許 力，曹青松，張定軍

(江西科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，南昌 330098)

主動懸架可以簡單看成由被動懸架與作動器組成的一種新型懸架，作動器可實(shí)時依據(jù)路面信息及車身振動情況按照控制規(guī)律對車身產(chǎn)生一個力的作用，來平衡路面的沖擊，提高車輛平順性與乘坐舒適性。所以，作動器控制策略影響著主動懸架性能，相關(guān)研究也受到國內(nèi)外許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，已經(jīng)提出了以整數(shù)階微積分理論作為基礎(chǔ)的主動懸架滑模控制、自適應(yīng)控制、模糊控制等諸多控制策略[1-3]。

近年來，由于分?jǐn)?shù)階微積分的記憶特性，能更真實(shí)地描述具有黏彈、滯回等非線性物體的數(shù)學(xué)模型，越來越多地應(yīng)用于磁流變液或油氣主動懸架的數(shù)學(xué)建模上[4-5]。孫會來等[6]采用Caputo分?jǐn)?shù)階微積分對油氣懸架進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過試驗(yàn)證明了分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型更為精確。此外，分?jǐn)?shù)階微積分對被控對象參數(shù)的變化具有較強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)[7-8]，許多學(xué)者將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用于主動懸架的控制器設(shè)計(jì)。Tar等[9]基于包含空氣彈簧、黏性阻尼彈簧和液壓非線性阻尼器的模型，引入分?jǐn)?shù)階控制器以抑制路面帶來的振蕩。梁軍等[10]將其應(yīng)用于半主動懸架的天棚控制中，對天棚阻尼系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高了平順性。高遠(yuǎn)等[11]提出一種以分?jǐn)?shù)階微分信號作為控制器輸入的分?jǐn)?shù)階模糊控制方法。陳炎冬等[12]在主動懸架滑?？刂浦幸敕?jǐn)?shù)階趨近率，有效削弱了滑模控制中抖振問題。

在分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)過程中，由于增加了積分階次或微分階次等參數(shù)，從而使控制器參數(shù)整定變得更加復(fù)雜。許多學(xué)者為簡化參數(shù)整定過程，將分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行等效逼近[13]再采用各類數(shù)字算法對其參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選。Dong等[14]基于電液懸架線性模型，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，采用克隆選擇算法對參數(shù)進(jìn)行整定。吳光強(qiáng)等[15]采用Oustaloup濾波器算法對分?jǐn)?shù)階天棚阻尼半主動懸架進(jìn)行參數(shù)整定，與被動懸架、整數(shù)階主動懸架對比分析。陳炎冬等[16]采用遺傳算法對主動懸架分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，通過仿真表明，其對削弱車身共振效果明顯優(yōu)于整數(shù)階PID控制器。游浩等[17]針對1/4車輛被動懸架，建立分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型，采用粒子群算(particle swarm optimization,PSO)法對彈簧剛度和阻尼系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后乘車舒適性可明顯改善。張欣等[18]針對高低溫試驗(yàn)箱分?jǐn)?shù)階被控系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一個分?jǐn)?shù)階PIλDμ閉環(huán)控制器，利用量子粒子群算法(quantum particle swarm optimization,QPSO)對控制器參數(shù)進(jìn)行整定，采用量子旋轉(zhuǎn)門對粒子位置進(jìn)行更新，并與PSO整定方法比較，得出QPSO具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力。

本文基于上述研究背景，建立基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的1/4懸架模型，采用QPSO算法對PIλDμ進(jìn)行參數(shù)整定，建立集合車身垂向加速度、懸架動撓度和車輪動載荷的綜合評價函數(shù)，從時域和頻域分析被動懸架、整數(shù)階主動懸架和分?jǐn)?shù)階主動懸架的控制性能。

1 分?jǐn)?shù)階微積分與Outstaloup逼近法

(1)

