寧志遠(yuǎn) ，陳長征

(沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽 110870)

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 黏著磨損

黏著磨損計(jì)算首先是由Archard提出，計(jì)算公式[13]為

(1)

式中：V為磨損體積；s為滑動距離；K為無量綱磨損系數(shù)；H為較軟接觸表面硬度；Ft為接觸表面載荷。

在干摩擦，混合或邊界潤滑的表面上的P點(diǎn)處的黏著磨損通?？杀灰暈閺某踔抵饾u演變的過程并且由微分方程描述為

(2)

式中：h為磨損深度；k為磨損系數(shù)；p為接觸點(diǎn)所受的壓強(qiáng)；v為接觸面相對滑移速度；t為時(shí)間。通過對t進(jìn)行積分得到P點(diǎn)的磨損深度表示為

(3)

在對齒輪輕度磨損的研究中，可以將齒輪齒廓表面分成若干個(gè)微元，并且在該微元內(nèi)的磨損假定為穩(wěn)態(tài)，則可以通過簡化計(jì)算得出各個(gè)微元內(nèi)的磨損深度為

hi,j=hi,j-1+kpi,j-1vjΔt

(4)

式中：i為P點(diǎn)所在的單元；j為在點(diǎn)P的磨損次數(shù)；Δt為時(shí)間步長，磨損過程如圖1所示。

圖1 內(nèi)齒輪磨損過程Fig.1 Internal gear wear process

圖中：v1，v2分別為外、內(nèi)齒輪在齒輪表面在嚙合方向上的運(yùn)動速度；P1P2為齒輪嚙合線；點(diǎn)P為齒輪嚙合點(diǎn)；s為時(shí)間步長Δt內(nèi)齒輪表面的相對滑移距離；hP為齒輪在嚙合點(diǎn)P處的磨損深度。

1.2 內(nèi)齒輪動力學(xué)模型

本文以內(nèi)嚙合直齒輪為研究對象，建立2個(gè)自由度的動力學(xué)模型，分別為內(nèi)外齒輪的角位移θ1和θ2，具體如圖2所示。其中：Rb1，Rb2分別為外、內(nèi)齒輪基圓半徑；T1，T2分別為輸入、輸出力矩；I1，I2分別為外、內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)動慣量；m1，m2分別為外、內(nèi)齒輪的質(zhì)量；Ke(t)為齒輪時(shí)變嚙合剛度；c(t)為時(shí)變嚙合阻尼；e(t)為齒輪齒廓誤差。

圖2 內(nèi)嚙合直齒輪動態(tài)嚙合模型Fig.2 Dynamic meshing model of internal meshing spur gear

由圖2可以得到內(nèi)嚙齒輪嚙合動力學(xué)方程為

(5)

式中：nz為參與嚙合的齒對數(shù)；F為嚙合齒對的嚙合力；Λ為摩擦參數(shù)表示摩擦力方向，取值為±1；ρ為接觸點(diǎn)圓弧半徑；μ為摩擦因數(shù)。為求解動態(tài)嚙合力，將角位移θ1和θ2轉(zhuǎn)化為嚙合方向的線位移y1，y2。假定Ft為外部載荷力，則可得到[14]

(6)

式中，S1i=ρ1i/Rb1，S2i=ρ2i/Rb2分別為外、內(nèi)齒輪嚙合點(diǎn)處曲率半徑與其基圓半徑之比。對于任意嚙合齒對的動態(tài)嚙合力可以表示為

Fi=Kei(yr-e)

(7)

式中，yr為齒輪齒向相對運(yùn)動，yr=y1-y2，并且當(dāng)yr-e<0時(shí)齒輪嚙合點(diǎn)處的嚙合力為Fi=0，當(dāng)yr-e>0時(shí)，F(xiàn)i>0。將式(7)代入式(6)整理后可得

(8)

將黏性阻尼考慮進(jìn)去整理后可得

(9)

(10)

(11)

1.3 時(shí)變嚙合剛度模型

彈性流體動壓潤滑分為3種潤滑狀態(tài)，通常采用膜厚比λ來判斷接觸表面潤滑狀態(tài)大部分齒輪傳動工作在膜厚比λ=0.5～1.5。在該潤滑條件下齒輪嚙合剛度模型為并聯(lián)模型，如圖3所示。

