4π。

（1）求四棱錐的總曲率;

（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)。

解析：

（1）設(shè)四棱錐的總曲率為K，四棱錐的面角之和為θ，則四棱錐的所有面角之和θ等于4個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和加上1個(gè)四邊形的內(nèi)角。

四棱錐的所有頂點(diǎn)的曲率之和

。

（2）不妨設(shè)多面體的總曲率為K，面角之和為θ，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，頂點(diǎn)數(shù)為V，并將F個(gè)面分別為記為邊形，顯然，則此F個(gè)面的面角之和

又V-E+F=2

故多面體的總曲率

答：此多面體的總曲率K為4π。

評(píng)論：本題的第一個(gè)難點(diǎn)在于新概念的理解;第二個(gè)難點(diǎn)是每個(gè)頂點(diǎn)的面角之和不好一一表示：第三個(gè)難點(diǎn)在于解題中需利用初中學(xué)過的多邊形的內(nèi)角和公式，故知識(shí)的跨度是從大學(xué)到高中再到初中，讓學(xué)生的思維逆流而往，調(diào)取的知識(shí)時(shí)間長度大大增長，因此對(duì)學(xué)生而言思維的展開也更加困難。然而也只有這樣的考查才是真正地體現(xiàn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能確確實(shí)實(shí)的考查出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、形成共識(shí)

（一）基于數(shù)學(xué)抽象的思考

數(shù)學(xué)文化題本質(zhì)上是固著文化的外衣，于是文化的風(fēng)彩與文字的精妙隱約閃爍在其中，而且中國文化博大而精深，因此學(xué)生首先需要有比較好的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)來支撐其對(duì)數(shù)學(xué)文化題的理解與提取，即對(duì)于數(shù)學(xué)文化題要進(jìn)行必要的分解閱讀與深刻地理解，才能將文字語言精準(zhǔn)的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，完成良好地解題開篇。

本題中“用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和?！边@句話在閱讀時(shí)，應(yīng)當(dāng)?shù)谝徊?，抓住主干知識(shí)：“……的曲率等于……的差”;第二步，補(bǔ)充主干知識(shí)：“誰的曲率”即：多面體頂點(diǎn)的曲率;“誰的差”即“2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差”;第三步，明確新的定義“該點(diǎn)的面角”即“多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制”;第四步，特殊的說明理解，針對(duì)不是頂點(diǎn)處的面上的點(diǎn)的曲率認(rèn)識(shí)即“多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零”與“多面體的總曲率”即“多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和”。如此琢磨透本題的“規(guī)定”，從分析法的角度捋順解題線索的走向?yàn)椋嚎偳实扔诟黜旤c(diǎn)的曲率之和，一個(gè)頂點(diǎn)的曲率又等于2π與該點(diǎn)的面角之和的差，于是可先分而置之。再利用綜合法明了，解題的第一步為：求多面體的每一個(gè)頂點(diǎn)的面角之和;第二步為：求出多面體的每一個(gè)頂點(diǎn)的曲率;第三步為：計(jì)算出各頂點(diǎn)的曲率之和，即解決問題。

由上述分析可知，要將數(shù)學(xué)文化題的文本語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的問題表征，需不斷的細(xì)化題目中的文字語意的表達(dá)，從一級(jí)主干文字分析，接著到二級(jí)主干輔助性文字說明，再著到三級(jí)補(bǔ)充性文字說明，最后到四級(jí)的其他要義性的文字說明，逐層逼近，剝繭抽絲，最后終于抽取出涵蓋本題的數(shù)學(xué)要素，才能快速的明確本題的數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，由此可見，數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)對(duì)于學(xué)生解數(shù)學(xué)文化題而言猶如是畫龍點(diǎn)睛之筆，學(xué)會(huì)斷句、分清主次、有序推進(jìn)才是解數(shù)學(xué)文化題的破題之刃。

（二）基于數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

數(shù)學(xué)文化題之于數(shù)學(xué)而言本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)建模，當(dāng)掀開數(shù)學(xué)文化題的五彩外衣之后，很明顯，大家立馬就可以看出數(shù)學(xué)文化題的問題根源與出處，于是就可以搜羅所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，于相同處入手，相似處思考，將新問題稼接在舊知的生長點(diǎn)處，建立一個(gè)屬于新問題的舊的數(shù)學(xué)模型，從而借數(shù)學(xué)模型之腳架即可一蹴而就，解決問題。