由式(1)可知，分?jǐn)?shù)階微積分算子sα的幅頻特性曲線是以20αdB/dec為斜率的直線，相頻特性為恒定值α·(π/2)。整數(shù)階微積分中α只能為正整數(shù)或負(fù)整數(shù)，幅頻和相頻相對固定、不易調(diào)節(jié)，分?jǐn)?shù)階微積分中α可以為任意實(shí)數(shù)，幅頻和相頻特性調(diào)節(jié)更為方便。

關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值計(jì)算，不同的定義式有不同的計(jì)算方法，通常計(jì)算結(jié)果受步長h影響較大。要更準(zhǔn)確地計(jì)算其數(shù)值，h值越小越好，累加次數(shù)相應(yīng)增多，計(jì)算量更大。將分?jǐn)?shù)階微積分分成幾個頻率段，并在各頻率段內(nèi)用不同階次的整數(shù)階微積分進(jìn)行擬合近似，可得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，且減小了累加次數(shù)。本文采用的是改進(jìn)型Outstaloup逼近算法，在某一頻率段(ωb，ωh)內(nèi)對分?jǐn)?shù)階微積分算子sα可近似為整數(shù)階零極點(diǎn)型式的累乘。

在頻率段(0.001 rad/s,1 000 rad/s)內(nèi)，-0.5階微分算子伯德圖在濾波器階次分別為1,3,5時的曲線,如圖1所示。濾波器階次越高，逼近效果越好，但是增加了累乘次數(shù)，所以本文選取的濾波器階次N為3。

圖1 不同階次濾波器逼近效果Fig.1 Approximation effect of different order filters

2 基于分?jǐn)?shù)階控制器的主動懸架模型

2.1 1/4車輛主動懸架模型

圖2所示為1/4懸架振動模型，忽略了輪胎阻尼，圖中:mb為車身質(zhì)量，mt為輪胎質(zhì)量，kb為車身懸架剛度，cb為懸架阻尼系數(shù)，xb,xt分別為車身和輪胎的垂向位移，x0為路面輸入，u為作動器輸出的力。那么，主動懸架系統(tǒng)的線性動力學(xué)微分方程為

(3)

2.2 基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的懸架模型

圖2中u是由車身加速度誤差信號經(jīng)PIλDμ控制器得到，如式(4)所示

圖2 主動懸架系統(tǒng)模型Fig.2 Active suspension system model

U(s)=-F(s)s2Xb

(4)

對式(3)兩邊做拉普拉斯變換，可得車身位移和輪胎位移對路面激勵的傳遞函數(shù)，分別如下所示

(5)

(6)

式中:A(s)=s2[F(s)+mb]+B(s);B(s)=cbs+kb。

同時，分?jǐn)?shù)階控制器PIλDμ是在整數(shù)階PID控制器的比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)3個可調(diào)參數(shù)基礎(chǔ)上，再引入可調(diào)的積分階次參數(shù)λ和微分階次參數(shù)μ，其能靈活地調(diào)節(jié)控制器。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的時域表達(dá)式為

(7)

其傳遞函數(shù)為

F(s)=kp+kis-λ+kdsμ

(8)

當(dāng)F(s)=0時,為被動懸架;當(dāng)F(s)=kp+kis-1+kds時，為含整數(shù)階PID控制器的主動懸架;當(dāng)式(4)中的F(s)為式(8)時，則為含分?jǐn)?shù)階PID控制器的主動懸架。因此，可設(shè)計(jì)如圖3所示含分?jǐn)?shù)階PID控制器的主動懸架控制系統(tǒng)。

圖3 系統(tǒng)控制框圖Fig.3 System control block diagram

(9)

式中:g為重力加速度，取9.8 m/s2；fd_max為懸架動行程最大值，取0.1 m；l1,l2,l3為加權(quán)系數(shù)，定義域均為(0,1)，三者之和為1，根據(jù)主動懸架不同性能的需要而設(shè)置加權(quán)系數(shù)大小。