圖3 輪齒接觸剛度模型Fig.3 Gear tooth contact stiffness model

從圖3并聯(lián)模型中可以看出，嚙合剛度由齒面時(shí)變嚙合剛度Ks和油膜時(shí)變剛度接觸剛度Kl共同組成[16]。然而在混合潤滑條件下齒面與油膜各自的承載比例會隨著動態(tài)載荷的變化而變化，為準(zhǔn)確描述綜合嚙合剛度Ke，將承載系數(shù)引入并聯(lián)模型中，用以描述在干摩擦與油潤滑摩擦之間的狀態(tài)。1/γ1和1/γ2分別為油膜和齒面承載系數(shù)，并且1/γ1+1/γ2=1可以通過粗糙峰變形公式進(jìn)行確定。當(dāng)接觸為干摩擦?xí)r，1/γ2=1即油膜承載系數(shù)為0，當(dāng)接觸為油潤滑時(shí)，1/γ1=1即齒面承載系數(shù)為0。此時(shí)可以認(rèn)為齒輪嚙合綜合剛度Ke可通過如下關(guān)系得到

Ke=K1/γ1+Ks/γ2

(12)

式中，Ks表達(dá)式[17]為

Ks=K1K2KH/(K1+K2+KH)=Ks(ξ)

(13)

式中：K1為內(nèi)齒輪剛度；K2為外齒輪剛度；KH為接觸剛度；ξ為P點(diǎn)接觸參數(shù)。輪齒剛度Ki在P點(diǎn)的嚙合剛度根據(jù)最小勢能原理，可以表示為

Ki=(1/kix+1/kis+1/kin)-1

(14)

式中：kix為第i齒對的齒輪彎曲剛度；kis為第i齒對的軸向拉壓剛度；kin為第i齒對的扭轉(zhuǎn)剪切剛度，可分別表示為

(15)

式中：αP為P點(diǎn)壓力角；γP為P點(diǎn)接觸角厚度；G為剪切彈性模量；et(y)為y對應(yīng)的齒輪截面齒厚；yb和yp分別為根截面和載荷截面對應(yīng)的值；Cs為當(dāng)量修正系數(shù)，這里取值為Cs=1.5[18]。

為求解油膜剛度公式可以根據(jù)彈流動壓公式中對油膜剛度的定義式算得到[19]

(16)

式中：F1為接觸區(qū)的油膜承載載荷可通過式(23)進(jìn)行計(jì)算；h1為油膜中心位移；δ∞為接觸區(qū)穩(wěn)態(tài)下油膜的壓縮變形，δ∞=-h1。

根據(jù)彈流潤滑建立無量綱油膜潤滑方程。首先將油膜變形進(jìn)行無量綱化，得到無量綱油膜形變Δ∞，其定義式為

Δ∞=δ∞/c

(17)

式中，c為赫茲接觸變形，其表達(dá)式為

(18)

式中：E′為綜合彈性模量；RP為P點(diǎn)綜合曲率半徑。無量綱油膜形變Δ∞表達(dá)式為[20]

Δ∞(M,L)=1-p(L)Mq(L)

(19)

式中：M為無量綱載荷參數(shù)；L為無量綱潤滑參數(shù)；p(L)，q(L)均為無量綱潤滑參數(shù)L的函數(shù)。

為求解油膜剛度，需要首先將無量綱油膜形變Δ∞轉(zhuǎn)化為δ∞關(guān)于w的函數(shù)，通過將式(17)和式(19)聯(lián)立后將得到

(20)

根據(jù)定義式(16)對式(20)中的δ∞求導(dǎo)可得到油膜剛度。

1.4 摩擦力矩與承載系數(shù)

內(nèi)嚙合齒輪摩擦因數(shù)μ的定義式為

μ=Ft/Ff

(21)

式中，F(xiàn)f為總摩擦力。在混合彈流潤滑條件下，齒輪接觸處的摩擦力由油膜和齒面粗糙峰共同承擔(dān)?？偟慕佑|載荷為Ft表達(dá)式為

(22)

式中：Fl為油膜承載力；Fs為齒承載力，因此總摩擦力Ff=Ffl+Ffs，其中Ffl為油膜摩擦力

Ffl=?A0τsdA

(23)

式中：τs為油膜剪切應(yīng)力；A為赫茲接觸面積。同時(shí)，F(xiàn)fs為齒面摩擦力

Ffs=fsFs

(24)

式中，fs為摩擦因數(shù)，這里取0.1。油膜與齒面承載系數(shù)1/γ1和1/γ2可以通過粗糙峰受力方程計(jì)算[21]

(σs/R)-0.418 941W0.39)-1.690 59]-0.591 5=

(25)

