王德貴

中國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》是張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著。其內(nèi)容十分豐富，總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就。是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。其中有一道題是“五家共井”問題，原文如下：

五家共井，甲二綆不足，如乙一綆;乙三綆不足，如丙一綆;丙四綆不足，如丁一綆;丁五綆不足，如戊一綆;戊六綆不足，如甲一綆，皆及。

這道題的白話解釋是：五家合用一口井，甲家的2根井繩和乙家1根井繩總長為井深;乙家的3根井繩和丙家的1根井繩總長為井深;丙家的4根井繩和丁家1根井繩總長為井深;丁家的5根井繩和戊家1根井繩總長為井深;戊家的6根井繩和甲家1根井繩總長為井深。問：井深、各家井繩各多少？（每家的井繩均等長）

下面我們也來分析一下“五家共井”問題，并用Python、圖形化和APPInventor分別求解。

一、創(chuàng)意來源

在教授學(xué)生學(xué)習(xí)Python四級課程時，合用的練習(xí)和案例并不多，于是在搜索案例過程中，看到了這個“五家共井”問題，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)比較適合用Python四級的知識點(diǎn)來解決，現(xiàn)分享出來。

二、設(shè)計思路

這是一個不定方程問題。遇到方程最初的想法還是用枚舉法，在100范圍內(nèi)運(yùn)行后，無果。說明最小正整數(shù)解，一定比100大，于是擴(kuò)大范圍到300，結(jié)果運(yùn)行很久也沒有輸出結(jié)果，看來運(yùn)算時間過長了，沒有能等到程序運(yùn)行出結(jié)果。

于是想到庫函數(shù)sympy，它是一個符號計算的Python庫。我在文章《阿基米德群牛問題的分析及Python驗(yàn)證》里講過，這里不再贅述。

通過解方程，得到關(guān)系式，從而求出最小正整數(shù)解。

在使用Python求解過程中，想試著再用Scratch和APPInventor求解，通過編程，運(yùn)行，在對比三種代碼之后很有啟發(fā)，下面把求解過程分享給大家。

三、程序設(shè)計

（一）Python程序設(shè)計

1.枚舉法

這是一種最直接的思路，不知道具體結(jié)果，那就用枚舉法測試（圖1）。根據(jù)題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五根繩子分別長a、b、c、d、e，井深2a+b，5個未知數(shù)的滿足方程2a+b=3b+c=4c+d=5d+e=6e+a，將1到100分別代入進(jìn)行試算。

由于運(yùn)行時間較長，運(yùn)行時將消耗時間打印出來了，此時顯示的是運(yùn)行了a取值1到10的運(yùn)行時間222秒（圖2）。

2.時間復(fù)雜度

如果取值范圍在100以內(nèi)，則時間復(fù)雜度是10的10次方，按運(yùn)行時間算，運(yùn)行了10個a將近4分鐘，那運(yùn)行100個a，需要的時間就大約是40分鐘（圖3）。

當(dāng)a的取值在300以內(nèi)時，運(yùn)行1個a需要的時間將近30分鐘，那300個a就是近150個小時，需要6天多的時間（圖4）。

這樣長的運(yùn)行時間程序完全無法實(shí)用，必須通過縮減無效運(yùn)算來優(yōu)化程序。改為將最短的繩子e作為枚舉的主要參數(shù)，根據(jù)題目分析我們也能提前知道各未知數(shù)的大小關(guān)系，將d的試算起始數(shù)量從1改為從e開始，其他幾個未知數(shù)以此類推。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)搜索答案，我已經(jīng)知道e的最小正整數(shù)解小于100，b小于300。新增了變量bj=1用來判斷，當(dāng)獲得答案后立刻跳出循環(huán)。等待一段時間能夠獲得答案（圖5）。

運(yùn)行10個e的時間將近是6分鐘，隨e值增大，單次運(yùn)算時間還會縮短。優(yōu)化后，運(yùn)行時間大大縮短了，只需25分鐘左右，已經(jīng)獲得了一組結(jié)果（圖6）。

我們根據(jù)已有答案回推優(yōu)化程序，最終獲得了結(jié)果。但是如果我們不知道答案的范圍，即使只在300范圍內(nèi)試算，運(yùn)行也要6個小時左右。枚舉法在面對這樣一個不定方程的情況時，如果不知道結(jié)果的范圍，那么運(yùn)行時間就會非常長！必須去尋找更簡捷的算法。

3.方程解法的程序設(shè)計

（1）利用sympy庫函數(shù)先求出不定方程的關(guān)系式（圖7）。