3 主動懸架分?jǐn)?shù)階PIλDμ參數(shù)量子粒子群優(yōu)化

3.1 量子粒子群優(yōu)化算法(QPSO)

QPSO算法是一種具有全局搜索能力的智能算法，解決了PSO算法容易陷入局部最優(yōu)解的問題。在粒子進(jìn)化時，群體中的大部分粒子可能聚集在次優(yōu)解附近，只有少部分粒子遠(yuǎn)離次優(yōu)解，為了避免粒子過早向次優(yōu)解聚集而引起的早熟現(xiàn)象，本文引入群體平均最佳粒子作為粒子進(jìn)化因素之一，這樣可使遠(yuǎn)離次優(yōu)解的粒子做全局搜索，找到最優(yōu)解。

將[Kp,Ki,Kd,λ,μ]看成五維解空間中粒子，并找出使主動懸架的評價函數(shù)值最小的粒子，這些粒子具有量子特性，隨迭代次數(shù)的增加而進(jìn)化。每次進(jìn)化，粒子依據(jù)個體最佳粒子Pi(t)、群體最佳粒子G(t)、群體平均最佳粒子C(t)以及隨機(jī)函數(shù)組合成的進(jìn)化規(guī)則而進(jìn)行更新。C(t)可防止群體陷于早熟，隨機(jī)函數(shù)使得粒子能以不同的概率出現(xiàn)在解空間各個位置，降低了局部最優(yōu)可能性。其進(jìn)化規(guī)則如下式所示

Xi,j(t+1)=±α·|Cj(t)-Xi,j(t)|·ln[1/ui,j(t)]+

si,j(t)

(10)

其中，

si,j(t)=φi,j(t)·Pi,j(t)+[1-φi,j(t)]·Gj(t)

(11)

(12)

式中：t為第t次迭代；Xi,j為第i粒子第j維；α為收縮-擴(kuò)張系數(shù)，令其由首次迭代時為1并線性衰減至迭代結(jié)束時為0.5；ui,j(t),φi,j(t)為第t次迭代第i粒子第j維的概率函數(shù)，且ui,j(t),φi,j(t)～U(0,1)；Pi,j為第i粒子的個體最佳粒子的第j維；Gj為粒子群最佳粒子的第j維；Cj為粒子群平均最佳粒子的第j維；M為粒子群粒子個數(shù)。

3.2 主動懸架分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)優(yōu)化與確定

根據(jù)3.1節(jié)QPSO算法的思想，主動懸架分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)具體整定流程圖如圖4所示。

圖4 QPSO參數(shù)整定流程圖Fig.4 Flow chat of setting parameters by QPSO

步驟1初始化，設(shè)置迭代次數(shù)t_max及粒子初始值。將控制器參數(shù)[Kp,Ki,Kd,λ,μ]看成五維空間中粒子，在其取值區(qū)間內(nèi)隨機(jī)生成M個粒子當(dāng)作初始值，并且此M個粒子看成首次迭代中的個體最佳粒子Pi(0)。

步驟2將步驟1生成的各粒子代入式(5)、式(6)，得到車身垂向加速度、懸架動撓度和車輪相對動載荷值，并將這3個值代入式(9)得到各粒子對應(yīng)的綜合評價值J[Xi(0)]。找到M個粒子中評價值最小的那個粒子記為G(0)。同時，計(jì)算M個粒子的平均值C(0)。利用式(10)～式(12)獲得M個新粒子XM(1)。

步驟3計(jì)算粒子更新后的綜合評價值，找出本次迭代最佳粒子G(t)(綜合評價值小者為佳)，并判斷J[G(t)]

步驟4找出本次迭代每個個體最佳粒子Pi(t)，判斷方法與步驟3一致，并計(jì)算出的平均最佳粒子C(t)。

步驟5根據(jù)式(10)～式(12)更新出下次迭代的所有粒子XM(t+1)，并判斷新粒子各維是否超出邊界Range，若超出，則用邊界值代替那一維，否則，粒子值不變。回到步驟3。