式中，各參數(shù)和函數(shù)可參照Wijnant研究中的參數(shù)定義及其計(jì)算公式進(jìn)行確定。

2 數(shù)值求解

為描述齒輪動態(tài)磨損過程，將齒輪從齒廓漸開線與基圓的交點(diǎn)定為初始點(diǎn)，時(shí)間t記為0，在輪齒進(jìn)入嚙合的時(shí)間記為t1，退出嚙合點(diǎn)的時(shí)間記為t2，進(jìn)入單齒嚙合區(qū)的時(shí)間記為ta，退出單齒嚙合區(qū)的點(diǎn)記為tb；將齒輪從進(jìn)入嚙合時(shí)間t1到退出嚙合時(shí)間t2等間距分割成100個(gè)時(shí)間步長。具體如下圖4所示。

圖4 齒輪嚙合各時(shí)間點(diǎn)Fig.4 Gears at various points in time

由于承載系數(shù)與嚙合力之間相互耦合，則需先求出初始嚙合力。同樣可以利用最小勢能法，計(jì)算齒輪初始載荷分配比[22]

(26)

式中：Ri為任一嚙合齒對的載荷分配比；ξ為嚙合參數(shù)與嚙合時(shí)間t呈正相關(guān)。初始嚙合力Fd0為

Fd0=Ri(ξ)Ft

(27)

將初始嚙合力Fd0作為迭代初值，代入式(31)求解出齒輪載荷系數(shù)1/γ1，1/γ2和分配載荷Fs，F(xiàn)l，用于求解綜合接觸剛度，進(jìn)而可以通過式(10)求解得出齒輪動態(tài)嚙合力Fd1，通過調(diào)整得到新的迭代初值。經(jīng)過多次迭代后將得到的齒面動態(tài)嚙合力代入齒面磨損模型中，可求解出齒面磨損分布。

圖5 求解流程Fig.5 Solving process

表1中給出了齒輪尺寸參數(shù)，并以表中參數(shù)為例進(jìn)行計(jì)算，討論了內(nèi)嚙合齒輪的動態(tài)嚙合剛度Ke(包括齒面剛度Ks和油膜剛度Kl)的變化，以及在考慮動態(tài)嚙合剛度是齒輪的動態(tài)嚙合力Fd1沿齒面分布的變化。同時(shí)，研究了在動態(tài)載荷Fd1條件下其隨內(nèi)嚙合齒輪表面磨損量h分布，以及磨損后動態(tài)載荷Fd1和動態(tài)承載系數(shù)1/γ1和1/γ2的影響。

表1 齒輪參數(shù)表Tab.1 Gear parameter table

3 結(jié)果分析

3.1 齒面磨損結(jié)果對比分析

圖等計(jì)算的內(nèi)齒輪j次嚙合后動態(tài)磨損分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.6 et al.calculated the dynamic wear distribution of the internal gear after j times of meshing j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖等計(jì)算的外齒輪j次嚙合后動態(tài)磨損分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.7 et al.calculated the dynamic wear distribution of the external gear after j times of meshing j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖8、圖9分別為內(nèi)、外齒輪在上述轉(zhuǎn)速下經(jīng)歷過j=(0.5,1.0,…,5.0)×106次嚙合后的齒輪磨損分布。圖8中內(nèi)齒輪在j=0.5×106和j=5.0×106時(shí)磨損分布均有4個(gè)峰值點(diǎn)。在j=0.5×106時(shí)，內(nèi)齒輪磨損厚度峰值點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為-3.586 mm，-3.208 mm，-2.090 mm和1.935 mm。在j=5.0×106時(shí)，峰值點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為-3.550 mm，-2.779 mm，-1.868 mm和2.208 mm。外齒輪在j=0.5×106和j=5.0×106時(shí)的磨損厚度峰值橫坐標(biāo)分別為，-2.090 mm，1.930 mm和-1.791 mm，2.208 mm。內(nèi)、外齒輪的磨損厚度峰值點(diǎn)均向退出嚙合點(diǎn)有所移動。同時(shí)在峰值點(diǎn)的磨損厚度與嚙合次數(shù)之間呈非線性關(guān)系，并且沒有磨損突變的情況，進(jìn)入段的磨損量明顯大于退出段的磨損量，這與文獻(xiàn)[23]中的試驗(yàn)結(jié)果一致。該現(xiàn)象是由于磨損受到齒面沖擊的影響，使得齒面磨損顯示出非線性分布的特征。

圖8 內(nèi)齒輪j次嚙合后動態(tài)磨損分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.8 Dynamic wear distribution of internal gear after j times meshing j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖9 外齒輪j次嚙合后動態(tài)磨損分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.9 Dynamic wear distribution of internal gear after j times meshing j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