本題中問題（1）的思考：要解決四棱錐的總曲率，從根本上就是求五個(gè)頂點(diǎn)處的面角之和，而題目中給的例子：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為4π。對(duì)于“正四面體”應(yīng)用的解題模式是各個(gè)頂點(diǎn)分別突破，但在一般的四棱錐中，對(duì)于任意給定的一個(gè)頂點(diǎn)各個(gè)擊破似乎是不太現(xiàn)實(shí)的，于是需要打破定勢思維重新思考解決問題的方向，正向不可，逆勢而上，從分類與整合的思想方向前進(jìn)，于是有：四棱錐的所有面角之和θ等于4個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和加上1個(gè)四邊形的內(nèi)角，于是問題迎刃而解，依此思路可得問題（2）的解題切入點(diǎn)，于是由四棱錐推及多面體，充分的借助整體觀全局表達(dá)，順利解題。

于此，再論數(shù)學(xué)文化題中的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的探求，通常題目中有著簡單表象的表述，給大家一個(gè)錯(cuò)覺，似乎可以直接建立數(shù)學(xué)模型了，但這種不經(jīng)思索的模型就象漂浮于海中的冰山，讓所有不愿深思熟慮的同學(xué)撞了個(gè)墻，因此要從根本上建立一個(gè)適合的數(shù)學(xué)模型，更應(yīng)當(dāng)從模型形成的過程去探究，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系與數(shù)學(xué)直覺的引領(lǐng)，重視數(shù)學(xué)思想與方法的整合，數(shù)理邏輯與語言表達(dá)的推敲。由此可見，數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)對(duì)于學(xué)生解數(shù)學(xué)文化題而言是一種真正地考驗(yàn)與本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，也有助于學(xué)生的更全面成長。

四、推廣應(yīng)用

例2（2019年全國理科數(shù)學(xué)I卷（理）6）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化。每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦。在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是：

A. B. C. D.

分析：本題是以我國古代典籍《周易》中富含哲學(xué)思想的“卦”文化為載體，重點(diǎn)體現(xiàn)“卦”的表達(dá)方式簡易又變化多樣的本質(zhì)，本質(zhì)上理解或然與必然的數(shù)學(xué)思想，基于數(shù)學(xué)抽象的思考，則可明確問題的對(duì)象“陽爻”與“陰爻”可抽象為數(shù)學(xué)中的兩個(gè)自然數(shù)“1，2”，而基于數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用可知本題就是概率主題，具體為計(jì)數(shù)原理及排列組合的運(yùn)用，故本題相當(dāng)于問“在由兩個(gè)自然數(shù)“1，2”組成的六位數(shù)中，數(shù)字“1”出現(xiàn)3次的六位數(shù)的概率”。

解：由題知，兩個(gè)數(shù)“1，2”組成的六位數(shù)有26種，其中數(shù)字“1”出現(xiàn)3次的六位數(shù)有C63種，所以數(shù)字“1”出現(xiàn)3次的六位數(shù)的概率為;故選A。

五、思考與建議

在教學(xué)中對(duì)于數(shù)學(xué)文化題，教師要以核心素養(yǎng)的滲透為指導(dǎo)思想，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行程序化，模式化的思考，可以有效地解決學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)文化題的畏難情緒。充分的模式的范例，使學(xué)生更容易從本質(zhì)上看透數(shù)學(xué)文化題的來龍去脈，從而理清解決問題的方向與路徑。因此教學(xué)數(shù)學(xué)文化題還是任重而道遠(yuǎn)，需要教師根植于數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即數(shù)量關(guān)系與空間形式的認(rèn)識(shí)。同時(shí)在教學(xué)中建議：要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生去閱讀、思考;留足時(shí)間讓學(xué)生學(xué)會(huì)辨析、選擇。學(xué)生所擁有的能力與素養(yǎng)是來源于平時(shí)一點(diǎn)一滴的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本經(jīng)驗(yàn)的體會(huì)與積累，良好與豐富的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在知識(shí)的生成過程中的思維抽取、分析、建模的更系統(tǒng)化與習(xí)慣化，讓學(xué)生有自己思考問題的時(shí)間與空間，學(xué)生才能經(jīng)歷思維與知識(shí)生產(chǎn)的陣疼，才能真正提升自我的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1].中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2].史寧中、林玉慈、陶劍、郭民.關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].課程·教材·教法（京），2017（4）：3-8.

本文系福建省“十三五”中小學(xué)名師名校長培養(yǎng)工程專項(xiàng)課題“基于類比思想的高中數(shù)學(xué)課堂問題清單研究”（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：DTRSX2019012）的階段性研究成果.