步驟6迭代結(jié)束，輸出所有迭代過程所有粒子中使懸架綜合評價指標(biāo)值最小的那個粒子。

4 仿真分析

4.1 仿真參數(shù)

懸架系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。設(shè)定式(8)中加權(quán)系數(shù)為：l1=0.8，l2=0.1，l3=0.1。依據(jù)3.2節(jié)的算法，設(shè)定t_max=100,M=50,Kp∈(-1 000,1 000),λ∈(-1,0),μ∈(0,1),Ki,Kd∈(-5 000,5 000)。路面輸入為采用濾波白噪聲法生成的車速為30 km/h的B級路面隨機(jī)激勵信號，其時域曲線如圖5所示。

表1 懸架參數(shù)Tab.1 Suspension parameters

圖5 路面激勵Fig.5 Road excitation

4.2 控制器參數(shù)整定過程

圖6所示為兩種主動懸架參數(shù)整定過程，相比于QPSO整數(shù)階參數(shù)整定，對分?jǐn)?shù)階參數(shù)進(jìn)行整定時，J值更小并更容易收斂至最優(yōu)值，全體粒子也更容易達(dá)到最佳位置。說明雖然分?jǐn)?shù)階參數(shù)比整數(shù)解參數(shù)多了兩個，但利用QPSO對分?jǐn)?shù)階參數(shù)整定時，效率更高。

圖6 參數(shù)整定過程Fig.6 Parameters setting process

求得整數(shù)階控制器參數(shù)為：[334.5，362.9，0]，分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)為：[54.39，3 750，69.59，-0.887 3，0.273 5]。

4.3 時域分析

對被動懸架、整數(shù)階主動懸架和分?jǐn)?shù)階主動懸架進(jìn)行時域仿真分析，觀測車身垂向加速度、懸架動撓度及車輪相對動載荷的變化趨勢。表2為3個觀測參數(shù)的均方根值，圖7～圖9為觀測參數(shù)時域曲線，圖10為兩種主動懸架作動器輸出的作用力時域曲線。

表2 被測參數(shù)均方根值Tab.2 RMS of measured parameters

見表2所示，相比于被動懸架，整數(shù)階控制方式及分?jǐn)?shù)階控制方式下的主動懸架綜合性能分別提升了21.64%和27.11%。車身垂向加速度降低明顯，其中整數(shù)階主動懸架下降了28.56%，分?jǐn)?shù)階主動懸架降低了30.8%。結(jié)合圖7，分?jǐn)?shù)階主動懸架的瞬時值相對最小，被動懸架的瞬時值相對最高。所以由QPSO確定參數(shù)的兩種主動懸架均可減小車身垂向加速度，提升車輛平順性，并且分?jǐn)?shù)階主動懸架相對整數(shù)階主動懸架提升的更明顯。

圖7 車身垂向加速度時域曲線Fig.7 Vertical acceleration of vehicle body

在懸架動撓度方面，表2所示的被動懸架均方根值最小，而分?jǐn)?shù)階主動懸架相對最大，但與整數(shù)階主動懸架相差不多。結(jié)合圖8可知：分?jǐn)?shù)階懸架動撓度的最大值與整數(shù)階主動懸架相比有所下降，相比被動懸架其最大值幾乎相等，均在0.016 m附近。在車輪相對動載荷上，被動懸架也是表現(xiàn)最為良好的。結(jié)合表2和圖9可知：無論是均方根值還是瞬時值，分?jǐn)?shù)階主動懸架均優(yōu)于整數(shù)階主動懸架?？傮w來看：分?jǐn)?shù)階主動懸架相比整數(shù)階主動懸架能夠進(jìn)一步增強(qiáng)車輛的減振性能，提升了平順性。