3.2 齒輪嚙合動態(tài)性能退化分析

齒面磨損量很小，計(jì)算得到的齒面相對滑動速度的影響可以忽略，因此這里僅分析齒面載荷隨磨損的變化。

圖10中給出了Fd0隨嚙合周期t的分布。通過載荷分配比R(ξ)得到齒輪嚙合靜態(tài)嚙合力Fd0。靜態(tài)嚙合力作為迭代計(jì)算初值，在動態(tài)條件下的齒輪嚙合力的變化也是產(chǎn)生齒輪動態(tài)磨損與靜態(tài)磨損的區(qū)別的原因。同時(shí)，齒輪動態(tài)嚙合力也會隨著磨損的增加發(fā)生變化。

圖10 靜態(tài)嚙合力Fd0Fig.10 Static meshing force Fd0

圖11中給出了在j次嚙合后的動態(tài)嚙合力的變化趨勢。圖11中動態(tài)嚙合力相較于靜態(tài)嚙合力而言較為平滑，沒有了嚙合力的突變，且呈現(xiàn)雙峰分布，分別為1.005Tz和1.298Tz處。隨著磨損增加后在0.768Tz處會逐漸出現(xiàn)新的峰值。在1.298Tz處的峰值從1 264 N逐漸增大至1 740 N，增大了37.66%，并且峰值點(diǎn)橫坐標(biāo)會向右移動至1.371Tz處。而在j=0.5×106和j=5.0×106時(shí)的最大嚙合力分別為2 236 N和2 193 N，隨磨損增大減小了1.92%。

圖11 在j次嚙合后齒輪動態(tài)嚙合力j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.11 Dynamic meshing force of gears after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖12中為描述嚙合力增量隨嚙合次數(shù)的變化，以j=0.5×106次嚙合后得到的動態(tài)嚙合力為基準(zhǔn)動態(tài)嚙合力，將j=(0.5,1.0,…,5.0)×106時(shí)的動態(tài)嚙合力減去基準(zhǔn)嚙合力得到嚙合力增量分布。動態(tài)嚙合力增量共有6個(gè)峰值，對應(yīng)橫坐標(biāo)分別為0.036 56Tz，0.310 80Tz，0.585 00Tz，0.914 10Tz，1.261 00Tz和1.591 00Tz，意味著隨著齒輪不斷磨損，動態(tài)嚙合力將出現(xiàn)6個(gè)峰值點(diǎn)，齒面沖擊逐漸加劇。磨損后的嚙合力增量呈現(xiàn)逐漸收斂的趨勢。

圖12 在j次嚙合后動態(tài)嚙合力增量分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.12 Dynamic meshing force increment distribution after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

從圖13中可以看出，在j=0.5×106時(shí)齒向相對位移最大值在0.987 2Tz處為0.002 355 mm，最小值在1.188 0Tz處為0.001 222 mm。隨著磨損增加，最大值則對應(yīng)兩個(gè)橫坐標(biāo)分別為0.400 2Tz和1.389 0Tz，并增加至0.002 823 mm，最小值在1.188 0Tz處為0.001 749 mm。分別增加了19.87%和43.12%。從圖14中可以看出在j=0.5×106時(shí)齒向相對速度最大值在0.895 8Tz處為0.336 9 mm/s，最小值在1.079Tz處為-0.670 7 mm/s。在j=5.0×106時(shí)最大值在1.298 0Tz處為0.592 8 mm/s，最小值在1.463Tz處為-0.436 4 mm/s，分別增加了78.99%和34.93%。齒向相對位移和相對速度的振幅分別增大了-5.21%和2.72%同時(shí)在在j=0.5×106時(shí)0.822 7Tz處有明顯的沖擊，隨著磨損增大，沖擊逐漸消失。隨著磨損增大，在單雙齒交替點(diǎn)處齒輪振動的相對位移和相對速度振幅變化不大，振動周期逐漸縮短，高頻振動增加，齒輪嚙合條件逐漸惡化。

圖13 在j次嚙合后嚙合相對位移分量j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.13 Displacement component of mesh line after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖14 在j次嚙合后嚙合線速度分量j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.14 Velocity component of mesh line after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

3.3 齒輪嚙合剛度退化分析

在馮松等[24]的研究中發(fā)現(xiàn)，在齒輪的正常均勻磨損對齒輪齒對的嚙合剛度影響有限，因此本文中忽略了磨損對齒輪齒面剛度Ks的影響，圖15中為齒面剛度Ks隨時(shí)間t的變化。

圖15 齒輪齒面剛度Ks隨時(shí)間變化趨勢Fig.15 Variation trend of stiffness Ks of gear tooth surface with time