圖8 懸架動撓度時域曲線Fig.8 Dynamic deflection of suspension

圖9 車輪相對動載荷時域曲線Fig.9 Wheel relative dynamic load

圖10為兩種主動懸架控制力的輸出曲線，整數(shù)階控制力均方根值為96.67 N，均方根值為108.1 N。分?jǐn)?shù)階控制的作動器相比整數(shù)階控制在增加汽車平順性同時，加大了作動器的輸出。然而，相對于分?jǐn)?shù)階控制的輸出，整數(shù)階作動器在相同時間內(nèi)，正負(fù)變化相對頻繁。

圖10 作動器輸出Fig.10 Actuator output

4.4 頻域特性分析

根據(jù)式(5)、式(6)可求出車身垂向加速度、懸架動撓度和車輪-路面相對動位移對路面激勵導(dǎo)數(shù)的傳遞函數(shù)。其伯德圖如圖11、圖12、圖13所示。

圖對頻域特性Fig.11 Frequency-domain

圖12 xb-xt對頻域特性Fig.12 Frequency-domain characteristics of xb-xt versus

圖13 Fd/G對頻域特性Fig.13 Frequency-domain characteristics of Fd/G versus

由1/4車輛懸架的頻率特性可知:該模型有兩個共振點(diǎn)，分別處在1 Hz和10 Hz附近。由圖11可知:在1 Hz附近的共振點(diǎn)處，整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階控制的主動懸架相對被動懸架，其增益峰值分別減小了35%和69%，主動懸架對1 Hz處的共振有明顯抑制作用，但分?jǐn)?shù)階的抑制效果更好，從而對車輛平順性有顯著改善。在3～10 Hz的頻率段，主動懸架的增益幅值明顯下降，并且兩種主動懸架對振動的抑制效果相差不大。在10 Hz及以上的頻率段內(nèi)，兩種主動懸架對于平順性的改善效果不明顯。

由圖12可知:整數(shù)階主動懸架動撓度的增益在模型的兩個共振點(diǎn)處均保持較大值，分?jǐn)?shù)階主動懸架在4 Hz以下的頻段內(nèi)對懸架動撓度的增益最低，而在4 Hz以上頻段內(nèi)，其增益相較于被動懸架惡化。

由圖13可知:在1 Hz左右的頻段內(nèi)，分?jǐn)?shù)階主動懸架車輪相對動載荷增益最低，在中間頻段整數(shù)階主動懸架增益最低，在10 Hz左右的頻段內(nèi)，兩個主動懸架對車輪相對動載荷有明顯的惡化，這是因?yàn)樵u價指標(biāo)的制約，相較而言，整數(shù)階主動懸架的惡化程度高于分?jǐn)?shù)階主動懸架。綜合以上幅頻分析可知，分?jǐn)?shù)階控制主動懸架對于低頻段減小共振效果明顯。

從圖11～圖13相位曲線來看：含分?jǐn)?shù)階控制器的主動懸架系統(tǒng)低頻段相位變化更加平緩，高頻段相位變化與整數(shù)階主動懸架和被動懸架變化趨勢類似，分?jǐn)?shù)階控制器更容易實(shí)現(xiàn)主動懸架控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5 結(jié) 論

建立1/4主動懸架振動模型，采用量子粒子群優(yōu)化算法對整數(shù)階控制器和分?jǐn)?shù)階控制器進(jìn)行參數(shù)整定，從時域、頻域兩方面對被動懸架、整數(shù)階主動懸架和分?jǐn)?shù)階主動懸架進(jìn)行對比研究。結(jié)果表明，主動懸架對車輛平順性有很大改善，相對于整數(shù)階主動懸架，分?jǐn)?shù)階主動懸架在車身垂向加速度、懸架動撓度和車輪動載荷等指標(biāo)方面均有一定程度的改善；相比被動懸架在高頻段有一定程度惡化，而低頻段分?jǐn)?shù)階主動懸架性能改善明顯。因此，采用量子粒子群算法對含分?jǐn)?shù)階控制器的主動懸架進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化的方法可取，為主動懸架分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。