為分析磨損量對油膜剛度Kl的影響，分別采用文獻(xiàn)[25]和本文的計(jì)算方法，計(jì)算了動載荷條件下j次嚙合后的齒輪油膜剛度Kl。

從圖16中可以看出同樣在齒面磨損量不斷增加的條件下，肖澤亮的計(jì)算方法得到的穩(wěn)態(tài)載荷下的油膜剛度Kl曲線基本不會發(fā)生變化，沒有表現(xiàn)出嚙合的動態(tài)特征。而本文中的計(jì)算方法得到的Kl曲線卻有明顯分離的現(xiàn)象。在j=0.5×106和j=5.0×106時(shí)油膜剛度為雙峰分布，橫坐標(biāo)分別為1.005 0Tz，1.316 0Tz和1.060 0Tz，1.389 0Tz，對應(yīng)的油膜剛度大小分別為1.776×108N/m，1.730×108N/m和1.797×108N/m，1.962×108N/m。在左峰值點(diǎn)油膜剛度增大了1.18%，右峰值點(diǎn)油膜剛度增大了13.41%。結(jié)合前文分析可以認(rèn)為，油膜剛度的變化主要是由于退出段齒輪動態(tài)嚙合力Fd1導(dǎo)致的。兩種計(jì)算方法得到的計(jì)算結(jié)果均表明進(jìn)入段的油膜剛度要明顯小于退出段的油膜剛度。

圖16 j次嚙合后齒面油膜剛度Klj=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.16 Oil film stiffness of the tooth surface after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

油膜剛度對于齒輪磨損較為敏感，然而決定綜合剛度Ke的變化還取決于承載系數(shù)1/γ1和1/γ2，圖17中給出了不同嚙合次數(shù)下承載系數(shù)1/γ1和1/γ2時(shí)隨時(shí)間的變化規(guī)律。從圖17中可以觀察到的1/γ1和1/γ2在退出段有明顯的分離，隨著磨損的增大，油膜承載系數(shù)在退出段會有所減小。同時(shí)在j=5.0×106時(shí)在進(jìn)入段油膜承載系數(shù)會產(chǎn)生突變，說明此時(shí)油膜的穩(wěn)定性有所下降。但是由于油膜承載系數(shù)較小，使得油膜剛度對于綜合剛度貢獻(xiàn)較小，導(dǎo)致綜合剛度對磨損量變化不敏感。

圖17 j次嚙合后承載系數(shù)1/γ1和1/γ2的變化趨勢j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.17 Variation trend of bearing coefficient and after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

圖18給出不同磨損量下的齒輪綜合嚙合剛度Ke。圖中的多條曲線并沒有產(chǎn)生分離，說明齒輪磨損對綜合剛度Ke基本沒有影響。

圖18 j次嚙合后的綜合剛度K分布j=(0.5,1.0,…,5.0)×106Fig.18 Distribution of comprehensive stiffness K after j mesh times j=(0.5,1.0,…,5.0)×106

4 結(jié) 論

(1)通過齒面磨損計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在動態(tài)磨損過程中，進(jìn)入段磨損大于退出段的磨損。隨著嚙合次數(shù)的增加，內(nèi)、外齒輪的磨損峰值點(diǎn)會向退出嚙合點(diǎn)偏移，并且在進(jìn)入段的磨損逐漸減弱，在退出段的磨損逐漸增強(qiáng)，呈非線性特征。

(2)通過齒輪動態(tài)特性可以看出，隨著嚙合次數(shù)增大，齒輪嚙合力呈多峰分布，齒向最大相對位移、相對速度增幅分為19.887%和78.99%，振動頻率逐漸增大，內(nèi)嚙合齒輪嚙合條件逐漸惡化；但是動態(tài)嚙合力增量逐漸收斂，齒輪齒向速度沖擊點(diǎn)逐漸消失，磨損可以改善內(nèi)嚙合直齒輪齒面沖擊。

(3)通過不同嚙合次數(shù)下的油膜剛度可以看出，隨著嚙合次數(shù)增加，油膜剛度在進(jìn)入段逐漸減小，在退出段逐漸增加，峰值分別增加1.18%和13.41%，而綜合嚙合剛度無明顯變化，油膜剛度對齒輪動力學(xué)特性影響較小。

(4)退出段油膜承載系數(shù)增大，可以有效抑制退出段的齒面磨損，從而抑制齒輪均載水平的下降，并且在嚙合次數(shù)較少時(shí)，磨損對承載系數(shù)影響有限，在嚙合次數(shù)較多時(shí)，承載系數(shù)發(fā)生突變，油膜穩(wěn)定性下降。本文對齒輪磨損后動力學(xué)模型的退化研究對齒輪磨損與壽命預(yù)測有指導(dǎo)和參考價(jià)值。